高校数学II 定積分の計算—原始関数の上下端への代入を括弧で整理する｜武蔵野個別指導塾

負の下端と分数係数を含む定積分で、端点ごとの代入値を括弧に入れ、引き算の符号を確かめましょう。

よくあるのは、高校生が定積分の計算で下端を代入し、最初の項の符号だけを変えて答えを出す場面です。原始関数が何項かに分かれていると、引き算の対象はその全体なのに、途中で括弧が消えてしまいます。上端と下端の値をそれぞれ一つの数として求めてから差を取れば、符号の動きを追いやすくなります。

どこで計算が分かれるか

定積分の問題では、まず被積分関数から原始関数を作り、その後で端点を代入します。例えば二次式なら三次式の原始関数を作りますが、積分した結果の式を書くだけでは定積分の答えにはなりません。上端に入れた値と下端に入れた値の差まで計算し、数で答えます。

注意する型は3つあります。下端が負なら、負の数の二乗と三乗を区別する型です。係数が分数なら、代入後の分母をそろえて引く型です。さらに、原始関数に定数を加えたとき、上端と下端の両方に同じ定数が現れる型があります。それぞれ途中の値を残すと、どの操作で誤ったかを見つけられます。

ここで扱うのは多項式の定積分の値です。負の値が出ることもありますが、それをそのまま図形の面積として扱う話ではありません。問題の指示が積分値なのか面積なのかを読み分け、求める量を取り違えないようにします。

原始関数と端点の役割

多項式 f(x) に対し、微分すると f(x) になる関数を原始関数といいます。例えば f(x) = 2x + 3 なら、F(x) = x² + 3x は F′(x) = 2x + 3 を満たします。多項式は区間で連続なので、端点 a、b に対して定積分は次の差で計算できます。

∫[a→b] f(x) dx = F(b) - F(a)

図1のように、上端 b から作った数が先、下端 a から作った数が後です。端点を入れる場所と、引く順序を別々に意識します。下端が負という情報は F(a) を計算する段階で使い、その後に F(a) 全体を引きます。

図1の左右の箱は、端点を入れて得た F(b) と F(a) を表します。両者を引く式は、図の直前に示したものです。例えば F(a) が負なら、差は正の数を加える形になることがあります。一方、a が負でも F(a) が正になる場合はあります。端点の符号だけで、最後の加減を決めることはできません。

原始関数は1つに限りません。上の例で G(x) = x² + 3x + C としても、定数 C の微分は0なので G′(x) = f(x) です。端点の差は次のようになります。

G(b) - G(a) = (F(b) + C) - (F(a) + C)
= F(b) + C - F(a) - C
= F(b) - F(a)

同じ C が消えるため、定積分の計算では C を省いて1つの原始関数を選べます。ただし上端と下端で異なる定数を選んでは、この相殺は使えません。計算途中で定数を省く理由を、微分して0になることと、差で消えることの両方から押さえます。

多項式の各項は、次数を1つ上げて新しい次数で割ると原始関数の項が得られます。例えば x² の原始関数は x³/3、x の原始関数は x²/2、定数 4 の原始関数は 4x です。確かめるときは各項を微分し、元の係数と次数に戻るかを見ます。分数が出ても、端点を入れる前に係数を勝手に丸めないことが大切です。

基本例題：負の下端を一まとまりにする

次の定積分を求め、整数で答えてください。

∫[-1→2] (2x + 3) dx

被積分関数は多項式で連続です。原始関数を F(x) = x² + 3x と選び、微分して F′(x) = 2x + 3 と戻ることを確かめます。図2のように、端点ごとの値を別に出してから差を取ります。

F(2) = 2² + 3・2
= 4 + 6
= 10
F(-1) = (-1)² + 3・(-1)
= 1 - 3
= -2
∫[-1→2] (2x + 3) dx = F(2) - F(-1)
= 10 - (-2)
= 12

答えは 12 です。図2の下端の箱は -2 であり、端点 -1 自体を引いているのではありません。負の数を二乗した値は正ですが、一次の項は負です。まず各項の符号を確定して足し、その結果全体に引き算を適用します。

