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高校数学II 定積分と対称性—偶奇を確かめて対称区間の計算を短くする｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 微分法と積分法

奇関数でも区間が対称でなければ積分は零とは限りません。端点と偶奇を確かめ、計算を短くする鍵は対称性です。

よくあるのは、奇関数の式を見つけた高校生が、積分区間を確かめる前に答えを零とする場面です。グラフが原点について対称でも、積分する範囲の左右の幅が違えば、対応しない部分が残ります。式の形と区間の中心を順に調べれば、どの項が消え、どの項が残るかを見通せます。定積分の符号と面積の違いも押さえながら、中心が原点でない区間へ考えを広げます。

まず区間の中心を見る

問題の型は大きく3つあります。1つ目は、-a から a までの多項式を積分する型です。奇数次の項は原点に関して符号が反転し、偶数次の項と定数項は反転しません。項ごとに分けて考えると、計算する部分を減らせます。ここでは a が正で、区間の両端が原点から等距離にあることを読み取ります。

2つ目は、両端が原点から等距離でない型です。奇関数であっても、対称な部分と残りに分けてから判断します。例えば -1 から 2 は中央が 1/2 であり、原点を中心とした区間ではありません。原点を中心に釣り合う -1 から 1 の部分と、1 から 2 の部分を区別します。積分区間とグラフの対称性は別の条件です。

3つ目は、区間の中央が原点以外にある型です。両端の平均を c として、x − c をひとまとまりで見ます。式がその量の偶数乗と奇数乗の和で表せれば、直線 x = c の左右で対応を調べられます。まず中央と幅を求め、それから式を展開する順番が有効です。対称性が見えなければ原始関数による通常の計算でも答えを求められます。

偶奇と定積分の関係

区間 -a ≦ x ≦ a 上の関数 f について、どの x に対しても f(-x) = f(x) なら偶関数、f(-x) = -f(x) なら奇関数です。判定では、式中の x をすべて -x に置き換えて整理します。例えば x² は偶関数、x³ は奇関数です。定数関数も偶関数で、零の関数は偶関数と奇関数の両方に当てはまります。

多項式は連続で、定積分を考えられます。a > 0 とし、f が偶関数なら左右の積分値は等しいため、次が成り立ちます。

∫[-a→a] f(x) dx = 2∫[0→a] f(x) dx

f が奇関数なら、原点について対称な位置で値の符号が反対になり、左右の積分値は打ち消し合います。

∫[-a→a] f(x) dx = 0

図1のように、左の位置 -x と右の位置 x を組にして比べます。図は奇関数の直線を示し、淡い赤の正の部分と淡い青の負の部分が対応します。面積そのものは正ですが、定積分では x 軸より下の寄与が負になるので、和が零です。

図1では左右の端までの幅が等しい点が重要です。関数が偶関数でもグラフが軸の下にある場合、積分値は負になり得ます。偶関数だから面積が2倍と考えるのではなく、右半分の「符号付きの積分値」が2倍になると考えます。

公式を多項式から確かめます。x の偶数乗 x²ᵏ は原点の左右で値が等しく、奇数乗 x²ᵏ⁺¹ は符号が反対です。k は 0 以上の整数です。原始関数に両端を代入すると、奇数乗の項では偶数乗の端点の値が等しく、差が零になります。多項式の和は項ごとに積分できるので、偶数乗の項と定数項を残し、奇数乗の項を除けます。この説明は区間が -a から a であることを使っています。

基本例題：偶数次の項を残す

次の定積分を分数で求めてください。

I = ∫[-2→2] (x² + 3x + 1) dx

図2のように、2次関数を偶関数の部分 x² + 1 と奇関数の部分 3x に分けます。元のグラフ自体は偶関数でも奇関数でもありませんが、積分は項ごとに分けられます。多項式は連続で、区間の中心は 0、左右の幅はともに 2 です。したがって 3x の積分値は零です。

図2の左右の直線部分は 3x の寄与を示しています。二次式全体のグラフが対称だと判断しているわけではありません。残った x² + 1 の積分値を右半分で求め、2倍します。

I = ∫[-2→2] (x² + 1) dx + ∫[-2→2] 3x dx
  = 2∫[0→2] (x² + 1) dx + 0
  = 2[x³/3 + x]（0 から 2）
  = 2((8/3 + 2) - 0)
  = 28/3

ここで [ ]（0 から 2）は、括弧内の原始関数に上端 2 を代入した値から下端 0 を代入した値を引く意味です。定数 1 も偶関数なので、残すことに注意してください。3x だけを消してから積分する操作と、全体を原始関数で計算する操作は同じ結果を与えます。

元の条件へ戻して確かめると、原始関数は x³/3 + 3x²/2 + x です。上端で 32/3、下端で 4/3 となり、その差は 28/3 です。奇数次の項の上端と下端への寄与はどちらも 6 なので、差を取る段階で消えています。これは区間が対称であることの計算上の現れです。

