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高校数学III・C ベクトルの軌跡と最短距離—内積で一変数化して端点まで比較する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴理系の数学III・C 融合問題と記述答案

範囲外の停留点を除き、線分と円弧で距離が最小となる点に迫ります。鍵は端点です。

よくあるのは、理系高3の演習で距離の式を微分し、停留点が動点の範囲外なのに採用する場面です。直線上なら最短になる点でも、線分上には存在しないことがあります。式の計算に進む前に動点の範囲を文字で表し、候補がその範囲に入るかを確かめましょう。円弧でも角度の範囲が、どの点を選べるかを決めます。

動く範囲に応じた3つの見方

線分上の点は、一方の端点から他方へ向かうベクトルの実数倍で表します。係数を t とすると、線分では 0 ≦ t ≦ 1 です。距離の2乗は t の2次式となり、その頂点が区間内か外かで最短点が変わります。頂点が区間外なら、区間に近い側の端点を調べます。

円弧上では、中心からの位置ベクトルを角度で表す方法が便利です。内積により距離の2乗を三角関数の式に直し、角度の範囲で増減や等号を調べます。円全体で成立する最短点が、指定された円弧には含まれない場合にも注意します。

固定点の位置が文字で与えられる場合は、その文字によって候補が範囲に入るかどうかが変わります。先に文字の条件を分け、それぞれの範囲で最短点と距離を述べると、境界での重複や漏れを点検できます。ここで扱うのは線分と円弧の距離であり、図形の最大最小全般には広げません。

内積から距離の2乗へ

異なる2点 A、B を端点とする線分上の点 P は、実数 t を用いて

ベクトル AP = t ベクトル AB
0 ≦ t ≦ 1

と表せます。逆に、この範囲の t を選べば P は線分上にあります。端点 A は t = 0、端点 B は t = 1 です。固定点を Q とし、a = ベクトル AB、b = ベクトル AQ とおきます。a と b はベクトルです。ベクトル QP = t a − b なので、内積の分配法則から

QP² = (t a - b)・(t a - b)
    = |a|²t² - 2(a・b)t + |b|²

となります。A と B は異なるため |a|² > 0 です。平方完成すると

QP² = |a|²(t - (a・b)/|a|²)²
      + |b|² - (a・b)²/|a|²

です。頂点の係数を t₀ = (a・b)/|a|² とすれば、図1のように t₀ と区間を比較できます。t₀ が区間内ならその値、左にあれば 0、右にあれば 1 で最小です。t₀ が 0 または 1 に一致するときは、その端点が最短点です。距離は負でないため、距離の2乗が最小の点で距離自体も最小になります。

図1の右側のように t₀ が 1 より大きい場合、直線上の頂点は動点として選べません。端点 B を含む線分では t = 1 を採用します。もし端点を含まないという条件なら、近づけてもその値を実際には取れないことがあるため、別に存在を確かめます。

円弧の場合も、P と Q の位置ベクトルをそれぞれ p、q とすると QP² = |p|² + |q|² − 2p・q です。円の半径が一定なら |p|² は一定なので、距離の最小は内積の最大と結びつきます。角度の区間内で等号を実現する点があるかどうかまで書くことが、計算結果を図形の結論に戻す要になります。

基本例題：垂線の足が線分の内側にあるとき

座標平面で A(0, 0)、B(4, 0)、Q(3, 2) とします。P が線分 AB 上を動くとき、QP の最小値とそのときの P の座標を、整数または分数で求めます。

P = (4t, 0)、0 ≦ t ≦ 1 とおきます。この表示は線分上の点を過不足なく表します。図2のように Q から線分へ下ろした垂線の足が候補ですが、まず式でその係数を確かめます。

ベクトル QP = (4t - 3, -2)
QP² = (4t - 3)² + (-2)²
     = 16t² - 24t + 13
     = 16(t - 3/4)² + 4

3/4 は 0 ≦ t ≦ 1 を満たすので、平方の項は t = 3/4 で 0 になります。したがって QP² の最小値は 4 で、QP の最小値は 2 です。そのとき P = (3, 0) です。

この P は実際に線分上にあり、Q との差は (0, -2) です。長さは 2 で、ベクトル AB = (4, 0) との内積は 0 です。図2の垂直という見方と計算が一致します。垂直であることを先に利用してもよいですが、足が線分に入る確認を省くと次の例では誤ります。

標準例題：直線上の最短点を選べないとき

A(0, 0)、B(2, 1)、Q(4, 0) とします。P が線分 AB 上を動くときの QP の最小値を根号を用いて求め、最短点の座標も答えます。

P = (2t, t)、0 ≦ t ≦ 1 とおきます。距離の2乗を求めて平方完成します。

ベクトル QP = (2t - 4, t)
QP² = (2t - 4)² + t²
     = 5t² - 16t + 16
     = 5(t - 8/5)² + 16/5