元の条件へ戻して調べるには、原始関数の微分が被積分関数と一致すること、そして端点 2 と -1 をそれぞれ使っていることを確認します。実際、差は 10 − (-2) = 12 です。もし下端の第2項だけを取り落として F(-1) = 1 とすると答えは 9 となり、元の F(-1) = 1 − 3 と一致しません。値を箱に残しておくと、この食い違いまで戻れます。

また、積分区間の端点を原始関数の係数に入れ替えないことにも気をつけます。上端の 2 は F の x に代入する数であり、F の 3x の係数を変える数ではありません。端点に印を付け、x の位置に括弧を置いてから数を書くと、負号も代入対象に含められます。

標準例題：分数を残して引く

次の定積分を求め、既約分数で答えてください。

∫[-2→1] (x² - x + 1) dx

被積分関数は多項式なので連続です。原始関数を F(x) = x³/3 − x²/2 + x とします。微分すると x² − x + 1 です。上端と下端の値をそれぞれ計算します。

F(1) = 1/3 - 1/2 + 1
= 2/6 - 3/6 + 6/6
= 5/6
F(-2) = (-2)³/3 - (-2)²/2 + (-2)
= -8/3 - 4/2 - 2
= -8/3 - 2 - 2
= -20/3
∫[-2→1] (x² - x + 1) dx = 5/6 - (-20/3)
= 5/6 + 40/6
= 45/6
= 15/2

答えは 15/2 です。下端では二乗が 4、三乗が -8 となります。二乗の項には原始関数にもともと負号があるので -4/2 です。負の端点を入れた符号と、項の前にあった符号を別に処理することが、計算を崩さない要点です。

上端で 5/6、下端で -20/3 となることを元の F に戻して確認すると、その差は 15/2 です。両端で同じ原始関数を使ったことも確かめます。例えば F に 7 を加えても、上端は 47/6、下端は 1/3 となり、差は 47/6 − 2/6 = 15/2 です。途中の2つの値は変わりますが、定積分の値は変わりません。

分母をそろえるのは、端点ごとの計算の中でも、最後の差の段階でも可能です。ただし途中で小数に丸めると、正確な分数に戻せないことがあります。問題が既約分数を求めるときは、約分できるかを最後に見ます。端点の値を取り違えた場合は、通分をやり直すより前に F の式へ戻る方が修正しやすくなります。

発展例題：値から係数を決める

実数 a が次の条件を満たすとき、a を既約分数または整数で求めてください。

∫[-1→2] (x² + ax + 2) dx = 12

a を固定した実数とみると被積分関数は x の多項式で、区間で連続です。原始関数を F(x) = x³/3 + ax²/2 + 2x と選びます。微分すると元の式に戻ります。

F(2) = 8/3 + 2a + 4
= 20/3 + 2a
F(-1) = -1/3 + a/2 - 2
= -7/3 + a/2
F(2) - F(-1) = 20/3 + 2a - (-7/3 + a/2)
= 27/3 + 3a/2
= 9 + 3a/2
9 + 3a/2 = 12
3a/2 = 3
a = 2

答えは a = 2 です。下端の括弧の前の負号は、定数項 -7/3 と文字の項 a/2 の両方にかかります。文字があるために特別な引き算をするのではなく、数の場合と同じく括弧全体を引きます。

候補を問題の条件へ戻します。a = 2 のとき、F(2) = 32/3、F(-1) = -4/3 です。その差は 36/3 = 12 となり、指定値に一致します。方程式の係数 3/2 は0ではないので、得た値以外に解はありません。条件に合うことと、他の候補がないことを別に確認しています。

もし指定値が 9 であれば、同じ式から a = 0 です。文字の項が消えても、被積分関数は多項式であり端点の代入はそのまま使えます。0 を計算不能と判断したり、a が正でなければならないと勝手に条件を加えたりしないようにします。問題に書かれた「実数」という範囲を保って解きます。

括弧を外した後に誤りを探す

基本例題で F(-1) = 1 − 3 とした後、次のように書く誤答を考えます。

F(2) - F(-1) = 10 - 1 - 3
= 6

この式では 1 − 3 の先頭の 1 だけが引かれ、-3 はそのまま残っています。下端の値は 1 と -3 の和でできた1つの数なので、両方の項に引き算が及びます。図3のように、下端の箱全体に負号をかけ直します。

