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高校数学II 正弦と余弦の和の置換—積との関係と変域から最大最小の条件を詰める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 三角関数を掘り下げる

t = sin θ + cos θの二乗から積を表し、和と積を含む式を二次関数に変えます。係数の文字で軸が動く場合も変域と比較できます。

よくあるのは、高2がsin θとcos θの和も積も大きくしたいと考え、それぞれに別々の最大値を代入する場面です。しかし、同じ角から生まれた2つの値は連動しています。和が最大のときに積はいくつなのか、反対に積を小さくしたいとき和はどこまで動けるのかを、1つの文字を通して調べます。

和と積が同時に現れたら

出方の1つは、sin θ + cos θとsin θ cos θが同じ式に現れ、最大値と最小値を求める問題です。和をtと置くと、積はtの二次式に変わります。元の式はtの二次関数になり、その軸とtの範囲を比べられます。

もう1つは、θの範囲が制限される問題です。全ての角でのtの範囲をそのまま使うと、指定された角では実現しない値が混ざることがあります。まず角の区間から実際の変域を求め、次に二次関数を調べます。最後に、得られたtに対応するθを元の区間で探します。

さらに係数に文字がある場合は、放物線の軸が変域の左、内側、右のどこにあるかで最小値の出方が変わります。境界で式が一致することまで確かめると、場合分けの等号を安心して置けます。最大値は上に開く放物線なら端点を比較しますが、どちらが大きいかも文字によって変わり得ます。

和から積と変域をつくる

θは実数とします。単位円の横座標がcos θ、縦座標がsin θなので、(sin θ)² + (cos θ)² = 1です。ここでsin²θは(sin θ)²を表します。t = sin θ + cos θと置き、両辺を二乗すると次のようになります。

t² = (sin θ)² + 2 sin θ cos θ + (cos θ)²
t² = 1 + 2 sin θ cos θ
sin θ cos θ = (t² - 1)/2

したがって和と積は独立ではありません。例えばt = 0なら積は-1/2と決まります。和と積にそれぞれ都合のよい値を選ぶ前に、この関係を通るか確かめます。積の式は任意の実数θで成り立ち、分母の2は0ではありません。

変域には加法定理を使います。cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2なので、展開すると次の式です。

sin θ + cos θ = √2 sin(θ + π/4)

正弦の値は-1以上1以下ですから、全実数のθに対して-√2 ≤ t ≤ √2です。下端の-√2はθ = 5π/4、上端の√2はθ = π/4などで実現し、途中の値も正弦の変化によって実現します。ただし、角の区間が狭いときはこの全域を使えません。

図1のように、θの範囲を移した後の正弦の高さを読みます。図では0 ≤ θ ≤ π/2なので、π/4 ≤ θ + π/4 ≤ 3π/4です。正弦はこの区間で1/√2から1まで上がり、再び1/√2まで下がります。よって1 ≤ t ≤ √2で、両端も実際に取れます。

図1は角と和の対応を並べた図です。θの両端でt = 1、中央でt = √2となることを、角と値の対応として読みます。変域を求めるときは式の見た目だけでなく、どの角で端点を取るかまで記録します。

基本例題：和と積を1つにまとめる

0 ≤ θ ≤ π/2とします。A = sin θ + cos θ + 2 sin θ cos θの最大値と最小値、およびそれぞれを取るθを求めてください。値は根号を用いた厳密値、角はπを用いて表します。

和をtと置くと、先ほどの区間の確認から1 ≤ t ≤ √2です。積を置き換えて整理します。

A = t + 2・(t² - 1)/2
A = t² + t - 1

tの範囲は正なので、tが増えるとt²もtも増えます。したがってAはこの範囲で増加し、左端で最小、右端で最大です。図2のように、実際に使う範囲は放物線の右側の一部分です。

左端t = 1ではA = 1、右端t = √2ではA = 1 + √2です。t = 1はθ = 0またはπ/2、t = √2はθ = π/4で実現します。答えは最小値1をθ = 0、π/2で、最大値1 + √2をθ = π/4で取る、です。

