高校数学II 面積条件と文字係数—交点の順序と正の条件を保って係数を決める｜武蔵野個別指導塾

交点間隔から面積の式を立て、係数の候補が左右の位置条件にも合うかを調べる練習に取り組めます。

よくあるのは、放物線と直線で囲まれた部分の面積から文字係数を求め、方程式の解をそのまま答えにする場面です。ところが問題には「交点は原点の右側」などの位置条件が付くことがあります。面積が合っても位置が違えば、求める図形ではありません。交点を並べ、面積を正の量として表し、最後に元の条件へ戻す順序で考えます。

何を文字で追うか

面積の条件から係数を決める問題には、交点の一方が固定され、もう一方が動く型があります。また、2つの交点がともに動き、間隔だけが面積に現れる型もあります。いずれも最初に見るのは、異なる2交点が存在するか、その順序がどうなるかです。交点が重なる場合には囲まれた領域はつぶれ、面積は0です。正の面積を指定されていれば、その境界は答えになりません。

面積が同じ図形は1つとは限りません。例えば同じ幅の領域が左右に移動すれば、幅だけで決まる面積は変わらないことがあります。方程式を解いた後は、各候補を交点の座標や問題の不等式へ代入します。面積の式に代入し直すことと、位置条件に戻すことは別の確認です。

交点間隔と面積の関係

放物線と直線の縦の差が a(x − α)(x − β) と表され、a > 0、α < β とします。どちらも多項式なので区間で連続です。α < x < β では2つの因数の符号が異なり、この差は負です。したがって放物線が直線より下にあり、面積 S は差の符号を反転した積分です。

S = ∫[α→β] -a(x - α)(x - β) dx

図1のように、横の幅を d = β − α と置きます。d > 0 です。式を展開して直接積分すると、次の関係が得られます。

S = -a∫[α→β] {x² - (α + β)x + αβ} dx
  = -a[x³/3 - (α + β)x²/2 + αβx] の α から β までの増加量
  = a(β - α)³/6
  = ad³/6

図1の塗られた部分は上の直線と下の放物線の間です。公式の d は右の交点から左の交点を引いた正の長さです。交点を未整理のまま引くと負の数になり、面積まで負になる誤りにつながります。a < 0 の場合は上下が逆になるので、面積は |a|d³/6 です。ただしこの式は2つの異なる交点の間に囲まれた部分に適用します。交点以外の縦線で切った部分に、そのまま幅を入れてはいけません。

この関係は面積が間隔の3乗に比例することを示します。a が固定され、面積が正の値なら、正の間隔 d は1つに決まります。しかし、間隔が決まっても各交点の位置は決まらない場合があります。交点の和や一方の位置など、残りの情報を使って係数を選びます。

交点の式を解く前に、差の最高次の係数も確認します。縦の差が 2(x − α)(x − β) なら、同じ幅でも高さが2倍になり、面積も2倍です。逆に係数が負なら、どちらの曲線が上かが入れ替わります。公式に入れる係数は面積が正になるよう絶対値で扱い、元の差の符号とは区別します。

また、幅を求める式を3乗根の形で解くとき、幅が正という条件を残します。例えば d³ = 8 なら d = 2 であり、d = -2 は元の式にも幅の条件にも合いません。面積が0の場合には d = 0 となり、異なる2交点という仮定が破れます。問題が接する場合まで含むかどうかを、方程式を解く前に読むことが必要です。

文字を含む交点がすでに与えられた場合でも、2つが異なることを見落とさないでください。交点が1と p なら p = 1 で両者は一致します。面積を正とする条件があればこの値は除かれますが、途中で p > 1 と決める根拠にはなりません。p < 1 にも領域があるため、左右の指定がない問題では絶対値を保ちます。

基本例題：固定された交点から幅を求める

放物線 y = x² と直線 y = 4x + k が異なる2点で交わり、その2交点の間に囲まれる部分の面積が 36 です。右側の交点は x = 5 より右にあります。定数 k を整数で求めてください。

