高校数学II 二点を通る直線—座標差の条件を確かめ切片と一般形を求め分ける｜武蔵野個別指導塾

横座標が等しい場合や切片の条件を例題で整理します。確かめる対象は二点を通る直線です。

よくあるのは、2点の横座標の差が0なのに、傾きを求めようとしてその差で割ってしまう場面です。割り算を始める前に2点の位置を見れば、縦の直線を表す式を選べます。さらに、2点が重なる場合には直線が1本に決まるという前提も崩れます。座標差の確認から出発し、得た式が元の2点を通るところまで見届けましょう。

要点（結論から）

• 2点が異なるかを、横と縦の座標差で確認します。
• 横座標の差が0でなければ、同じ順の縦の差を割って傾きを求めます。
• 横座標の差が0で縦座標の差が0でなければ、直線は x = 共通の横座標 です。

どんな条件から直線を決めるか

二点を通る直線の問題には、まず座標が数で与えられ、方程式を求める型があります。横座標が異なれば傾きを計算できますが、差の符号を両方で同じ順序にそろえる必要があります。求めた直線と座標軸との交点も問われるなら、x軸ではy = 0、y軸ではx = 0を代入します。

次に、2点の座標に文字が含まれる型があります。文字の値によって横座標が等しくなることがあり、さらに縦座標まで等しければ2点は一致します。文字を含む差で割る式を使う前に、その差が0になる値を取り出しましょう。式の形を先に決めて計算を進めると、縦の直線や直線が決まらない場合を見落とします。

もう一つは、軸との交点の条件を使って、与えられた点の座標を逆に求める型です。軸との交点が実際に存在するか、原点を通る場合に切片の分母が0にならないかを確認します。交点の座標と切片は同じ意味ではなく、例えばx軸上の交点が (a, 0) のとき、そのx座標aをx切片と呼びます。

座標差から式を作る

点A(x₁, y₁)、点B(x₂, y₂)を考えます。まずAとBが異なることを確かめます。異なる2点を通る直線は1本に決まります。図1のように横座標の差を横向き、縦座標の差を縦向きに見れば、傾きを作る2つの差の対応が見えます。

x₂ − x₁が0でないとき、2点を通る直線の傾きは (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) です。直線上の任意の点をP(x, y)とすると、AからPまでの変化も同じ傾きを持つので、次の式が成り立ちます。

y - y₁ = {(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)}(x - x₁)

この式はAを通り、傾きがAとBを結ぶ直線と同じです。逆にこの式を満たす点はその直線上にあります。実際にx = x₁とすればy = y₁、x = x₂とすればy = y₂です。2点の順序を逆にしても、分子と分母がともに符号を変えるため、傾きは変わりません。片方だけ順序を変えると、傾きの符号が逆になります。

両辺に0でない x₂ − x₁ を掛けて整理すると、次の形になります。

(x₂ - x₁)(y - y₁) = (y₂ - y₁)(x - x₁)

この式は、横座標が等しく縦座標が異なる場合にも使えます。そのとき左辺は0、右辺の係数 y₂ − y₁ は0でないので、x = x₁を得ます。したがって縦の直線も含む式です。ただし2点が一致すると両方の差が0となり、0 = 0になって平面上のすべての点が式を満たします。これは直線1本を表さないため、2点が異なるという条件は外せません。

縦座標が等しく横座標が異なる場合は、傾きが0で、式はy = y₁です。一方、横座標が等しく縦座標が異なる場合には、傾きは定義できず、式はx = x₁です。どちらも座標差を見るだけで区別できます。一般形 ax + by + c = 0 ではaとbが同時に0でないことが必要です。x = x₁はb = 0の一般形に含まれます。

x切片をp、y切片をqとして x/p + y/q = 1 と書く形は、pとqがともに0でないときに使えます。原点を通る直線や、座標軸の一方と交わらない直線に、分母を0にしてこの形を使うことはできません。一般形を先に求め、軸上の条件を代入して交点の有無から調べると安全です。

基本例題：2点から軸との交点まで

点A(-2, 1)、点B(4, 5)を通る直線の方程式を一般形で求め、そのx軸、y軸との交点を座標で答えてください。

図2のように、AからBへ進むと横に6、縦に4増えます。横座標が異なるので、2点は異なり、傾きを求める分母も0ではありません。傾きを約分してAの座標を代入します。

傾き = (5 - 1)/(4 - (-2))
傾き = 4/6
傾き = 2/3
y - 1 = (2/3)(x + 2)
3(y - 1) = 2(x + 2)
3y - 3 = 2x + 4
2x - 3y + 7 = 0