元の場面に戻してみます。θ = 0では和が1、積が0なのでA = 1です。θ = π/4では和が√2、積が1/2なのでA = √2 + 1です。両端の候補が、与えられた角の範囲内で実際に実現することまで確認できました。

標準例題：軸が変域の内側にあるとき

0 ≤ θ ≤ 2πとします。B = 4 sin θ cos θ − 2(sin θ + cos θ)の最大値と最小値、およびそれぞれを取るθを求めてください。最大値・最小値は分数と根号で表してください。角は、πに加え、0 < β < π/2かつsin β = 1/(2√2)を満たすβを用いて厳密に答えてかまいません。

この区間は一周を含むため、t = sin θ + cos θの変域は-√2 ≤ t ≤ √2です。積の関係を代入して平方完成します。

B = 2(t² - 1) - 2t
B = 2t² - 2t - 2
B = 2(t - 1/2)² - 5/2

軸t = 1/2は変域の内側です。よって最小値は-5/2です。この値を取る角を、特殊角だけで無理に表す必要はありません。ここではβを、0 < β < π/2かつsin β = 1/(2√2)を満たす角として定めます。このようなβは単位円の第1象限に存在します。

sin(θ + π/4) = 1/(2√2)ですから、指定区間ではθ = 3π/4 − β、7π/4 + βです。前者は対応する角がπ − β、後者は2π + βです。いずれも0以上2π以下です。

最大値は上に開く放物線の両端で比較します。t = -√2ではB = 2 + 2√2、t = √2ではB = 2 − 2√2です。前者が大きいので最大値は2 + 2√2、取る角はθ = 5π/4です。その角では和が-√2、積が1/2となり、元のBに戻しても2 + 2√2です。最小値の場合は和が1/2、積が-3/8なので、元の式は4・(-3/8) − 2・(1/2) = -5/2となります。

発展例題：文字で軸が移る

0 ≤ θ ≤ 2π、aは実数とします。C = 2 sin θ cos θ − 2a(sin θ + cos θ) + 1の最大値と最小値をaで表し、それぞれを取る角を示してください。値は根号を用いた厳密値で表し、必要な角は条件で定義してよいものとします。

t = sin θ + cos θとすると、-√2 ≤ t ≤ √2です。元の式は次の形になります。

C = t² - 1 - 2at + 1
C = t² - 2at
C = (t - a)² - a²

上に開く放物線の軸はt = aです。軸が左にあるa < -√2では左端、内側にある-√2 ≤ a ≤ √2では軸、右にあるa > √2では右端で最小になります。したがって最小値は順に2 + 2√2a、-a²、2 − 2√2aです。境界a = ±√2では両隣の式が同じ値になるので、等号を中央に置いても問題ありません。

最大値は両端で比較します。左端では2 + 2√2a、右端では2 − 2√2aです。差は4√2aなので、a > 0なら左端、a < 0なら右端が大きく、a = 0なら両端が同じです。最大値はa ≥ 0で2 + 2√2a、a ≤ 0で2 − 2√2aです。

角について、t = -√2はθ = 5π/4、t = √2はθ = π/4です。内側の最小値はsin θ + cos θ = aを満たす指定区間内の角で取ります。これを具体的に表すには、-π/2 ≤ γ ≤ π/2でsin γ = a/√2となるγを定め、θ + π/4がγまたはπ − γと同じ動径を持つものを0 ≤ θ ≤ 2πから選びます。端のa = ±√2でもこの条件は実現し、他の角を作り出しません。

例えばa = 1なら軸t = 1で最小値-1を取ります。θ = 0またはπ/2で和は1、積は0なので、元のCも-1です。一方、θ = 5π/4では和が-√2、積が1/2で、C = 2 + 2√2です。式だけでなく角まで戻すと、場合分けの意味が見えます。