交点の x 座標を α、β とし、α < β とします。図2のように、直線から放物線を引いた量が交点の間で正です。交点は次の方程式を満たします。

x² - 4x - k = 0
(x - 2)² = k + 4

異なる2交点のため k + 4 > 0 です。正の数 t = √(k + 4) と置くと、交点は 2 − t、2 + t で、間隔は 2t です。面積の条件を代入します。

(2t)³/6 = 36
8t³ = 216
t³ = 27
t = 3

ここで t > 0 を使いました。よって交点は -1 と 5、係数は次の通りです。

k + 4 = 9
k = 5

しかし右側の交点 5 は「5 より右」を満たしません。したがって、条件を満たす k はありません。面積の方程式から得た候補 k = 5 を答えとせず、厳密な不等号に戻すことが必要です。もし条件が「5 以上」なら、この候補は採用されます。

図2では放物線と直線の交点が -1 と 5 です。差は -(x + 1)(x − 5) で、間隔は6なので、面積は 6³/6 = 36 です。元の2式に x = -1、5 を代入すると、どちらの交点でも値が一致します。図の縦の点線は x = 5 の境界であり、その右側という条件には境界自体を含めません。

標準例題：左右にある2候補を選ぶ

放物線 y = x² と直線 y = 2px + 3 − p² が囲む部分の面積が 36 です。2つの交点はともに正の x 座標を持ちます。定数 p を整数で求めてください。

交点の方程式を平方の形に直します。

x² = 2px + 3 - p²
x² - 2px + p² = 3
(x - p)² = 3

交点は p − √3、p + √3 です。このままでは間隔が 2√3 で固定され、面積は 4√3 となり、36 に一致しません。したがって条件を満たす p はありません。面積の方程式に p が現れないこと自体が、係数を動かしても幅が変わらないという情報です。

別の条件で候補の選択も見ます。直線を y = 2px + 9 とし、囲む面積を 36 とします。さらに左の交点が正であるとします。交点の方程式と判別式から、左右の交点を表します。

x² - 2px - 9 = 0
x = p ± √(p² + 9)
β - α = 2√(p² + 9)
{2√(p² + 9)}³/6 = 36
√(p² + 9) = 3
p² = 0
p = 0

このとき左の交点は -3 なので、正という条件には合いません。実は交点の積が -9 であることからも、異なる2交点は常に異符号です。面積を計算する前に位置条件と交点の積を調べると、不可能な場合を早く見抜けます。両方の方法が同じ結論に達することを比べてください。

発展例題：間隔から2つの係数候補へ

放物線 y = x² と直線 y = 2x + k が囲む部分の面積が 36 です。直線の切片は正です。k を整数で求めてください。

x² - 2x - k = 0
(x - 1)² = k + 1

2交点が異なるため k + 1 > 0 です。t = √(k + 1) と置けば t > 0 で、交点は 1 − t、1 + t です。間隔は 2t ですから、面積条件は次のようになります。

(2t)³/6 = 36
t³ = 27
t = 3
k + 1 = 9
k = 8

切片 k = 8 は正です。交点は -2、4 で、両方を元の曲線に戻すと、左では 4 = -4 + 8、右では 16 = 8 + 8 です。間隔は6なので面積は36となり、問題の面積と切片の条件をともに満たします。正の平方根を最初に定義したため、t = -3 を余分な候補として扱う必要はありません。

一方、平方して係数を求める場面では候補が増えることがあります。例えば交点が 1 と p で、差が (x − 1)(x − p) のとき、面積が 36 なら |p − 1|³/6 = 36 です。正の間隔は6ですから、p − 1 = 6 または p − 1 = -6、すなわち p = 7 または -5 です。p > 1 という位置条件が付けば、残るのは7です。p = 1 は交点の重なりで面積が0となり、正の面積の条件から除かれます。絶対値を外す前に、左右の両方を考えることが候補を落とさない鍵です。

誤答を交点の順序から直す

上の交点が 1 と p の設定で、p > 1 の条件を見落として p = -5 も答える誤りを考えます。確かに p = -5 の間隔も6で、面積は36です。しかし図3の左のように、動く交点は1より左にあります。面積だけでは位置を選べません。

