高校数学II 合成による最大最小—指定された角の区間で値を取る位置まで確かめる｜武蔵野個別指導塾

振幅に届く角が制限区間にあるかを調べ、内部の最高点と両端を比較します。開いた端に近づくだけの値を最小値と呼べない理由もたどれます。

よくあるのは、高2が三角関数を合成して振幅を求め、その数をどの区間でも最大値として答える場面です。式が2 sin uに変われば、確かに値は2を超えません。ただし、指定された角がsin u = 1となる位置まで動けなければ、2は実際には取れません。最大値は「超えない数」を見つけるだけでなく、その数に届く角を示して初めて決まります。端点を含まない区間では、端点の値に近づいても、その値自体を取れないことがあります。

どこを見る問題なのか

合成による最大最小では、まずsinとcosの一次結合を一つの三角関数にまとめます。その先で必要なのは、式の形だけでなく、指定された角が動く範囲です。次の3つの型を区別すると、何を調べるべきかが明確になります。

1つ目は角が全実数を動く型です。合成後の角も全実数を動くため、sinの値1と-1の両方に届きます。振幅が最大値と最小値の絶対値になりますが、値を取る角は周期も含めて示します。

2つ目は両端を含む制限区間の型です。合成後の角が1や-1を与える位置を通るかを見て、通らなければ端点の値を比較します。内部の最高点と最低点の両方が含まれる場合も、どちらも含まれない場合もあります。元の角の端点をそのまま合成後の角の端点にしてはいけません。

3つ目は端点を含まない区間の型です。端点に対応する値に近づけても、その端点が禁止されているなら、その位置を根拠に最大値や最小値は置けません。一方、区間の内部に最高点があれば、開区間でも最大値は存在します。開区間だから両方とも存在しないと決めるのも誤りです。

振幅と、動ける範囲を分けて考える

実数a、bに対してR = √(a²+b²)とします。ここでa²はaの2乗を表します。R > 0なら、cos α = a/R、sin α = b/Rを同時に満たす角αを選びます。加法定理によって、どの実数θでも次が成り立ちます。

R sin(θ+α)
= R sin θ cos α + R cos θ sin α
= a sin θ + b cos θ

Rは振幅です。係数を二乗して加えた数の平方根なので負にはなりません。R = 0の場合はa = b = 0で、元の式は常に0です。この場合にa/Rやb/Rを計算してはいけません。指定された角が少なくとも1つあれば、最大値も最小値も0で、その区間のどの角でも取ります。

R > 0の場合、sinの値は-1以上1以下なので、元の式は-R以上R以下です。しかし、この不等式だけから両端の値が実現するとは限りません。u = θ+αと置き、θの区間の両端に同じαを加えます。端点を含むかどうかもそのまま移します。uが増えるとき、単位円上の点は正の向きに回り、縦座標sin uが上下します。

図1のように、合成後の角の区間がsin u = 1の位置を含むかを先に調べます。図の上の区間には最高点が入り、下の区間には入りません。下でも振幅は上からの押さえにはなりますが、実際の最大値は区間内の高さで決まります。

実際に比較する候補は、含まれる端点と、区間内のsinの最高点・最低点です。最高点はu = π/2 + 2nπ、最低点はu = 3π/2 + 2nπで、nは整数です。区間に入る候補を拾い、それぞれの値を比較します。区間が1周期より長いときは、同じ高さに届く角が複数あることにも気をつけます。開いた端点は比較の補助には使えますが、値を取る候補には入れません。

例えば、sin uが増えている区間の左端を含まないとき、左端の値より大きい値は取れても、左端の値には届きません。取る値の下側の境界を下限と呼びますが、下限と最小値は別です。最小値には、その値を実際に取る角が必要です。同様に、上限に近づくだけなら最大値とは呼びません。

基本例題：最高点と両端を比べる

問題　0 ≤ θ ≤ π/3のとき、f(θ) = sin θ + √3 cos θの最大値と最小値を求め、それぞれを取るθを区間内で全て答えてください。値は根号を含む厳密値、角はπを用いて表します。

まず合成します。振幅は√(1²+(√3)²) = 2です。cos α = 1/2、sin α = √3/2を同時に満たす角としてα = π/3を選びます。どちらの係数も正なので、第1象限の角であることも一致します。

f(θ) = 2 sin(θ+π/3)

展開すると2 cos(π/3) = 1、2 sin(π/3) = √3となり、元のsin θとcos θの係数へ戻ります。u = θ+π/3と置くと、両端を含むθの範囲から次が得られます。

0 ≤ θ ≤ π/3
π/3 ≤ u ≤ 2π/3

図2のように、この範囲はu = π/2を含むので、sin u = 1に届きます。そこで最大値は2です。u = π/2からπ/3を引くと、最大値を取る角はθ = π/6です。これは指定区間に含まれます。

