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高校数学III・C 接線と不等式—凹凸から上下関係を説明して評価につなぐ｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴理系の数学III・C 融合問題と記述答案

指数関数と対数関数の接線との差を微分し、上下関係の証明から和の最大値と係数条件の判定へつなげます。

よくあるのは、理系高3の演習で、接線は常にグラフより下にあると思い込む場面です。接点付近の図を見て傾きが合っていることを確かめても、接線が上か下かは決まりません。対数関数のように接線が上にくる場合もあります。接点と比べる点が同じ定義域にあるか、差がどちらの符号になるかを答案に残しましょう。

どの形から接線を選ぶか

接線と不等式には、まず関数と接点が指定され、曲線と直線の上下関係を証明する型があります。接線の式を出した後に差の関数を作り、その符号と等号を調べます。図だけでは離れた場所の上下関係まで証明できません。

次に、与えられた式の一次式を接線と見て、指数や対数を含む式を評価する型があります。接点は、一次式と関数の値だけでなく傾きも一致する点を探します。最後に複数の不等式を足す型では、それぞれの等号が同時に成立するかを確認します。

係数に文字があるときは、接点を先に定めてから係数条件を調べることもあります。ただし、接点で等しいという事実だけでは、接線が全域で上か下かは決まりません。定義域の境界を越えて接線の評価を適用しないことも必要です。

接線との差を微分する

関数 f が開区間で微分可能で、区間内の x = a を接点とすると、接線は L(x) = f(a) + f′(a)(x − a) です。比べたい差を D(x) = f(x) − L(x) と置くと、D(a) = 0、D′(a) = 0 です。D が全域で非負なら接線はグラフの下、非正なら上です。

図1のように、f′ が増加する区間では x < a で D′(x) < 0、x > a で D′(x) > 0 となります。したがって D は接点まで減少し、その後増加するので D(x) ≥ 0 です。f′ が減少する場合は符号と結論が逆になります。ここで厳密な増減を使うなら、導関数の大小が厳密に成立することも示します。

図1は、接点を境に差が最小または最大になる流れを表します。f″ が区間内で正なら f′ は増加し、負なら減少します。これは微分可能な関数の導関数の符号から増減を調べる高校数学の手順です。f″ の符号が途中で変わる場合は、区間全体に同じ上下関係をそのまま適用できません。f″ = 0 の点がある場合にも、等号の唯一性を別途調べる必要があります。

例えば f(x) = x³ は x = 0 で接線が y = 0 ですが、曲線は負の x では接線の下、正の x では上です。f″(x) = 6x の符号が変わるためです。接するという局所的な情報と、全域の上下関係を区別します。

基本例題：指数関数を直線で下から押さえる

問題：すべての実数 x に対して eˣ ≥ 1 + x を証明し、等号条件を求めてください。また e² の下界を整数で答えてください。

解答：f(x) = eˣ は実数全体で2回微分可能で、f′(x) = eˣ、f″(x) = eˣ > 0 です。x = 0 での接線は、f(0) = 1、f′(0) = 1 より L(x) = 1 + x です。図2のように、この直線と曲線の差を調べます。

D(x) = eˣ − 1 − x と置けば、D(0) = 0 です。さらに

D′(x) = eˣ - 1
x < 0 のとき D′(x) < 0
x = 0 のとき D′(x) = 0
x > 0 のとき D′(x) > 0

よって D は x = 0 で最小値 0 をとり、それ以外では正です。したがって eˣ ≥ 1 + x で、等号は x = 0 のときに限ります。図2の接点は (0, 1) であり、接線の傾きも曲線の傾きも 1 です。

x = 2 を代入すると e² > 3 です。2 は等号条件の 0 ではないので、ここでは厳密な不等号になります。接線を求めて終えるのではなく、接点以外での差の符号を示したことが、この厳密な評価につながります。

標準例題：対数の接線から積の評価へ

問題：正の数 u, v が u + v = 6 を満たします。log u + log v の最大値を log を含む正確な式で求め、等号条件を示してください。log は自然対数です。

解答：正の範囲で f(t) = log t とすると、f′(t) = 1/t、f″(t) = -1/t² < 0 です。t = 3 での接線は

L(t) = log 3 + (t - 3)/3

です。接線が上にあることを差で確かめます。H(t) = L(t) − log t とすると、正の t で

H′(t) = 1/3 - 1/t
       = (t - 3)/(3t)

となります。分母は正なので、H′ は t < 3 で負、t > 3 で正です。H(3) = 0 から、正の t について H(t) ≥ 0 であり、等号は t = 3 に限ります。つまり

log t ≤ log 3 + (t - 3)/3

です。u, v は正なのでそれぞれ代入できます。2式を加えると

log u + log v ≤ 2 log 3 + (u + v - 6)/3
              = 2 log 3

となります。2つの差 H(u), H(v) はともに非負なので、和が 0 になるのは両方が 0 のときです。u = v = 3 が必要であり、この値は正で和も 6 ですから十分です。最大値は 2 log 3、等号は u = v = 3 です。

ここで t = 0 を代入することはできません。log t の定義域が t > 0 だからです。また片方の等号だけを調べても和の等号は確定しません。和の条件から接点 3 を選ぶと、2つの一次の項が打ち消し合います。

発展例題：接線の傾きから係数の範囲を決める

問題：実数 a について、不等式 log x ≤ a(x − 2) + log 2 がすべての x > 0 で成立するための必要十分条件を、正確な値で求めてください。

