高校数学II 4次方程式の置き換え—複二次式と相反式を低い次数へ帰着する｜武蔵野個別指導塾

x²やx + 1/xを別の文字に置く前の条件を確認し、実数解と非実数解を元の4次方程式へ戻す段階までたどれます。

よくあるのは、4次方程式を別の文字に置き換え、その文字についての2次方程式を解いたところで答えを書いてしまう場面です。例えば x² = 9 とわかっても、求めるのは x ですから 9 をそのまま書くことはできません。置き換えは計算を短くする道具であり、答えを元の文字へ戻すところまでが一続きです。ここでは複二次式と相反式を扱い、それぞれの置き換えが使える条件、解の戻し方、代入による確認を追います。数学IIの複素数と方程式の範囲で考えます。

要点（結論から）

• 複二次式は t = x² と置き、得られた t ごとに x² = t を解きます。
• 相反式は 0 が解でないことを確かめてから x² で割ります。
• t = x + 1/x なら x² + 1/x² = t² − 2 です。

どの形なら次数を下げられるか

1つ目は、x の偶数乗と定数項からなる複二次式です。x⁴、x²、定数が並ぶ式なら、x² をひとまとまりと見ると2次式になります。例えば x⁴ + ax² + b = 0 は t = x² によって t² + at + b = 0 です。解いた後は t の値ごとに x² = t を解きます。

2つ目は、係数が両端から対称に並ぶ相反式です。x⁴ + ax³ + bx² + ax + 1 = 0 では定数項が 1 なので x = 0 は解ではありません。そこで x² で割り、x² + 1/x² と x + 1/x を作ります。後者を t と置くと、前者も t を使って表せます。

3つ目は、解の範囲や重複を問う形です。実数の解に限る場合、t = x² なら t は 0 以上です。しかし複素数まで求める場合、負の t からも虚数の x が出ます。相反式で実数の x を考える場合も、得られた t に対して実数の x があるかを、戻した2次方程式で判定します。

置き換える前に残す条件

複二次式の一般的な形は ax⁴ + bx² + c = 0 です。ただし a ≠ 0 とします。t = x² と置くと x⁴ = t² なので、at² + bt + c = 0 を解く問題に変わります。ここでの t は途中で使う文字で、元の方程式の未知数 x とは別です。t の値を1つ得るたびに、x² = t という方程式を解き直します。

相反式は、係数を高い次数から低い次数へ並べたとき、両端から対応する係数が等しい式です。4次の形 ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0 では a ≠ 0 です。定数項が a なので x = 0 を代入すると左辺は a であり、0 にはなりません。したがって、解を探す際に x ≠ 0 として x² で割れます。割る前にこの確認を置くと、0 という候補を失っていないと説明できます。

図1のように、2つの方法は置き換える前の確認が異なります。どちらも最後には x へ戻します。

x ≠ 0 のもとで t = x + 1/x とすると、次の等式が成り立ちます。

t² = (x + 1/x)²
   = x² + 2 + 1/x²
x² + 1/x² = t² - 2

ここで 2 を引くのは、平方したときの交差項が 2 だからです。戻すときは t = x + 1/x の両辺に x を掛け、x² − tx + 1 = 0 を解きます。この式の定数項は 1 なので、得られる x は 0 ではありません。元の式を x² で割った操作と、戻す際に x を掛けた操作の条件がつながっています。

実数 x なら x² ≥ 0 ですが、複素数 x にその不等号は使えません。例えば x = i なら x² = -1 です。また、実数 x ≠ 0 に対し t = x + 1/x から戻す式の判別式は t² − 4 です。t が実数でも t² − 4 < 0 なら、対応する実数 x はありません。複素数の解を求めるときは、その場合も解を求めます。

基本例題：平方をひとまとまりにする

次の方程式を解き、解を整数または虚数単位 i を用いて表してください。

x⁴ - 5x² + 4 = 0

x³ と x の項がなく、x⁴ = (x²)² です。図2のように t = x² と置いて2次方程式を解き、枝ごとに x まで戻します。

t = x²
x⁴ - 5x² + 4 = 0
t² - 5t + 4 = 0
(t - 1)(t - 4) = 0
t = 1 または t = 4

まず t = 1 は x² = 1 を意味します。左右に平方して 1 になる数を取り、x = 1 または x = -1 です。次に t = 4 は x² = 4 なので、x = 2 または x = -2 です。答えは x = 1、-1、2、-2 です。ここで t = 4 を x = 4 と書くと、x² = 4 を満たさない候補を答えに混ぜてしまいます。

元の式で確かめます。x = ±1 では x² = 1、x⁴ = 1 なので左辺は 1 − 5 + 4 = 0 です。x = ±2 では x² = 4、x⁴ = 16 なので 16 − 20 + 4 = 0 です。逆に、元の式の解なら必ず t² − 5t + 4 = 0 を満たすため、調べた2つの t 以外から解は生じません。代入で候補が解だと確かめ、置換した式の因数分解で取りこぼしも防ぎます。