F(2) - F(-1) = 10 - (1 - 3)
= 10 - 1 + 3
= 12

図3では 1 の符号と -3 の符号がともに反転します。別の直し方として、先に括弧内を -2 とまとめれば 10 − (-2) = 12 です。2通りが一致するか確かめると、括弧を外す際の落とし穴に気づけます。

原始関数の段階での誤りもあります。2x + 3 の原始関数を x² + 3 とすると、微分は 2x となって定数 3 が戻りません。この場合は符号を直しても解決しないので、まず 3x を加えます。答えが合わないときは「原始関数を微分」「端点を代入」「差を計算」の順に戻ると、直す場所を絞れます。

練習問題

次の各問は、定積分の値または文字の値を求め、整数または既約分数で答えてください。各被積分関数は多項式で、指定区間で連続です。

1. ∫[1→3] (3x − 2) dx を求めてください。
2. ∫[-3→0] (2x + 1) dx を求めてください。
3. ∫[-1→2] (3x² + 2x − 4) dx を求めてください。
4. ∫[-2→1] (2x² + x) dx を求めてください。
5. ∫[0→2] (x + b) dx = 8 を満たす実数 b を求めてください。

練習の答えと解き方

1. 原始関数を F(x) = 3x²/2 − 2x とします。微分すると 3x − 2 に戻ります。

F(3) = 27/2 - 6
= 15/2
F(1) = 3/2 - 2
= -1/2
F(3) - F(1) = 15/2 - (-1/2)
= 8

答えは 8 です。元の端点 3、1 を F に入れた値の差も 8 です。端点を入れ替えず、下端の値が負であることを確かめます。

2. 原始関数を F(x) = x² + x とします。微分すると 2x + 1 です。

F(0) = 0² + 0
= 0
F(-3) = (-3)² + (-3)
= 6
F(0) - F(-3) = 0 - 6
= -6

答えは -6 です。下端が負でも、その関数値は 6 と正です。元の上下端の値を引くと負になることまで確かめます。

3. 原始関数を F(x) = x³ + x² − 4x とします。微分すると 3x² + 2x − 4 です。

F(2) = 8 + 4 - 8
= 4
F(-1) = -1 + 1 + 4
= 4
F(2) - F(-1) = 4 - 4
= 0

答えは 0 です。元の端点に対する原始関数の値が同じなので、差は0です。被積分関数が区間の各点で0だと結論しているわけではありません。

4. 原始関数を F(x) = 2x³/3 + x²/2 とします。微分して 2x² + x を得ます。

F(1) = 2/3 + 1/2
= 7/6
F(-2) = -16/3 + 4/2
= -10/3
F(1) - F(-2) = 7/6 - (-10/3)
= 7/6 + 20/6
= 27/6
= 9/2

答えは 9/2 です。元の端点での値 7/6 と -10/3 の差を取り、既約分数になったことも確認します。

5. 原始関数を F(x) = x²/2 + bx とします。微分すると x + b に戻ります。

F(2) = 4/2 + 2b
= 2 + 2b
F(0) = 0
F(2) - F(0) = 2 + 2b
2 + 2b = 8
2b = 6
b = 3

答えは b = 3 です。問題に戻すと被積分関数は x + 3 で、原始関数 x²/2 + 3x の端点の差は 8 − 0 = 8 です。係数 2 が0でないので、他の b は条件を満たしません。

手元に残す要点

原始関数は微分して元の式へ戻す。 上端と下端を別に代入し、上端の値から下端の値全体を引く。 負の端点の累乗と、下端全体を引く符号を分けて扱う。 共通の積分定数は差で消え、結果は整数または分数として整理する。

手が止まったときの見分け方

原始関数を作れないときは、例えば 6x の元を 3x² と置き、微分で 6x に戻るかを口に出して確かめます。そこは合うのに結果がずれるなら、上端と下端の値を別々に書き、下端の値を括弧で囲んで差を作ります。分数の計算だけが合わない場合は、代入した値を残したまま通分の行に戻れます。

個別に確認する場面では、下端が負で関数値は正になる式を1つ選び、端点の符号と関数値の符号をそれぞれ説明してみます。説明が途中で変わったら、負号が端点に属するのか、項に属するのか、差に属するのかを一緒に指で追います。定積分の値は、2つの代入値の順序を保った差として決まります。