高校数学II 積を和に直す公式—同じ角の和と差を組にして積の値を整理する｜武蔵野個別指導塾

sinどうしの積で差の順と符号を点検し、隣り合う項が消える計算をたどります。判断の軸は積和です。

よくあるのは、sinとsinの積を和に直すとき、差の角の順を入れ替えたうえで、引き算の向きも逆にしてしまう場面です。角の順が逆になったことと、2つの項を引く順が逆になったことは別の操作です。前者はcosの偶奇を確かめれば扱えますが、後者は式全体の符号を変えます。積のままでは見えにくい項のつながりを、加法定理から作った和と差で見える形にしましょう。

どんなときに積をほどくか

1つ目は、異なる角の三角関数の積を、和と差の角の値から求める型です。積の各因子がそれぞれ扱いにくくても、2つの角を足した角と引いた角が計算しやすい場合があります。まず角を足し、次に同じ順序で引きます。得られた2つの角が使いやすいかを見てから公式を選びます。

2つ目は、積をいくつか足した式を整理する型です。各積を和にすると、隣り合う項に同じcosが逆符号で現れることがあります。そこで初めて消去します。途中の端の項まで一緒に消してしまわないよう、最初と最後を残して書きます。

3つ目は、角を含む式を別の形へ変える型です。ここでの公式は実数の角全体で成り立つ恒等式なので、角が変数でも使えます。ただし変形した式から方程式や最大値を考えるときは、別途、問題が指定する範囲や端点を確認します。積を和にしただけで、必要な条件が増えたり消えたりするわけではありません。

加法定理から符号を作る

角A、Bはともに実数とします。図1のように、和A + Bと差A − Bを同じ組として用意します。sinとcosはすべての実数角で定義されるので、次の加法定理には分母の除外条件はありません。

図1の対応は、加法定理の2式を足すか引くかで得られます。たとえばcosの加法定理は次の2式です。

cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B

2式を足すとsinの積が消え、引くとcosの積が消えます。引き算は上から下ではなく、差の角の式から和の角の式を引くことに注意します。

2 cos A cos B = cos(A - B) + cos(A + B)
2 sin A sin B = cos(A - B) - cos(A + B)

したがって、各辺を2で割れば次の2つが得られます。2は0ではないので、この除算で場合分けは不要です。

cos A cos B = {cos(A - B) + cos(A + B)}/2
sin A sin B = {cos(A - B) - cos(A + B)}/2

sinの加法定理も同じように組にします。和の式と差の式を足せばsin A cos B、差を取ればcos A sin Bが残ります。

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B

sin A cos B = {sin(A + B) + sin(A - B)}/2
cos A sin B = {sin(A + B) - sin(A - B)}/2

混合した積では、どちらの角がsinの因子に付いていたかが重要です。積は順序を入れ替えても同じですが、公式のAとBの役割は同時に入れ替えます。sinは奇関数なのでsin(B − A) = -sin(A − B)です。一方、cosは偶関数なのでcos(B − A) = cos(A − B)です。よってsinどうしの積では差の角の順を逆にしても値は変わりませんが、差の角の項と和の角の項を逆に引くと符号が変わります。

公式を覚えるときは、先に因子の種類、次に和と差、最後に項の間の符号と係数1/2を見ると点検しやすくなります。特に「差の角」と「項どうしの差」を同じ意味として扱わないことが、誤りを防ぐ手掛かりです。

基本例題：和と差を先に計算する

次の値を根号と分数による厳密値で求めます。

sin(5π/12) sin(π/12)

2つの角は実数なので公式を使えます。図2のように、和はπ/2、差はπ/3です。差の角が先に来る形を選びます。

sin(5π/12) sin(π/12)
= {cos(π/3) - cos(π/2)}/2
= (1/2 - 0)/2
= 1/4

図2の和と差を元の2つの角へ戻すと、(π/2 + π/3)/2 = 5π/12、(π/2 − π/3)/2 = π/12です。角の取り違えがないことも確かめられます。どちらの因子も第1象限の正の値なので、積が正の1/4になることは符号にも合っています。仮にcos(π/2) − cos(π/3)と書けば負になり、この条件に合いません。