この例は t の両方が正でしたが、複素数を含む問題では負の値を捨てません。逆に実数の解だけを求める問題では、負の t に対する x² = t に実数解がないと記して枝を閉じます。求める数の範囲を先に読むことで、途中の t の扱いを誤らずに済みます。

標準例題：負の値も元に戻す

次の方程式の複素数の範囲の解を、整数、根号、i を用いてすべて求めてください。

x⁴ + x² - 6 = 0

偶数乗の式なので t = x² と置きます。正の値と負の値が1つずつ出るため、戻す式を分けます。

t = x²
t² + t - 6 = 0
(t + 3)(t - 2) = 0
t = -3 または t = 2

t = -3 のとき
x² = -3
x = √3 i または x = -√3 i

t = 2 のとき
x² = 2
x = √2 または x = -√2

答えは x = ±√3 i、±√2 です。√3 i の平方は 3i² = -3 であり、i² = -1 が符号を決めます。実数に限る問題なら ±√3 i は範囲外ですが、この問題は複素数の範囲なので残します。

元の式に戻して確認すると、x² = -3 の2解について x⁴ = 9 ですから 9 − 3 − 6 = 0 です。x² = 2 の2解について x⁴ = 4 ですから 4 + 2 − 6 = 0 です。t の2値をそれぞれ完全に戻しているので、答えに漏れはありません。平方根の前の ± を忘れると、同じ平方を持つもう一方の数が失われます。

別の見方として、元の式を (x² + 3)(x² − 2) = 0 と因数分解することもできます。この方法でも各因数を 0 と置き、それぞれの2次方程式を解く点は同じです。t を使えば、因数分解の形を見つけるための2次式として整理できます。

発展例題：対称な係数を利用する

次の相反式を解き、複素数の範囲の解を整数、分数、根号、i を用いてすべて表してください。

x⁴ - x³ - x² - x + 1 = 0

定数項が 1 なので x = 0 は解ではありません。x² で割り、両端から対になる項をまとめます。

x² - x - 1 - 1/x + 1/x² = 0
(x² + 1/x²) - (x + 1/x) - 1 = 0

ここで t = x + 1/x と置きます。先ほどの関係を用いると、次のように次数が下がります。

(t² - 2) - t - 1 = 0
t² - t - 3 = 0
t = (1 + √13)/2 または t = (1 - √13)/2

このままでは t の値です。x² − tx + 1 = 0 にそれぞれを代入し、解の公式を使います。表記を短くするため、まず t のままで式を整理します。

x² - tx + 1 = 0
x = (t ± √(t² - 4))/2

正のほうの t は 2 より大きく、t² − 4 > 0 です。負のほうの t は -2 と 0 の間にあり、t² − 4 < 0 です。この大小は √13 が 3 より大きく 5 より小さいことから確かめられます。平方根の中を計算すると、各枝は次のとおりです。

t = (1 + √13)/2 のとき
t² - 4 = (√13 - 1)/2
x = (1 + √13 ± √(2√13 - 2))/4

t = (1 - √13)/2 のとき
t² - 4 = -(1 + √13)/2
x = (1 - √13 ± i√(2 + 2√13))/4

4つの符号付きの値が答えです。各枝の2つの値は異なり、異なる t から同じ x が生じることもありません。なぜなら x ≠ 0 なら x + 1/x の値はその x から1つに定まるからです。

代入の確認は、各根号を元の4次式へ直接展開する代わりに、戻した式から厳密に行えます。各候補は対応する x² − tx + 1 = 0 を満たし、定数項が 1 なので x ≠ 0 です。よって x + 1/x = t です。その t は t² − t − 3 = 0 を満たすため、元の左辺は次のように 0 に戻ります。

x⁴ - x³ - x² - x + 1
= x²[(x² + 1/x²) - (x + 1/x) - 1]
= x²[(t² - 2) - t - 1]
= x²(t² - t - 3)
= 0

途中で平方根を使うと計算が長く見えますが、正負の枝と、実数か虚数を含むかの判定を分ければ整理できます。t の大小を見ないまま負の数の平方根を実数として扱うと、最後の2解で符号が壊れるので注意します。

答えがずれる道筋を直す

基本例題で「t = 1、4 だから x = 1、4」と書く誤答を考えます。原因は、t と x を同じ文字のように扱ったことです。図3のように、置いた関係 t = x² を横に戻して書くと、解くべき式は x² = 1 と x² = 4 だと見えます。

x² = 4 の答えは x = ±2 です。誤って書いた x = 4 を基本例題の左辺に入れると 256 − 80 + 4 = 180 で、0 にはなりません。元の式への代入は誤った候補を見つけますが、代入だけでは x = -2 のような抜けを見つけられません。各 t に対する2次方程式を最後まで解き、候補の確認と取りこぼしの確認を両方行います。