最小値は最高点の反対側の最低点を、この区間が含むか調べてから決めます。π/3から2π/3の間にu = 3π/2はありません。単位円の縦座標はπ/3からπ/2まで増え、その後2π/3まで減ります。したがって最小値は両端を比べれば求まります。

f(0) = √3
f(π/3) = √3/2 + √3/2
         = √3

両端は同じ値です。よって最小値は√3で、θ = 0とθ = π/3の両方で取ります。内部の点では単位円の縦座標が端点より高く、端点以外に同じ最小値はありません。最大値についても元の式へ戻すと、sin(π/6) + √3 cos(π/6) = 1/2 + 3/2 = 2です。求めた角が場面で指定された範囲にあり、求めた値を実際に作ることまで確認できました。

標準例題：振幅に届かない区間

問題　π/2 ≤ θ ≤ πのとき、g(θ) = √3 sin θ + cos θの最大値と最小値を求め、それぞれを取るθを全て答えてください。値と角は根号とπを用いた厳密値で表します。

振幅は2です。cos α = √3/2、sin α = 1/2を満たすα = π/6を使います。加法定理で展開すれば、sin θの係数は√3、cos θの係数は1に戻ります。

g(θ) = 2 sin(θ+π/6)
u = θ+π/6
2π/3 ≤ u ≤ 7π/6

この区間にはu = π/2も3π/2も含まれません。単位円では、uが2π/3からπまで進むと縦座標は√3/2から0へ下がり、さらに7π/6では-1/2になります。この全区間で縦座標は減るため、最大は左端、最小は右端です。

g(π/2) = √3
g(π) = -1

最大値は√3でθ = π/2、最小値は-1でθ = πです。振幅2は値の上限を押さえますが、指定範囲では2を取れません。実際、2を取るためのu = π/2は、動ける範囲より左にあります。元の角に直すとθ = π/3で、今回の範囲外です。最小値側も同様に、-2を与える角へは届きません。

端点の代入は元の式でも確かめます。θ = π/2ではsin θ = 1、cos θ = 0なので√3です。θ = πではsin θ = 0、cos θ = -1なので-1です。どちらも指定された閉区間の端にあり、答えの値を取ることが確認できます。

発展例題：開いた端は値を取る場所にできない

問題　0 < θ < π/2のとき、h(θ) = sin θ + cos θの最大値と最小値を調べてください。存在するものは値とそれを取るθを全て、存在しないものは理由を答えます。値と角は根号とπを用いて厳密に表します。

両係数が1なので振幅は√2です。cos α = sin α = 1/√2を満たすα = π/4を選びます。展開すると、√2 cos(π/4)も√2 sin(π/4)も1です。

h(θ) = √2 sin(θ+π/4)
u = θ+π/4
π/4 < u < 3π/4

u = π/2は開区間の内部にあるので、最大値√2を取れます。対応するθはπ/4で、元の条件も満たします。元の式に代入すると、√2/2 + √2/2 = √2です。

一方、uの両端ではsin u = √2/2ですが、どちらの端も含みません。単位円の縦座標は両端の間でそれより高くなります。したがって、実際に取る値の範囲は次のとおりです。

1 < h(θ) ≤ √2

1には近づけますが、1そのものは取れません。例えばθを0より大きいまま0に近づけると、h(θ)は1に近づきます。しかも取った値が1より大きければ、端により近い角を選ぶことで、その値より小さく、なお1より大きい値を取れます。よって最小値は存在しません。1は下限ですが、最小値ではありません。図の端に白丸を描くと、近づける位置と実際に含まれる位置の違いを整理できます。

誤答から、候補を選び直す

標準例題で「振幅が2だから最大値は2、最小値は-2」とした答案を考えます。数の大きさの制約として-2 ≤ g(θ) ≤ 2は正しいものの、最大・最小の答えとしては不十分です。2や-2を取るための角が、指定区間に入るかを確かめていません。

図3のように、合成後の区間は最高点と最低点の間にあります。どちらの極値の位置にも届かず、区間の左から右へ高さが下がるので、含まれる両端の値を使います。誤答を直すには、まずθの区間を書き、その各端にπ/6を加えてuの区間を作ります。次にπ/2と3π/2がその中にあるか調べ、最後に元の式に両端を代入します。

別の誤りとして、基本例題で「最小値はθ = 0のとき」と一方の端しか書かない場合があります。左右の端が最高点から同じ角度だけ離れているため、両方の正弦の値は等しくなります。θ = π/3も区間に含まれるので、値を取る角として残します。値の比較が済んだあとに、同じ値を与える候補をもう一度数えると落としにくくなります。

開区間では、逆に含まれない端点を答えに足してしまうことがあります。発展例題でθ = 0を代入すると1ですが、これは問題の条件を満たしません。端点を代入した数は、近づく先を考える材料にはなります。それを答えにするには、その角自身が許されるか、別の許される角で同じ値を取れるかを調べる必要があります。

練習問題

どの問題も角はラジアンです。最大値・最小値が存在するときは、それを取る角も問題の範囲で全て答えてください。値は分数や根号、角はπを用いた厳密値で表します。存在しないものは理由も述べます。