標準例題：混合した積の順序

次の値を根号と分数による厳密値で求めます。

cos(π/12) sin(7π/12)

sinの角をA = 7π/12、cosの角をB = π/12と置けば、A + B = 2π/3、A − B = π/2です。積の順を入れ替えてsin A cos Bと見れば、和と差のsinを足します。

cos(π/12) sin(7π/12)
= {sin(2π/3) + sin(π/2)}/2
= (√3/2 + 1)/2
= (√3 + 2)/4

別の確かめ方として、cos A sin Bの形をそのまま使います。このときA = π/12、B = 7π/12なので、A − B = -π/2です。

cos(π/12) sin(7π/12)
= {sin(2π/3) - sin(-π/2)}/2
= (√3/2 + 1)/2
= (√3 + 2)/4

差の角を負のまま扱うと、引く符号とsinの値の負号が別々に見えます。元の角に戻せば、和と差から(2π/3 − π/2)/2 = π/12、(2π/3 + π/2)/2 = 7π/12です。両因子は正なので、得られた値の符号も一致します。差の角の順を替える際に、sinの奇関数の性質を使う理由はここにあります。

発展例題：有限個の積をつなぐ

実数θについて、次の式をcosを用いて簡単にします。結果はθの制限を付けずに表します。

sin θ sin 2θ + sin 2θ sin 3θ + sin 3θ sin 4θ

それぞれの積で、2つの角の差と和を並べます。差の角を後の角から前の角で引いても、cosが偶関数なので値は同じです。分母は定数2で、どの実数θでも0になりません。

sin θ sin 2θ = (cos θ - cos 3θ)/2
sin 2θ sin 3θ = (cos θ - cos 5θ)/2
sin 3θ sin 4θ = (cos θ - cos 7θ)/2

今回は差の角がすべてθであり、同じ符号で3個現れます。和の角の項は異なるため、消えません。したがって答えは次の式です。

(3 cos θ - cos 3θ - cos 5θ - cos 7θ)/2

θ = 0では元の積はどれも0、答えも(3 − 1 − 1 − 1)/2 = 0です。θ = π/2では元の3項にsin πまたはsin 2πが含まれて0となり、答えの各cosも0です。この確認は立式の点検に役立ちます。ただし2つの値で一致したことだけでは、すべての実数での等式の証明にはなりません。一般のθに対する理由は、各項に適用した加法定理にあります。

ここでは同じ差の角が加わりました。別の並びでは、和の角の項と別の差の角の項が反対符号で一致し、消える場合もあります。似た形というだけでは消さず、角も符号も同じかを一組ずつ調べます。

誤答を直す：逆にしたのはどちらか

図3は基本例題と同じ角の組で、2通りの引き算を並べたものです。誤った式はcos(π/2) − cos(π/3)を2で割り、-1/4とします。図3のように項の順を比べると、正しい式はその逆です。

原因は「差の順を逆にしてよい」という性質を、cosの中の角から式全体にまで広げたことです。cos(-π/3) = cos(π/3)なので、角の差をπ/12 − 5π/12にしても問題ありません。しかしcos(π/3) − cos(π/2)とcos(π/2) − cos(π/3)は互いに符号が逆です。

修正するときは、まず加法定理に戻り、cos(A − B)からcos(A + B)を引くとsin A sin Bが2個残ることを書きます。次にAとBを元の角に戻し、それぞれを代入します。最後に元の2因子の符号と結果を比べます。符号が偶然合う例だけでは、引く順が正しいとは限りません。加法定理で2項の順を確認する作業まで行います。

また係数1/2の落とし忘れにも注意します。加法定理の2式を引いた結果は積そのものではなく、その2倍です。2で割る前の行を一度書くと、最後の係数を追いやすくなります。和と差の値が等しくて答えが0になる場合は、符号を逆にしても0のままです。その場合は結果の符号による点検が使えないため、導出に戻る確認が特に有効です。

練習問題

いずれも角はラジアンで、値は根号と分数による厳密値、文字式は指定の形で答えます。

1. cos(5π/12) cos(π/12)を求めます。
2. sin(7π/12) sin(π/4)を求めます。
3. sin(π/12) cos(π/4)を求めます。
4. 実数xについて、sin 3x sin 2x − sin 2x sin xをcosを用いて簡単にします。
5. 実数tについて、sin t sin 2t + sin 2t sin 5t + sin 5t sin 10tをcosを用いて簡単にします。