一般形では、xとyの係数2、-3は同時に0ではありません。Aを代入すると -4 − 3 + 7 = 0、Bを代入すると 8 − 15 + 7 = 0 です。2点を通ることを確かめられます。係数をすべて-1倍した式も同じ直線を表します。

x軸上ではy = 0なので、2x + 7 = 0 から x = -7/2 です。y軸上ではx = 0なので、-3y + 7 = 0 から y = 7/3 です。したがって交点はそれぞれ (-7/2, 0)、(0, 7/3) です。両座標を一般形に戻すと、前者は-7 + 7 = 0、後者は-7 + 7 = 0となります。

切片がどちらも0でないため、この例では x/(-7/2) + y/(7/3) = 1 と書くこともできます。分母を払うと、先ほどの一般形と同じ式が得られます。図に表した2点の間の線分だけでなく、方程式はその両側へ延びる直線全体を表します。

標準例題：文字で変わる2点

実数tについて、A(1, 2)、B(t, 2t)を考えます。AとBが異なる場合、その2点を通る直線の方程式を一般形で求め、AとBが一致する場合も答えてください。

最初に座標差を並べます。横座標の差が0になる値と、そのとき縦座標の差が0になるかを確認します。

xの差 = t - 1
yの差 = 2t - 2
yの差 = 2(t - 1)

t = 1なら、B(1, 2)はAと一致します。1点を通る直線は複数あるため、この条件だけでは1本に決まりません。例えばx = 1とy = 2はともにAを通ります。ここで二点式を使うと0 = 0になり、どちらか1本を指定したことにはなりません。

t ≠ 1なら、横座標の差は0でないので傾きを求められます。分母の t − 1 が0でないことを記してから約分します。

傾き = 2(t - 1)/(t - 1)
傾き = 2
y - 2 = 2(x - 1)
y - 2 = 2x - 2
2x - y = 0

答えは t ≠ 1 のとき 2x − y = 0、t = 1 のとき1本に決まらない、です。Aでは2 − 2 = 0、Bでは2t − 2t = 0です。t ≠ 1なら両点は異なるので、この直線が条件を満たす唯一の直線です。約分した結果に文字が残らなくても、約分を許す条件まで消えたわけではありません。

この例で「縦の直線になる値」を探すと、横座標の差が0になるのはt = 1です。しかしその値では縦座標も一致します。横座標が同じという情報だけで縦の直線と決めず、もう一方の差も調べることが必要です。

発展例題：切片の条件から点を探す

点C(2, 3)と点D(6, s)は異なります。直線CDのx切片とy切片がともに0でないとき、x切片がy切片の2倍になるような実数sを求めてください。また直線の方程式と2つの交点を答えてください。

CとDの横座標は2と6で異なるため、直線は縦ではなく傾きも定義できます。条件を満たすx切片を2q、y切片をqと置きます。qは0でないので、切片の式を使えます。

x/(2q) + y/q = 1
x + 2y = 2q

この直線はC(2, 3)を通るので、座標を代入します。

2 + 2・3 = 2q
8 = 2q
q = 4

よって直線は x + 2y = 8 です。D(6, s)を代入してsを求めます。

6 + 2s = 8
2s = 2
s = 1

答えはs = 1、直線は x + 2y − 8 = 0、交点は (8, 0)、(0, 4) です。Cについて2 + 2・3 = 8、Dについて6 + 2・1 = 8が成り立ちます。交点を戻すと8 + 0 = 8、0 + 2・4 = 8です。切片は8と4で、ともに0でなく、前者が後者の2倍という元の条件も満たします。

逆に条件を満たす直線は、切片を2qとqで表した式にCを代入することでq = 4に限られます。したがって、得られたs以外に解はありません。最初の式に未知のqを置く際にq ≠ 0を確認したことが、分母を払っても元の条件と対応する根拠です。

間違えた式をどこで止めるか

A(3, -1)、B(3, 4)を通る直線を求めるとき、次のように傾きを計算するのは誤りです。

傾き = (4 - (-1))/(3 - 3)
傾き = 5/0

5を0で割ることはできません。「傾きが大きい数になる」と考えて計算を続けても、直線の方程式は得られません。図3では2点の横座標がともに3です。異なるのは縦座標なので、両点を通る直線は縦に延びる x = 3 です。

修正では、まず 3 − 3 = 0、4 − (-1) = 5 を別々に出します。次に、縦座標の差が0でないので2点は異なると確かめます。共通の横座標から x = 3 と書けば、両点が式を満たします。yの値には制限がなく、2点の間以外も直線に含まれます。

似た失敗として、2点がともに (3, -1) なら、やはりx = 3と決めてしまうことがあります。この場合はy = -1もその点を通り、条件を満たす直線は1本に限られません。横座標の差が0だった後の判断は、縦座標の差によって分かれます。0で割る前にこの2段階を確かめることが修正の出発点です。