誤答をほどく：別々の最大を足さない

基本例題で「和の最大は√2、積の最大は1だからAの最大は√2 + 2」としたとします。原因は、sin θとcos θがそれぞれ1になれるという事実を、同じθで両方1になれることと取り違えた点です。二乗和が1なので、両方が1なら二乗和は2となり矛盾します。

図3のように、単位円上の点の横と縦を一緒に動かします。和が√2の点では横も縦も1/√2で、積は1/2です。和と積を別々の箱に入れて上端を選ぶ代わりに、t² = 1 + 2 sin θ cos θで結び直します。

図3の点はθ = π/4に対応します。もう1つの誤りは、変域を出した後で軸がその外にあるのに、平方完成した定数項を最小値と答えることです。軸の位置を数直線に印し、範囲に入るかを見ます。開いた端点の場合は、近づけても実際に取れない値を最大値や最小値と呼ばないことも必要です。

練習問題

各問とも値は分数・根号による厳密値、角はπを用いて表します。角を条件で定義する場合は、その範囲も示してください。

0 ≤ θ ≤ 2πで、D = sin θ + cos θ − 2 sin θ cos θの最大値と最小値、およびそれぞれを取るθを求めてください。
-π/4 ≤ θ ≤ π/4で、E = 2 sin θ cos θ + 1の最大値と最小値、およびそれぞれを取るθを求めてください。
0 ≤ θ ≤ π/2で、F = 2 sin θ cos θ − 3(sin θ + cos θ) + 1の最大値と最小値、およびそれぞれを取るθを求めてください。
0 ≤ θ ≤ 2πで、G = 2 sin θ cos θ + 2(sin θ + cos θ) + 2の最大値と最小値、およびそれぞれを取るθを求めてください。
0 < θ < π/2で、H = sin θ + cos θ + 2 sin θ cos θの最大値と最小値の有無を調べ、存在する場合は値とそれを取るθを求めてください。

練習問題の答えと解き方

tの範囲は-√2 ≤ t ≤ √2です。積を置き換えて平方完成します。

D = t - (t² - 1)
D = -(t - 1/2)² + 5/4

軸は範囲内なので最大値は5/4です。βを0 < β < π/2、sin β = 1/(2√2)で定めると、取る角は3π/4 − β、7π/4 + βです。両端の値はt = -√2で-1 − √2、t = √2で-1 + √2なので、最小値は-1 − √2、θ = 5π/4です。最大時は和が1/2、積が-3/8で、元のDも5/4になります。

θ + π/4は0以上π/2以下なので、0 ≤ t ≤ √2です。E = t²であり、この範囲で増加します。最小値は0でθ = -π/4、最大値は2でθ = π/4です。前者の積は-1/2、後者の積は1/2で、元の式に戻すとそれぞれ0、2です。
1 ≤ t ≤ √2で、F = t² − 3tです。平方完成するとF = (t − 3/2)² − 9/4です。軸3/2は右端より右にあるため、この範囲では減少します。最大値は-2でθ = 0、π/2、最小値は2 − 3√2でθ = π/4です。和と積を元の式に代入すれば、端点で-2、中央で1 − 3√2 + 1となり一致します。
-√2 ≤ t ≤ √2で、G = t² + 2t + 1 = (t + 1)²です。軸-1は範囲内なので最小値は0です。t = -1となるθはπ、3π/2です。両端を比較すると、t = √2の値3 + 2√2が大きく、最大値は3 + 2√2、θ = π/4です。最小時は和が-1、積が0で、元のGも0です。
0 < θ < π/2では1 < t ≤ √2です。H = t² + t − 1はこの範囲で増加します。最大値は1 + √2でθ = π/4です。t = 1には近づけますが、θ = 0、π/2はどちらも範囲外なので最小値はありません。1より大きい値を取る角を端点に近づければ、Hは1にいくらでも近づきます。最大時の積は1/2であり、元の式でも最大値を得ます。