1. θが全実数を動くとき、p(θ) = 3 sin θ + 3 cos θの最大値と最小値を求めてください。値を取る角は整数nを使って表します。
2. 0 ≤ θ ≤ π/2のとき、q(θ) = 2 cos θ − 2 sin θの最大値と最小値を求めてください。
3. 0 ≤ θ ≤ π/2のとき、r(θ) = √3 sin θ − cos θの最大値と最小値を求めてください。
4. π/2 ≤ θ ≤ 3π/2のとき、s(θ) = 2 sin θ + 2 cos θの最大値と最小値を求めてください。
5. 0 < θ ≤ π/3のとき、v(θ) = sin θ − √3 cos θの最大値と最小値を調べてください。

練習問題の答えと解き方

1. 全実数なら最高点と最低点の両方へ届く

係数は両方3で、振幅は3√2です。cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2により、元の係数3へ展開して戻ります。

p(θ) = 3√2 sin(θ+π/4)

θが全実数なら、u = θ+π/4も全実数です。sin u = 1となるu = π/2 + 2nπ、sin u = -1となるu = 3π/2 + 2nπのいずれも実現します。ここでnは整数です。

最大値 3√2、θ = π/4 + 2nπ
最小値 -3√2、θ = 5π/4 + 2nπ

例えばn = 0の角を元の式に入れると、それぞれ3√2、-3√2に戻ります。周期2πで同じ値を取るので、整数nで表した角も元の条件を満たします。最高点と最低点は1周期にそれぞれ1回なので、ほかの角を付け足す必要はありません。

2. 区間の中で単調に変わる場合

振幅は2√2です。cos(3π/4) = -1/√2、sin(3π/4) = 1/√2を使うと、展開後のsin θの係数は-2、cos θの係数は2です。

q(θ) = 2√2 sin(θ+3π/4)
u = θ+3π/4
3π/4 ≤ u ≤ 5π/4

この範囲では単位円の縦座標が√2/2から-√2/2へ減ります。内部に最高点も最低点もありません。両端を元の式に入れるとq(0) = 2、q(π/2) = -2です。したがって最大値は2でθ = 0、最小値は-2でθ = π/2です。振幅2√2に届かないことも、uの範囲から確かめられます。

3. 負の位相と端点

振幅は2で、cos(-π/6) = √3/2、sin(-π/6) = -1/2です。元の2つの係数に戻ることを確認してから、角の範囲を移します。

r(θ) = 2 sin(θ-π/6)
u = θ-π/6
-π/6 ≤ u ≤ π/3

この範囲のsin uは単位円の縦座標として増えます。最高点π/2の手前で終わるので、最大値は右端で√3、最小値は左端で-1です。対応する角はそれぞれθ = π/2、θ = 0です。元の式でもr(π/2) = √3、r(0) = -1となり、両方とも指定範囲の端で実現します。

4. 内部の最低点と端点を比較する

振幅は2√2で、位相はπ/4です。展開するとsin θとcos θの係数がともに2になります。

s(θ) = 2√2 sin(θ+π/4)
u = θ+π/4
3π/4 ≤ u ≤ 7π/4

u = 3π/2は内部にあるため、最小値は-2√2です。対応するθは5π/4です。最高点π/2は含まれず、区間の左端から最低点まで下がった後、右端へ上がります。そこで両端を比べます。

s(π/2) = 2
s(3π/2) = -2

最大値は2でθ = π/2です。θ = 5π/4を元の式に代入すると、2・(-√2/2) + 2・(-√2/2) = -2√2となり、最低点も指定区間内で実現します。

5. 片方だけ閉じた区間

振幅は2です。cos(-π/3) = 1/2、sin(-π/3) = -√3/2なので、展開後の係数は1と-√3です。

v(θ) = 2 sin(θ-π/3)
u = θ-π/3
-π/3 < u ≤ 0

この区間ではsin uは増えます。右端は含まれるので最大値は0、これを取る角はθ = π/3です。元の式でも√3/2 − √3・1/2 = 0となります。

左端のu = -π/3は含まれず、その値-√3は取れません。θを正のまま0に近づけるとv(θ)は-√3に近づき、取ったどの値よりもさらに小さい値を取れます。したがって最小値は存在せず、下限は-√3です。左端を閉じた問題と混同しないよう、不等号の線を残して範囲を書き換えます。

覚えておくこと

合成後の角の範囲と端点の開閉を移します。
振幅に届くか、最高点・最低点の位置を調べます。
含まれる端点と内部の候補を比べます。
値を取る元の角を全て示し、元の式に戻します。
端に近づくだけの値は最大値・最小値とは限りません。

つまずきの見分け方

合成の係数は合っているのに答えが振幅になっている場合は、「その値を取るuはどこか」と聞き、指定範囲に印を付けます。uの範囲を正しく書けない場合は、θの両端を別々に式へ入れ、開閉も写せるかを確かめます。値は合っていても角を1つしか書けない場合は、内部の候補と両端を一覧にして同じ値を取る場所を探します。

個別指導で確認するなら、式変形を進める前に、最高点まで動けるかを本人の言葉で説明してもらいます。開区間については、端点の値を計算できることと、その値を取れることを区別できるかを見ます。式・区間・値を取る角がそろえば、最大最小の結論を条件付きで言い切れます。