標準例題：中心を移した多項式

次の定積分を分数で求めてください。

J = ∫[1→5] ((x - 3)³ + 2(x - 3)² + 4) dx

端点の平均は (1 + 5)/2 = 3 です。x = 1 と x = 5 は直線 x = 3 からそれぞれ 2 離れています。t = x − 3 と表せば、左端では t = -2、右端では t = 2 です。t は中心3からの符号付きの隔たりで、距離は |t| です。置換積分の公式には頼らず、x について展開した多項式を微分して原始関数を確かめます。

各項の原始関数は、展開して微分すれば次のように確認できます。

(x - 3)⁴/4 = x⁴/4 - 3x³ + 27x²/2 - 27x + 81/4
その導関数 = x³ - 9x² + 27x - 27
             = (x - 3)³
2(x - 3)³/3 = 2x³/3 - 6x² + 18x - 18
その導関数 = 2x² - 12x + 18
             = 2(x - 3)²

よって原始関数は (x − 3)⁴/4 + 2(x − 3)³/3 + 4x です。両端で x − 3 の値が反対になるため、4乗の値は同じで差が零になります。3乗の値は符号が反対なので、二次の項は残ります。

J = [(x - 3)⁴/4 + 2(x - 3)³/3 + 4x]（1 から 5）
  = (16/4 + 16/3 + 20) - (16/4 - 16/3 + 4)
  = 32/3 + 16
  = 80/3

元の条件での端点を使って値を戻すと、3次の項の原始関数は両端とも 4 です。これらの差が零となり、2次の項が 32/3、定数項が幅 4 に高さ 4 をかけた 16 を与えます。上端と下端の順序を入れ替えると符号が変わるため、先に区間の向きも確かめます。

平行移動後の式が初めから見えていない場合もあります。例えば中心を c とすると、x = (x − c) + c です。多項式を x − c の累乗に整理すれば、直線 x = c をはさんだ対応を調べられます。ただし x について奇関数であることと、x − c について奇数乗だけからなることは別です。何を中心に反転させるかを明記してください。

発展例題：条件から係数を決める

実数 a について、次の等式が成り立つとき、a を分数で求めてください。

∫[-1→3] ((x - 1)³ + a(x - 1)² + (x - 1) + 2) dx = 24

区間の中央は 1、両端は中央から 2 ずつ離れています。被積分関数は多項式で連続です。x − 1 の奇数乗の2項は、直線 x = 1 の左右で符号が反対になり、その積分値はそれぞれ零です。a が正か負かにかかわらず、二次の項は偶数乗として残ります。

二次の項の原始関数は a(x − 1)³/3 です。展開して微分すると a(x − 1)² に戻ります。定数項の積分値は区間の幅と高さの積です。

∫[-1→3] a(x - 1)² dx = [a(x - 1)³/3]（-1 から 3）
                         = 8a/3 - (-8a/3)
                         = 16a/3
∫[-1→3] 2 dx = 2(3 - (-1))
                = 8
16a/3 + 8 = 24
16a/3 = 16
a = 3

得られた a = 3 を元の積分に戻すと、二次の項が 16、定数項が 8、奇数乗の項が合わせて 0 です。したがって条件の 24 に一致します。係数の符号を先に仮定する必要はありません。また、積分値が正という条件から被積分関数が区間全体で正とはいえません。正と負の寄与を合わせた結果を見ているためです。

端点が例えば一方だけ動いた場合は、この打ち消しをそのまま適用できません。まず区間を中央 1 について対称な部分と残りに分けるか、原始関数を両端に代入します。対称な部分の長さが零になった境界では、その部分の積分値も零です。こうして場合分けの境目でも同じ計算結果になるかを確認します。

誤答を直す：奇関数でも区間を確認

「x³ は奇関数だから、∫[-1→2] x³ dx = 0」とする解答を考えます。誤りは、奇関数であることから区間まで対称だと決めた点です。左端は原点から 1、右端は 2 離れており、右側に対応しない部分があります。

図3のように、-1 から 1 は左右で打ち消し合いますが、1 から 2 は残ります。この残りは x³ が正である範囲なので、全体の値も正です。図3の色は符号付きの寄与を示し、赤い右端の部分が打ち消されずに残ることを表します。

正しくは積分の区間を分け、残りを計算します。

∫[-1→2] x³ dx = ∫[-1→1] x³ dx + ∫[1→2] x³ dx
                = 0 + [x⁴/4]（1 から 2）
                = 16/4 - 1/4
                = 15/4

直接の計算でも、上端で 16/4、下端で 1/4 ですから差は 15/4 です。下端が負でも、その4乗は正であることにも気をつけます。もし区間が -2 から 1 なら、対応しない部分は左側に残り、積分値は負になります。どちら側が余るかを図に描くと、答えの符号も点検できます。