練習問題の解答と確認

1

2つの角の差はπ/3、和はπ/2です。cosどうしの積では、差と和のcosを足します。

cos(5π/12) cos(π/12)
= {cos(π/3) + cos(π/2)}/2
= (1/2 + 0)/2
= 1/4

和と差を元に戻すと、(π/2 + π/3)/2 = 5π/12、(π/2 − π/3)/2 = π/12です。両因子が正であることとも答えは一致します。

2

角の差はπ/3、和は5π/6です。sinどうしの積なので、差のcosから和のcosを引きます。

sin(7π/12) sin(π/4)
= {cos(π/3) - cos(5π/6)}/2
= {1/2 - (-√3/2)}/2
= (1 + √3)/4

和と差から元の角に戻すと、(5π/6 + π/3)/2 = 7π/12、(5π/6 − π/3)/2 = π/4です。どちらのsinも正なので、答えが正であることも条件に合います。cos(5π/6)は負ですから、引くときに負号を落とさないようにします。

3

sinの角を先に置くと、和はπ/3、差は-π/6です。差が負でも公式はそのまま使えます。

sin(π/12) cos(π/4)
= {sin(π/3) + sin(-π/6)}/2
= (√3/2 - 1/2)/2
= (√3 - 1)/4

(π/3 − π/6)/2 = π/12、(π/3 + π/6)/2 = π/4なので元の角に戻ります。両因子が正で、√3 > 1であることも答えと整合します。負の差を正に変えるときは、sinの値の符号も変える必要があります。

4

xは実数なので、それぞれの積に公式を使えます。後ろの積全体を引くため、括弧を残してから整理します。

sin 3x sin 2x - sin 2x sin x
= (cos x - cos 5x)/2 - (cos x - cos 3x)/2
= (cos 3x - cos 5x)/2

cos xの項が逆符号で消えます。x = 0では元の2つの積も答えも0です。x = π/2では元の式はsin πを因子に含むので0、答えもcos(3π/2)とcos(5π/2)がともに0です。差を取る前に後ろの括弧の符号を配ることが要点です。

5

差の角と和の角を、各積について順番に求めます。どの角も実数で、公式に追加の制限はありません。

sin t sin 2t = (cos t - cos 3t)/2
sin 2t sin 5t = (cos 3t - cos 7t)/2
sin 5t sin 10t = (cos 5t - cos 15t)/2

最初の2項ではcos 3tが消えます。最後の項のcos 5tは消す相手がないため残します。

sin t sin 2t + sin 2t sin 5t + sin 5t sin 10t
= (cos t - cos 7t + cos 5t - cos 15t)/2

t = 0では元の積も答えも0です。t = π/2でも各積にsin πまたはsin 5πが含まれて0となり、答えの4つのcosも0です。確認した値だけに頼らず、途中で消える角と残る角を見比べれば、有限個の項の整理を説明できます。

要点

積の因子がsinどうしか、cosどうしか、混合かを見ます。
同じ2角の和と差を求め、項の符号と係数1/2を付けます。
cosの中の差の順と、2項の引き順は別に扱います。
複数の積では、角と符号が一致する項を確かめて整理します。

どこでつまずいたかを見分ける

答えの符号が違うときは、最初に各因子の符号を見て、積の符号が合うかを調べます。次に和と差の角を書き出し、角の計算と公式の選択を切り分けます。角が合っていて式全体の符号が逆なら、差の角の順ではなく、cosの2項を引く順を確認します。係数だけが違うなら、加法定理を足し引きした直後に積が何個残るかに戻ります。

個別指導で確かめるなら、公式を暗唱できるかに加え、差の角を逆順にしたときのcosとsinの違いを自分の言葉で説明できるかを見ます。複数の項では、消える2項に印を付け、端に残る項も元の積へ戻して確認します。合っていた計算と誤った計算の分かれ目を示せれば、別の角の組にも同じ判断を使えます。積をほどいた後は、残った項まで読むことが計算の答えを決めます。