相反式では、x² + 1/x² = t² とする誤りも起こります。(x + 1/x)² の交差項を落としたことが原因です。例えば x = 1 なら左辺は 2、t² は 4 で等しくありません。正しくは t² − 2 です。さらに、x で割る前に x = 0 を確かめなければ、別の方程式では 0 の解を失うことがあります。定数項を見て、割ってよい根拠を書きます。

手を動かす5問

いずれも複素数の範囲で解き、解を整数、分数、根号、i を用いて表してください。途中で使った文字の値ではなく、元の x の値を答えます。

1. x⁴ − 10x² + 9 = 0 を解いてください。
2. x⁴ + 5x² + 4 = 0 を解いてください。
3. x⁴ − 2x² + 1 = 0 を解き、重解も明記してください。
4. x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1 = 0 を解き、重解も明記してください。
5. x⁴ + 3x³ + 4x² + 3x + 1 = 0 を解いてください。

練習の答えと考え方

1. t = x² とすると、t² − 10t + 9 = 0、(t − 1)(t − 9) = 0 です。t = 1、9 をそれぞれ戻して、答えは x = ±1、±3 です。元の左辺は x² = 1 なら 1 − 10 + 9 = 0、x² = 9 なら 81 − 90 + 9 = 0 です。2つの t の両方で正負を調べました。

2. t = x² とすると、t² + 5t + 4 = 0、(t + 1)(t + 4) = 0 です。x² = -1 または x² = -4 より、答えは x = ±i、±2i です。元の左辺は x² = -1 なら 1 − 5 + 4 = 0、x² = -4 なら 16 − 20 + 4 = 0 です。負の t も複素数の解に戻ります。

3. t = x² とすると、t² − 2t + 1 = 0、(t − 1)² = 0 です。x² = 1 から x = ±1 です。元の式は (x² − 1)² = (x − 1)²(x + 1)² なので、x = 1 と x = -1 はともに2重解です。それぞれ x² = 1 を元の式に入れ、1 − 2 + 1 = 0 も確認できます。t の重なりを見落とさず、x に戻してから重複度を読みます。

4. x = 0 は解でないので x² で割り、t = x + 1/x と置きます。

x² + 1/x² - 4(x + 1/x) + 6 = 0
t² - 2 - 4t + 6 = 0
(t - 2)² = 0

t = 2 から x² − 2x + 1 = 0、(x − 1)² = 0 です。元の式は (x − 1)⁴ なので、答えは x = 1 の4重解です。元の左辺に代入すると 1 − 4 + 6 − 4 + 1 = 0 です。置換先での重なりと戻した式での重なりを、元の因数分解で合わせて確かめます。

5. x = 0 は解ではないので x² で割り、t = x + 1/x と置きます。

x² + 1/x² + 3(x + 1/x) + 4 = 0
t² - 2 + 3t + 4 = 0
(t + 1)(t + 2) = 0
t = -1 または t = -2

t = -1 なら x² + x + 1 = 0 から x = (-1 ± √3 i)/2 です。t = -2 なら x² + 2x + 1 = 0 から x = -1 です。元の式は (x² + x + 1)(x + 1)² と因数分解できるので、x = -1 は2重解です。前者の2解は x² + x + 1 = 0 に、後者は x + 1 = 0 にそれぞれ代入すると、元の積も 0 です。答えは x = (-1 ± √3 i)/2 と x = -1 です。

要点を手元に残す

• 複二次式は t = x² と置き、得られた t ごとに x² = t を解きます。
• 相反式は 0 が解でないことを確かめてから x² で割ります。
• t = x + 1/x なら x² + 1/x² = t² − 2 です。
• x² − tx + 1 = 0 へ戻し、指定された数の範囲で解を選びます。
• 元の式への代入と、枝・重複度の点検を両方行います。

つまずきを見分ける問い

答案に「t = 2」とだけあれば、「最初に t を何と置きましたか」と尋ね、置換の式をその値と並べます。t = x² なら x² = 2 が次の式です。正の平方根しか書かれていなければ、負の平方根も二乗して同じ値になることを確かめます。

相反式で手が止まったときは、係数が両端から対になっているか、定数項が 0 でないかを指で追ってください。割った後の交差項を説明できないときは、(x + 1/x)² を掛け算から書き直します。個別指導で途中の1行を見せるなら、置換の前の条件と、元の文字に戻した式を続けて示すと、どの段階で迷ったかを確かめられます。置き換えた文字を手放し、元の方程式の解まで戻して初めて答えが整います。