図3の右では p = 7 が1の右にあります。修正の順序は、まず両候補を出し、それぞれを p > 1 に代入することです。7 > 1 は成立し、-5 > 1 は成立しません。交点の左右を決めずに p − 1 を常に幅とすると、逆に p < 1 が許される問題で -5 を落とします。位置条件がない場合は、両方を元の図形に戻して残します。

別の失敗は、差の積分をそのまま面積とすることです。a > 0 なら2交点の間で (x − α)(x − β) は負です。積分値が負になる計算は符号付きの量としては正しくても、面積の答えには負号を付けて正に直します。どちらの式を上から引いたかを、途中に明記してください。

練習問題

次の面積はいずれも指定された放物線と直線の2交点の間に囲まれた部分の面積です。係数は整数、面積は整数・分数または根号を含む正確な形で答えてください。条件に合う係数がなければ、その旨を答えます。

1. y = x² と y = 6x + k の交点が -1 と7です。k と面積を求めてください。
2. y = x² と y = 4x + k で、面積が 4/3 です。k と2交点の x 座標を求めてください。
3. y = x² と y = 2px + 8 − p² で、面積を求めてください。
4. y = x² と y = (1 + p)x − p で、面積が 9/2、かつ p < 1 です。p を求めてください。
5. y = x² と y = 8x + k で、面積が 36、かつ両交点の x 座標が正です。k を求めてください。

練習の答えと道筋

1

交点の一方を元の式へ戻します。

1 = -6 + k
k = 7
7² = 6・7 + 7
β - α = 7 - (-1) = 8
S = 8³/6
  = 256/3

2つ目の交点も元の両式で49になり、条件を満たします。正の間隔を使い、面積は 256/3 です。

2

x² - 4x - k = 0
(x - 2)² = k + 4

異なる交点には k + 4 > 0 が必要です。t = √(k + 4) > 0 とすると、間隔は 2t です。

(2t)³/6 = 4/3
t³ = 1
t = 1
k + 4 = 1
k = -3

交点は 1、3 です。元の式に戻すと、それぞれ 1 = 4 − 3、9 = 12 − 3 です。幅2を面積式に戻すと 8/6 = 4/3 となります。

3

x² - 2px - 8 + p² = 0
(x - p)² = 8
α = p - 2√2
β = p + 2√2
β - α = 4√2
S = (4√2)³/6
  = 64√2/3

交点は常に異なり、どちらも元の方程式を満たします。p の値で中心は動きますが、間隔は変わりません。したがって面積も一定です。答えは 64√2/3 です。

4

交点の方程式を因数分解します。

x² - (1 + p)x + p = 0
(x - 1)(x - p) = 0

p < 1 なので左の交点は p、右の交点は1です。

(1 - p)³/6 = 9/2
(1 - p)³ = 27
1 - p = 3
p = -2

-2 < 1 で位置条件に合います。交点は -2 と1で、直線は y = -x + 2 です。両方を代入するとそれぞれ 4 と1で一致し、幅3から面積は27/6 = 9/2 です。

5

x² - 8x - k = 0
(x - 4)² = k + 16

t = √(k + 16) > 0 とすると、面積条件より次のようになります。

(2t)³/6 = 36
t³ = 27
t = 3
k + 16 = 9
k = -7

交点は 1、7 で、両方とも正です。元の式に戻すと 1 = 8 − 7、49 = 56 − 7 です。間隔6から面積は36となり、求める係数は -7 です。切片の正負と交点の正負は別の条件なので、混同しないようにします。

持ち帰る要点

• 交点を小さい順に並べ、間隔を正の数で表します。
• 縦の差の符号を調べ、面積を正の積分で表します。
• 面積の候補を交点、位置条件、元の面積へ戻します。

手が止まったときの確認

式が立たないときは、まず2つの式を等しくし、交点が異なる条件を書きます。面積が負になったときは、積分区間を逆にする前に、上の式から下の式を引いたか調べます。候補が2つあるときは、それぞれについて交点の左右と問題の不等号を別々に確認します。個別指導で確かめるなら、交点が 1 と p のとき、p < 1 では幅がなぜ 1 − p になるのかを数直線と式で説明してみてください。面積を満たす計算と、指定された位置を満たす判断がつながります。交点の順序を保てば、係数の候補を図形へ戻せます。