高校数学II 傾きが指定された接線—接点の候補を方程式から求めて区別する｜武蔵野個別指導塾

平行な直線の傾きから接点を求め、複数の候補と接線の一致を見分ける手順をたどり、傾きと接点を結びます。

よくあるのは、指定された傾きを導関数に代入し、接点が1つだと決めて先へ進む場面です。ところが、同じ傾きの接線が曲線の別々の場所に現れることがあります。接点を求める方程式の解を残さず調べ、接線の式まで作って比べると、求める直線の本数が見えてきます。傾きと接点の座標は別の量です。まず何を未知数にするかを整理しましょう。

傾きから何を探すか

問題の型には、傾きの数値が直接与えられるものと、別の直線に平行な接線を求めるものがあります。後者では、与えられた直線を y = mx + n の形に直して傾き m を読み取ります。切片 n は平行かどうかを決めません。一方、接線そのものの式を求めるときには切片が必要です。

接点の x 座標を t と置きます。曲線が y = f(x) なら接点は (t, f(t)) です。指定された傾きを m とすると、接点での微分係数が m なので f′(t) = m を解きます。この方程式に実数解がなければ、指定された傾きの接線はありません。解が複数あれば、それぞれを接点の候補として調べます。

ただし候補の数と異なる直線の本数は、常に同じとは限りません。同じ直線が異なる点で曲線に接することもあるためです。各候補から直線を求め、傾きと切片が同じかを比べます。問題が接点を尋ねるのか、異なる接線を尋ねるのかにも注意します。

接線の傾きと接点の方程式

多項式 f(x) は各点で微分可能です。x = t での接線は点 (t, f(t)) を通り、傾きは f′(t) です。したがって接線の式は次のように表せます。

y - f(t) = f′(t)(x - t)

これは傾きと通る点を使った直線の式です。傾きが m と指定されたときは、先に f′(t) = m を解き、その解ごとに f(t) を計算します。その後に y − f(t) = m(x − t) へ入れます。図1のように、同じ傾きの直線でも接する位置が異なれば、一般には切片も異なります。

図1では曲線上の2点に、同じ傾きの接線を引いています。接点を動かすと傾きが変わるので、指定された傾きになる場所を方程式で探します。図から候補を予想しても、描かれた範囲の外に候補がないとは限りません。方程式の実数解を調べることが、候補を漏らさない根拠です。

平行条件には水平な直線も含まれます。y = c の傾きは 0 なので、水平な接線は f′(t) = 0 から探します。直線の式が Ax + By + C = 0 と与えられ、B が 0 でなければ、y について解いて傾きを読みます。B = 0 のときは垂直な直線です。多項式のグラフの各点で上の式が与える接線は垂直ではないため、その直線に平行な接線はありません。

基本例題：2つの接点を計算する

曲線 y = x³ − 3x に、傾き 9 の接線を引きます。接点の座標と異なる接線の式をすべて求めてください。座標と係数は整数で表します。

f(x) = x³ − 3x とすると、多項式なのでどの実数でも微分できます。導関数を求め、接点の x 座標 t での値を 9 にします。

f′(x) = 3x² - 3
f′(t) = 3t² - 3
3t² - 3 = 9
3t² = 12
t² = 4
t = 2 または t = -2

2つの解は異なる接点の候補です。それぞれの高さを元の曲線から求めます。

f(2) = 2³ - 3・2 = 2
f(-2) = (-2)³ - 3・(-2) = -2

接点は (2, 2) と (-2, -2) です。傾き 9 と各点を直線の式に代入します。

y - 2 = 9(x - 2)
y = 9x - 16

y + 2 = 9(x + 2)
y = 9x + 16

切片が -16 と 16 なので、異なる2本です。図2のように、2本は平行ですが重なりません。接点をそれぞれの直線に戻すと、9・2 − 16 = 2、9・(-2) + 16 = -2 です。また両方の点で導関数の値は 9 です。点を通ることと傾きが合うことの両方を確かめられます。

接点を1つしか書かなかった場合、t² = 4 から正負の2つが出るところを見直します。接点は2つ書いたのに式が1本しかない場合は、各点を別々に直線の式へ入れたかを調べます。逆に、2本の式が同じになった場合は、計算ミスと決める前に切片を整理して比べましょう。