もう1つの誤りは、混ざった式を全体として奇関数とみなすことです。奇数乗の項が1つあっても、定数や偶数乗の項があれば、それらは一般に消えません。各項を分け、x を -x に変えたときの符号と区間の両方を確かめます。零を得たときは、どの部分がどの部分と対応したのか、言葉でも説明できるかを試してください。

練習問題

いずれも答えは整数または既約分数で表してください。積分区間、関数の形、必要な場合の分割位置を先に書いてから計算します。

∫[-3→3] (x³ − 2x) dx を求めてください。
∫[-1→1] (3x² − 4x + 2) dx を求めてください。
∫[0→4] ((x − 2)² + (x − 2) + 1) dx を求めてください。
∫[0→2] x³ dx を求めてください。奇関数であることと区間の関係も述べてください。
∫[-2→2] |x − 1| dx を求めてください。絶対値が外れる境界を明記してください。

練習問題の答えと解き方

1. 奇数乗の和

x³ − 2x に -x を代入すると、元の式の符号が反転します。多項式は連続で、区間の中央は 0 です。

(-x)³ - 2(-x) = -x³ + 2x
                = -(x³ - 2x)
∫[-3→3] (x³ - 2x) dx = 0

原始関数 x⁴/4 − x² は両端で同じ 45/4 です。元の端点を入れた差も零になるので、対称性を使った答えと一致します。関数の値そのものが各点で零という意味ではありません。

2. 偶数次と定数を残す

区間は原点について対称で、多項式は連続です。-4x の寄与は打ち消し合い、3x² と 2 は残ります。

∫[-1→1] (3x² - 4x + 2) dx = 2∫[0→1] (3x² + 2) dx
                                  = 2[x³ + 2x]（0 から 1）
                                  = 2(1 + 2)
                                  = 6

元の式の原始関数 x³ − 2x² + 2x に 1 と -1 を代入すると、それぞれ 1 と -5 です。差は 6 で、奇数次の寄与が両端で消えることも確かめられます。

3. 原点以外を中心にする

中央は 2 です。x − 2 は両端で -2 と 2 になり、その1乗の積分値は零です。二次の項の原始関数は、展開して微分すると (x − 2)² に戻ります。

∫[0→4] ((x - 2)² + (x - 2) + 1) dx
= [(x - 2)³/3 + (x - 2)²/2 + x]（0 から 4）
= (8/3 + 2 + 4) - (-8/3 + 2 + 0)
= 16/3 + 4
= 28/3

上端と下端で1乗の項の原始関数はどちらも 2 です。元の区間の幅は 4 なので、定数 1 の寄与が 4 になる点も一致します。

4. 対称でない区間

x³ は奇関数ですが、0 から 2 は原点の両側に同じ幅を持ちません。零とはせず、原始関数で求めます。

∫[0→2] x³ dx = [x⁴/4]（0 から 2）
               = 16/4 - 0
               = 4

区間内の x³ は負にならず、正の部分があります。元の場面に戻しても積分値が正であることは自然です。区間を -2 から 2 に広げて初めて、左側の負の寄与がこの 4 と釣り合います。

5. 絶対値の境界

x − 1 の符号が変わる境界は x = 1 です。区間内の -2 ≦ x ≦ 1 では |x − 1| = 1 − x、1 ≦ x ≦ 2 では |x − 1| = x − 1 です。境界では両方とも零なので分割に矛盾はありません。

∫[-2→2] |x - 1| dx = ∫[-2→1] (1 - x) dx + ∫[1→2] (x - 1) dx
                     = [x - x²/2]（-2 から 1） + [x²/2 - x]（1 から 2）
                     = (1/2 - (-4)) + (0 - (-1/2))
                     = 9/2 + 1/2
                     = 5

元のグラフでは、境界を底の端に持つ2つの三角形の面積に分けられます。左の底と高さはともに 3、右の底と高さはともに 1 なので、面積の和は 9/2 + 1/2 = 5 です。区間は原点に対称でも、|x − 1| は原点について偶関数ではありません。区間だけを見て2倍することはできません。

覚えておくこと

原点を中心とする区間で、奇関数の積分値は零です。
偶関数の積分値は、右半分の積分値の2倍です。
中央が c なら x − c の偶数乗と奇数乗を見ます。
対応しない区間や定数項を残し、最後に端点へ戻します。

つまずきを見分けるには

式を見た瞬間に零と書いたときは、まず端点の平均を求め、その中心に対して左右の幅が等しいかを尋ねます。次に、中心から等距離の2点で関数の値が同じか、符号が反対かを調べます。この2つの確認が混ざっていれば、区間を線分で描き、対応する場所を結ぶと考え直せます。

個別指導では、例えば一般の -a から a で x³ + x² を扱い、どの項が消えるかを式と図の両方で説明してもらいます。x³ の左右の寄与が反対で、x² の寄与は同じという理由まで言えるかを見ます。さらに端点を変えたときに残りがどちら側に生じるかを問い、公式の条件を自分の言葉で点検します。対称性は、区間と式を対応させて初めて計算の道具になります。