解答：右辺の直線は x = 2 で曲線 y = log x と同じ値をとります。全域で曲線の上にあるなら、この点を通る直線の傾きは接線の傾きと一致するはずです。その必要性を左右からの差商で示します。

成立を仮定して x = 2 + h と置きます。h は 2 + h > 0 を満たす 0 でない数です。仮定から

log(2 + h) - log 2 ≤ ah

です。h > 0 なら正の h で割って

(log(2 + h) - log 2)/h ≤ a

となり、h → 0 の右側からの極限で 1/2 ≤ a です。一方、-2 < h < 0 なら負の h で割るので不等号が逆になり、

(log(2 + h) - log 2)/h ≥ a

です。左側から h → 0 とすると 1/2 ≥ a です。両方を合わせ、a = 1/2 が必要です。片側の差商しか調べなければ、一方の不等式しか得られません。

逆に a = 1/2 とします。K(x) = log 2 + (x − 2)/2 − log x と置けば、x > 0 で

K′(x) = 1/2 - 1/x
       = (x - 2)/(2x)

です。K は 0 < x < 2 で減少し、x > 2 で増加します。K(2) = 0 ですから、全域で K(x) ≥ 0 です。したがって求める条件は a = 1/2 です。このとき x = 2 で等号が成立し、それ以外では厳密な不等号です。必要性で得た値を代入するだけでなく、全域の符号を確かめたので十分性も示せています。

誤答を差の符号から直す

誤答：「f(x) = log x は x = 1 で接線 y = x − 1 を持つ。接線はグラフより下なので log x ≥ x − 1 である。」接線の式そのものは正しいですが、上下の向きが誤りです。例えば x = 2 では、正しい関係は log 2 < 1 です。

図3のように、対数のグラフと接線の差を接点の左右で調べ直します。P(x) = x − 1 − log x とすると、x > 0 において

P′(x) = 1 - 1/x
       = (x - 1)/x

です。P は 0 < x < 1 で減少し、x > 1 で増加します。P(1) = 0 なので P(x) ≥ 0、等号は x = 1 に限ります。修正後は log x ≤ x − 1 です。

図3の右側だけを見て判断すると、左側の符号を確認したことにはなりません。接点の左右で差の導関数がどう変わるかを言葉と式で結びます。接線が下になる指数関数の例と上になる対数関数の例を並べると、接線だからという理由で向きを決める失敗を見分けられます。

練習：接点と範囲を自分で選ぶ

次の5問は、指定がなければ等号条件も答えてください。数値は整数、分数、または log や e を含む正確な式で表します。

すべての実数 x で eˣ ≥ e(x) を証明してください。右辺の e(x) は e・x を意味します。
x > 0 で log x ≤ x/4 − 1 + log 4 を証明してください。
正の p, q が p + q = 10 を満たすとき、log p + log q の最大値を求めてください。
実数 b について、eˣ ≥ 1 + bx がすべての実数 x で成立するための必要十分条件を求めてください。
x > 0 で log x ≥ 1 − 1/x を証明してください。

練習の解答と照合

1

f(x) = eˣ の x = 1 での値と傾きはともに e です。接線は e + e(x − 1) = e・x です。差 A(x) = eˣ − e・x は

A′(x) = eˣ - e

を満たします。A′ は x < 1 で負、x > 1 で正なので、A は x = 1 で最小です。A(1) = 0 より求める不等式が成立し、等号は x = 1 に限ります。元の式に戻すと両辺は e で一致し、接線の傾きも e です。

2

B(x) = x/4 − 1 + log 4 − log x と置きます。x > 0 で

B′(x) = 1/4 - 1/x
       = (x - 4)/(4x)

です。B は x = 4 まで減少し、その後増加します。B(4) = 0 より B(x) ≥ 0 で、等号は x = 4 です。右辺の直線は x = 4 で値が log 4、傾きが 1/4 となり、曲線の値と導関数に一致します。

3

2の評価をそのまま使うのではなく、和の半分である 5 を接点に選びます。C(t) = log 5 + (t − 5)/5 − log t とすると、t > 0 で

C′(t) = 1/5 - 1/t
       = (t - 5)/(5t)

です。C は t = 5 で最小値 0 をとるので、正の p, q にそれぞれ適用して

log p + log q ≤ 2 log 5 + (p + q - 10)/5
              = 2 log 5

です。等号には p = q = 5 が必要です。この組は正で和が 10 なので条件を満たし、最大値は 2 log 5 です。接点の候補が条件に戻して実現することまで確認します。

4

成立を仮定し、x = h と置きます。h > 0 では

(eʰ - 1)/h ≥ b

です。h < 0 では負の数で割るので

(eʰ - 1)/h ≤ b

です。h をそれぞれ 0 に近づけ、指数関数の x = 0 での導関数が 1 であることから、1 ≥ b かつ 1 ≤ b を得ます。必要条件は b = 1 です。

逆に b = 1 なら基本例題の差 D(x) は全実数で非負です。したがって十分でもあり、答えは b = 1 です。x = 0 では両辺が 1 となり、接線の傾きも 1 です。h の正負を分けないと、必要性の半分が欠けます。

5

E(x) = log x − 1 + 1/x と置くと、x > 0 で

E′(x) = 1/x - 1/x²
       = (x - 1)/x²

です。E は 0 < x < 1 で減少し、x > 1 で増加します。E(1) = 0 より E(x) ≥ 0 で、等号は x = 1 に限ります。これは t = 1/x > 0 として log t ≤ t − 1 を適用し、log(1/x) = -log x と戻しても得られます。x = 1 を元の式に戻すと両辺は 0 です。