直線上では t = 8/5 が頂点ですが、8/5 > 1 なので線分上にはありません。0 ≦ t ≦ 1 では t が大きいほど |t − 8/5| が小さくなるため、t = 1 で最小です。よって P = B = (2, 1) となり、

QP² = (2 - 4)² + 1²
     = 5
QP = √5

です。答えの点を元の範囲に戻すと t = 1 で確かに端点です。また Q と B の成分の差から距離は √5 と確かめられます。直線上の値 √(16/5) はより小さいものの、それを与える点 (16/5, 8/5) は B の先にあります。範囲外の値を答案の結論に使ってはいけません。

微分で考えるなら、f(t) = 5t² − 16t + 16 は実数全体で微分可能で、f′(t) = 10t − 16 です。0 ≦ t ≦ 1 では f′(t) ≦ -6 < 0 なので f は減少し、右端で最小です。微分を使った場合も、停留点を求めるだけでなく、与えられた区間での符号と端点を書きます。

発展例題：円弧と固定点の位置による場合分け

原点 O を中心とする半径 1 の円のうち、x ≧ 0、y ≧ 0 の部分を P が動きます。a を実数とし、Q(a, 2) とします。QP の最小値を a を用いて根号を含む正確な式で表し、そのときの P の座標も求めます。

P = (cos θ, sin θ)、0 ≦ θ ≦ π/2 とおきます。この角度の範囲は円弧の両端を含み、円弧の点に対応します。距離の2乗は次のようになります。

QP² = (cos θ - a)² + (sin θ - 2)²
     = cos² θ + sin² θ + a² + 4 - 2a cos θ - 4 sin θ
     = a² + 5 - 2(a cos θ + 2 sin θ)

したがって、L(θ) = a cos θ + 2 sin θ を円弧の範囲で最大にします。L は区間で連続、内部で微分可能です。微分に加えて端点も含めて判断します。

まず a ≦ 0 のとき、cos θ ≧ 0、sin θ ≦ 1 より

L(θ) = a cos θ + 2 sin θ
     ≦ 2 sin θ
     ≦ 2

です。θ = π/2 で cos θ = 0、sin θ = 1 となり、等号が成立します。よって P = (0, 1) で

QP² = a² + 5 - 4
     = a² + 1
QP = √(a² + 1)

です。a = 0 もこの端点で扱えます。Q と P の差は (-a, -1) なので、元の距離も √(a² + 1) です。

次に a > 0 とします。L′(θ) = -a sin θ + 2 cos θ です。内部で L′(θ) = 0 とすると、cos θ > 0 なので tan θ = 2/a です。この条件を満たす θ は 0 < θ < π/2 にあり、

cos θ = a/√(a² + 4)
sin θ = 2/√(a² + 4)

となります。実際に両者は正で、2乗の和は 1、比は 2/a です。さらに L′ はこの θ の前で正、後で負です。これは cos θ > 0 の内部で、tan θ が増加し、L′ = cos θ(2 − a tan θ) と書けるためです。従ってこの点で区間全体の最大を取ります。

L の最大値 = a・a/√(a² + 4) + 2・2/√(a² + 4)
           = √(a² + 4)
QP² の最小値 = a² + 5 - 2√(a² + 4)
             = (√(a² + 4) - 1)²

a > 0 では √(a² + 4) > 1 なので、QP の最小値は √(a² + 4) − 1 です。最短点は P = (a/√(a² + 4), 2/√(a² + 4)) です。この点は第1象限の円弧上にあり、ベクトル OP と OQ は同じ向きです。実際、Q の原点からの距離は √(a² + 4)、P の原点からの距離は 1 なので、両点間はその差になります。a = 0 では上の式も距離 1 を与えますが、場合分けでは先の端点として扱っています。

この例の答案では、停留点の式を出した後に角度の範囲へ戻すことが欠かせません。a < 0 では正の角度について tan θ = 2/a は成り立たず、円全体で考えた同方向の点も指定の円弧の外側です。等号が実際に取れる端点を明記することで、最大値の評価とその達成がつながります。

誤答を修正する：範囲外の頂点と端点

標準例題で「QP² = 5(t − 8/5)² + 16/5 だから、最小値は 16/5」と書く答案を考えます。平方完成の計算は正しいのですが、等号に必要な t = 8/5 が条件 0 ≦ t ≦ 1 を満たしません。最小値を達成する点が動けない場所にあります。