練習：差と交点を自分で調べる

次の5問は、それぞれの条件を満たす答えを求めてください。方程式は一般形で表し、交点は座標で答えます。

1. P(-3, -2)、Q(1, 4)を通る直線と、そのx軸、y軸との交点を求めてください。
2. R(5, -3)、S(5, 2)を通る直線を求め、各座標軸との共有点を答えてください。
3. U(-4, 2)、V(2, 2)を通る直線を求め、各座標軸との共有点を答えてください。
4. 実数kについて、M(2, -1)、N(k, k − 3)を考えます。2点が異なる場合の直線を求め、一致する場合も答えてください。
5. E(1, 4)、F(5, r)を通る直線のx切片とy切片はともに0でなく、y切片がx切片の2倍です。実数r、直線、2つの交点を求めてください。

練習の解答と確かめ

1. 横と縦の差の順序をそろえる

横座標の差は1 − (-3) = 4で0ではありません。縦座標の差は4 − (-2) = 6です。

傾き = 6/4
傾き = 3/2
y + 2 = (3/2)(x + 3)
2y + 4 = 3x + 9
3x - 2y + 5 = 0

y = 0から x = -5/3、x = 0から y = 5/2 です。答えは 3x − 2y + 5 = 0、交点は (-5/3, 0)、(0, 5/2) です。Pでは-9 + 4 + 5 = 0、Qでは3 − 8 + 5 = 0です。交点もそれぞれ-5 + 5 = 0となり、元の直線上にあります。

2. 同じ横座標を見る

横座標の差は0、縦座標の差は2 − (-3) = 5です。RとSは異なるため、直線は x − 5 = 0 です。両点の横座標は5なので式を満たします。y = 0と合わせるとx軸との共有点は (5, 0) です。y軸上ではx = 0ですが、x = 5を同時には満たせないので共有点はありません。

3. 同じ縦座標を見る

横座標の差は2 − (-4) = 6、縦座標の差は0です。傾きは0/6 = 0となり、直線は y − 2 = 0 です。UとVの縦座標はともに2です。x軸上ではy = 0なので共有点はなく、y軸上の共有点は (0, 2) です。どちらの判定も元の式へ軸の条件を戻して得られます。

4. 一致する値を除いてから割る

横座標の差と縦座標の差を出します。

xの差 = k - 2
yの差 = (k - 3) - (-1)
yの差 = k - 2

k = 2ならN(2, -1)となりMと一致し、直線は1本に決まりません。k ≠ 2では差が0でないので、傾きは (k − 2)/(k − 2) = 1です。

y + 1 = x - 2
x - y - 3 = 0

Mを戻すと2 + 1 − 3 = 0、Nを戻すと k − (k − 3) − 3 = 0 です。2点が異なる範囲では、この式が求める直線です。k = 2を計算後に代入して式が成り立っても、その値で唯一の直線を指定できることにはなりません。

5. 切片から直線を決める

x切片をpとすると、y切片は2pです。どちらも0でないという条件からp ≠ 0です。

x/p + y/(2p) = 1
2x + y = 2p

E(1, 4)を代入すると、2 + 4 = 2p、p = 3です。したがって直線は 2x + y − 6 = 0 です。F(5, r)を戻します。

2・5 + r = 6
10 + r = 6
r = -4

交点は (3, 0)、(0, 6) です。Eでは2 + 4 = 6、Fでは10 − 4 = 6です。交点でもそれぞれ6となり、切片は3と6で0でなく、y切片がx切片の2倍です。条件からpが3に決まるので、ほかのrはありません。

要点を4行で整理

• 2点が異なるかを、横と縦の座標差で確認します。
• 横座標の差が0でなければ、同じ順の縦の差を割って傾きを求めます。
• 横座標の差が0で縦座標の差が0でなければ、直線は x = 共通の横座標 です。
• 軸との交点を代入で求め、切片の形では分母が0でないことを確かめます。

つまずきを見分ける問い

「横座標の差が0のとき、なぜ傾きの式を使えないのか」を言葉にできるか確認してみましょう。続いて「縦座標の差も0なら、直線は何本に決まるか」と問うと、縦の直線と2点の一致を区別できているか見えます。座標を式に戻すときは、2点とも成り立つかに加え、一般形のxとyの係数が同時に0でないかを調べます。

個別指導では、答案に書いた分母を指し、その値が0となる条件を本人に探してもらえます。軸との交点に進む際は、どの座標を0にするのかを図と式で対応させます。横座標と縦座標の差を分けて点検すれば、二点から定まる直線の形を取り違えずに選べます。