標準例題：平行な直線から傾きを読む

曲線 y = x³ − 6x² + 5x + 1 に、直線 3x − y + 8 = 0 と平行な接線を引きます。接点と異なる接線の式をすべて求め、座標と係数は根号を含む正確な式で表してください。

指定された直線を変形します。

3x - y + 8 = 0
y = 3x + 8

傾きは 3 です。切片 8 を接線の切片として使う条件はありません。f(x) = x³ − 6x² + 5x + 1 とすると、接点の x 座標 t は次を満たします。

f′(x) = 3x² - 12x + 5
3t² - 12t + 5 = 3
3t² - 12t + 2 = 0

この方程式の解は整数ではありません。根号を残して正確に解きます。

t = (12 ± √120)/6
t = 2 ± √30/3

根号を含む答えを整理するため、u = √30/3 と置けば u² = 10/3 です。x = 2 + u のときの曲線の値を整理します。

f(2 + u) = (2 + u)³ - 6(2 + u)² + 5(2 + u) + 1
f(2 + u) = u³ - 7u - 5
f(2 + u) = -(11/3)u - 5

直線の切片は f(t) − 3t です。したがって2本の接線と接点は次の通りです。

接点 (2 + u, -5 - 11u/3)
接線 y = 3x - 11 - 20u/3
接点 (2 - u, -5 + 11u/3)
接線 y = 3x - 11 + 20u/3

2つの切片は u > 0 により異なります。それぞれの接点の座標は元の曲線の式から求めたもので、直線の切片もその点を通るように作りました。さらに t = 2 ± u を 3t² − 12t + 5 に戻すと、3u² − 7 = 3 です。したがって両方で傾きも確かに 3 です。

根号を小数に丸めず残すことで、曲線と傾きの条件を正確に表せます。近似値を使う場合にも、まずこの形で条件を確かめましょう。

発展例題：接点と直線の本数を比べる

曲線 y = x³ − 3x² + 3x に、傾き 3 の接線を引きます。接点と異なる接線の式をすべて求め、整数で表してください。

f′(x) = 3x² - 6x + 3
3t² - 6t + 3 = 3
3t(t - 2) = 0
t = 0 または t = 2

高さと直線の式をそれぞれ計算します。

f(0) = 0
f(2) = 8 - 12 + 6 = 2

y - 0 = 3(x - 0)
y = 3x

y - 2 = 3(x - 2)
y = 3x - 4

この場合は2本の異なる直線です。では一致することはあるのでしょうか。三次以下の多項式では、異なる2点で同じ直線に接することは、曲線自体がその直線である場合を除いて起こりません。理由を式で確かめます。

曲線と直線の差を多項式 g(x) とします。異なる2点 a、b で接するなら、g(a) = g′(a) = 0、g(b) = g′(b) = 0 です。接点で差が 0 かつ傾きの差も 0 なので、g(x) はそれぞれ (x − a)² と (x − b)² を因数に持ちます。a と b が異なるため、0 でない g は少なくとも4次です。三次以下では矛盾します。g が恒等的に 0 なら曲線自体が直線で、その各点の接線は同一です。

この確認は「接点が2つなら接線も2本」と機械的に決めないために役立ちます。例えば f(x) = 4x + 7 では f′(t) = 4 がどの実数 t でも成り立ちます。接点は無数にありますが、式は常に y = 4x + 7 の1本です。指定傾きが 4 以外なら接点はありません。方程式が恒等式になる場合と、解がない場合も残さず調べます。

誤答を直す：平方の正負を落とさない

基本例題で 3t² − 3 = 9 から t² = 4 まで進み、t = 2 だけを採用したとします。この答えは条件を満たしますが、もう一方の接点を除く理由がありません。負の数を2乗しても正になるので、t = -2 も成り立ちます。

図3のように、t² = 4 の先には2つの枝があります。各候補を元の傾きの式へ戻すと、3・2² − 3 = 9、3・(-2)² − 3 = 9 です。どちらも条件を満たすため、対応する接線の切片まで求めます。