図3では、許される区間が 0 から 1 で、頂点 8/5 はその右にあります。修正答案には「区間内で t − 8/5 は負で、t が増えるとその絶対値が減る。よって t = 1 で QP² = 5」と書きます。最後に距離は √5、点は B と戻せば、式の最小値と元の問いの答えを取り違えません。

別の失敗は、円弧で導関数が 0 になる角を探して終わることです。内部に停留点がない場合にも閉じた円弧の端点で最小になることがあります。導関数の符号、端点の値、等号が実現する角度を順に照合しましょう。式の値が合っていても、その点が条件を満たす理由がなければ、結論への橋が残っています。

練習問題：先に5問を考える

いずれも P は指定された範囲の端点を含めて動きます。距離は整数、分数または根号を使った正確な値で答え、最短点の座標も求めてください。

A(1, 1)、B(5, 1)、Q(2, 4) とします。P が線分 AB 上を動くときの QP の最小値を求めます。
A(0, 0)、B(1, 2)、Q(-2, 1) とします。P が線分 AB 上を動くときの QP の最小値を求めます。
A(0, 0)、B(3, 4)、Q(6, 0) とします。P が線分 AB 上を動くときの QP の最小値を求めます。
原点を中心とする半径 3 の円のうち x ≧ 0、y ≧ 0 の円弧上を P が動きます。Q(4, 3) とするときの QP の最小値を求めます。
A(0, 0)、B(2, 0)、Q(a, 1) とし、a は実数です。P が線分 AB 上を動くときの QP の最小値と最短点を a の範囲ごとに求めます。

練習問題の解答と条件の照合

1. 水平な線分の内側

P = (1 + 4t, 1)、0 ≦ t ≦ 1 とおきます。

QP² = (4t - 1)² + (1 - 4)²
     = 16(t - 1/4)² + 9

1/4 は範囲内です。よって t = 1/4 のとき P = (2, 1)、最小値は 3 です。P は A から B へ 1/4 進んだ点であり、Q との差 (0, -3) の長さも 3 です。

2. 頂点が端点に一致する場合

P = (t, 2t)、0 ≦ t ≦ 1 とおきます。

QP² = (t + 2)² + (2t - 1)²
     = t² + 4t + 4 + 4t² - 4t + 1
     = 5t² + 5

t = 0 で最小となり、P = (0, 0)、距離は √5 です。Q から A までの差は (2, -1) で、長さの2乗は 5 です。端点 A と Q を結ぶベクトルと AB の内積は 0 となり、直線への垂線の足が端点に一致する場合です。

3. 斜めの線分への射影

P = (3t, 4t)、0 ≦ t ≦ 1 とおきます。

QP² = (3t - 6)² + (4t)²
     = 25t² - 36t + 36
     = 25(t - 18/25)² + 576/25

18/25 は範囲内なので、P = (54/25, 72/25) で最小です。QP の最小値は 24/5 です。確認として QP の成分は (-96/25, 72/25) で、その長さの2乗は (9216 + 5184)/625 = 576/25 です。この差と AB = (3, 4) の内積は (-288 + 288)/25 = 0 です。

4. 円弧上の同じ向き

P = (3 cos θ, 3 sin θ)、0 ≦ θ ≦ π/2 とおきます。

QP² = (3 cos θ - 4)² + (3 sin θ - 3)²
     = 34 - 6(4 cos θ + 3 sin θ)

内積の性質から 4 cos θ + 3 sin θ ≦ √(4² + 3²)√(cos² θ + sin² θ) = 5 です。cos θ = 4/5、sin θ = 3/5 は指定範囲で実現し、等号が成立します。したがって QP² の最小値は 34 − 30 = 4、距離は 2、点は P = (12/5, 9/5) です。P の成分の2乗の和は 9、両成分は正なので円弧上です。Q との差 (8/5, 6/5) の長さも 2 です。

5. 固定点が端点の外へ動く場合

P = (2t, 0)、0 ≦ t ≦ 1 とおきます。

QP² = (2t - a)² + 1
     = 4(t - a/2)² + 1

頂点 a/2 と区間を比べます。a ≦ 0 なら t = 0 で、P = (0, 0)、最小値は √(a² + 1) です。0 ≦ a ≦ 2 なら t = a/2 で、P = (a, 0)、最小値は 1 です。a ≧ 2 なら t = 1 で、P = (2, 0)、最小値は √((a − 2)² + 1) です。

a = 0 と a = 2 では隣り合う場合の点と値が一致します。それぞれの P の x 座標は 0 から 2 の範囲にあり、Q との差を距離の式へ戻すと、示した3つの値になります。区間の境界も含めて最短点が得られます。