同じ手順で t² = 0 なら解は t = 0 の1つです。t² が負の数に等しいなら実数解はありません。正負の記号を付ける前に右辺の符号を見れば、2個、1個、0個の違いを整理できます。接点がないときは架空の座標を作らず、指定傾きの接線はないと答えます。

練習問題

次の5問は、接点と異なる接線の式を求めてください。係数と座標は整数または分数で表します。接線がない場合はその旨を答えます。

1. 曲線 y = x² + 4x − 1 で、傾き 10 の接線。
2. 曲線 y = x³ − 12x + 2 で、傾き 15 の接線。
3. 曲線 y = x² − 2x + 6 で、直線 4x + 2y − 3 = 0 に平行な接線。
4. 曲線 y = x³ + 3x + 5 で、傾き 2 の接線。
5. 曲線 y = -2x + 5 で、傾き -2 の接線。接点の個数も答えてください。

練習の答えと解き方

1

接点の x 座標を t とします。

f′(x) = 2x + 4
2t + 4 = 10
t = 3
f(3) = 9 + 12 - 1 = 20
y - 20 = 10(x - 3)
y = 10x - 10

接点は (3, 20)、接線は y = 10x − 10 です。x = 3 を直線へ戻すと y = 20、導関数へ戻すと 10 です。元の曲線上の点で指定傾きになることを確認できます。

2

f′(x) = 3x² - 12
3t² - 12 = 15
t² = 9
t = 3 または t = -3
f(3) = 27 - 36 + 2 = -7
f(-3) = -27 + 36 + 2 = 11

各点に傾き 15 の直線を通します。

y + 7 = 15(x - 3)
y = 15x - 52

y - 11 = 15(x + 3)
y = 15x + 56

接点は (3, -7)、(-3, 11)、接線は y = 15x − 52、y = 15x + 56 です。両方の t を導関数へ戻すと 15 です。各直線へ接点の x 座標を入れると、それぞれ -7、11 となり、切片も異なります。

3

4x + 2y - 3 = 0
y = -2x + 3/2
f′(x) = 2x - 2
2t - 2 = -2
t = 0
f(0) = 6
y - 6 = -2(x - 0)
y = -2x + 6

接点は (0, 6)、接線は y = -2x + 6 です。指定された直線も答えも傾きは -2 です。接点を曲線と接線の両方に代入すると y = 6 となります。与えられた直線の切片 3/2 を接線に移さないことが要点です。

4

f′(x) = 3x² + 3
3t² + 3 = 2
t² = -1/3

実数の2乗は負にならないので、接点も接線もありません。実際、任意の実数 t で 3t² + 3 は 3 以上です。傾き 2 を取れないという元の条件に戻って確かめられます。

5

f′(x) = -2
f′(t) = -2
f(t) = -2t + 5
y - (-2t + 5) = -2(x - t)
y = -2x + 5

どの実数 t でも傾きの条件を満たします。接点は無数にあり、接線は y = -2x + 5 の1本です。任意の t で点 (t, -2t + 5) はこの直線上にあり、その傾きも -2 です。無数の接点を無数の異なる直線と数えないようにします。

手元に残す要点

接点の x 座標を t と置き、f′(t) = 指定傾きを解きます。
各候補で f(t) を求め、傾きと点から接線を作ります。
接線を整理して切片を比較し、異なる直線の本数を数えます。
解なしや恒等式の場合も元の条件に戻して調べます。

途中式からつまずきを見分ける

接線が1本しか出なかったときは、まず f′(t) = m の解の個数を確認します。方程式が二次なら、正負の解や重解を区別します。候補がそろっているのに式が合わないときは、各接点の高さを f(t) から計算したか、y − f(t) = m(x − t) の括弧を正しく外したかを順に見ます。

個別指導で確かめるなら、求めた直線に接点を代入する式と、導関数に同じ t を代入する式をそれぞれ書き、その2つが何を確かめるか言葉にしてみましょう。前者は点を通る条件、後者はその点での傾きの条件です。片方だけが合っても接線と断定できません。接点の候補から直線の一致までたどれば、傾きの指定が示す答えを取りこぼさずに数えられます。計算が止まったときは、接点の個数と直線の本数を別々に書くと、次に確かめる条件が見えてきます。