高校数学II 3次方程式の解法—因数を一つ見つけ複素数の解までそろえる｜武蔵野個別指導塾

整数解の候補を試して因数を取り出し、共役な非実数解や重解も含め、残った二次式まで調べられます。

よくあるのは、高2の高校生が3次方程式の実数解を1つ見つけ、そこで解答を終えるという場面です。代入して左辺が零になることは確認できても、それは見つけた数が解の1つだと示した段階です。残った二次式に実数解がなくても、複素数の範囲では解が残ることがあります。因数を分けた後も二次方程式を解き、重なりも含めて元の式を点検しましょう。

数学IIの式と証明・複素数と方程式では、因数定理を使う方程式を学びます。ここでは一般の3次方程式の解の公式を使わず、因数が見つかる場合を中心に考えます。

問いの形で変わる出発点

1つ目は、整数係数の3次式が与えられ、複素数の範囲で解く問題です。まず定数項の約数を整数解の候補として試し、零になる値があれば一次因数を取り出します。残りの二次式は因数分解または解の公式で処理します。候補を試す順序は自由ですが、代入値と結果をメモすると同じ数を重ねて試さずに済みます。

2つ目は、1つの解があらかじめ与えられる問題です。その値から一次因数を作り、割った商を解きます。与えられた解が非実数で係数が実数なら、その共役な複素数も解になることが手掛かりです。ただし係数に非実数が含まれる場合、この対称性を無条件には使えません。

3つ目は、同じ解が重なる問題です。因数分解した式に同じ一次因数が2回現れると、その解は重解です。異なる値を列挙するだけでなく、問題が重複度を求めているか読み取りましょう。3次式で同じ因数が3回現れる場合もあります。

零になる値から因数を取り出す

整式を P(x) とします。因数定理は、P(a) = 0 であることと、P(x) が x − a を因数にもつことが同値だと述べます。これは a が複素数でも使えます。割り算の関係 P(x) = (x − a)Q(x) + P(a) に代入すると、零になる条件が余りの消える条件と一致するからです。

図1のように、解を見つけた後は商を別の方程式として解きます。積が零なら少なくとも1つの因数が零であり、逆にいずれかの因数が零なら積も零です。この両方向があるので、一次式と二次式から得た解を合わせれば、因数分解後の方程式の解を漏らしません。

整数係数の式 P(x) = ax³ + bx² + cx + d で整数 r が解なら、d = -r(ar² + br + c) です。したがって d が零でなければ r は d の正または負の約数です。これは必要条件であって、約数が必ず解になるという意味ではありません。各候補を P(x) に代入して零か調べる必要があります。

定数項が零なら、まず x をくくり出せます。この場合は零が解であり、零の約数を候補として並べる方法をそのまま使いません。また整数候補がすべて失敗しても、複素数の範囲で解がないとは言えません。整数でない解の可能性が残るため、与えられた解や因数分解の形など、別の手掛かりを探します。

実係数の整式では、複素数 z を代入した値の共役は、z の共役を代入した値と等しくなります。係数が自分自身の共役だからです。よって P(z) = 0 なら P(z の共役) も零です。例えば実数 p、q に対し p + qi が解なら p − qi も解です。q = 0 なら両者は同じ実数なので、異なる2つの解と数えません。

基本例題：残った二次式を最後まで解く

次の方程式を複素数の範囲で解き、重解があればそのことも示してください。

x³ - 2x² + x - 2 = 0

定数項は -2 です。整数解があるなら候補は 1、-1、2、-2 です。ここでは 2 を試します。

P(2) = 2³ - 2・2² + 2 - 2
     = 8 - 8 + 2 - 2
     = 0

したがって x − 2 が因数です。図2のように割り算の結果を展開して戻し、商を確認します。

P(x) = (x - 2)(x² + 1)
     = x³ - 2x² + x - 2

積が零となる条件から、次のいずれかです。

x - 2 = 0 または x² + 1 = 0
x = 2 または x² = -1
x = 2、i、-i

i² = -1 ですから、i と -i は二次式を零にします。2 は一次式を零にし、3つの値は互いに異なります。よって重解はありません。実数の範囲なら 2 のみですが、複素数の範囲という指定では i と -i も必要です。

この例では P(1) = -2 なので、1 は定数項の約数でも解ではありません。候補の一覧は、答えの一覧ではありません。一方、2 が見つかった後に残りの候補を試し続ける必要はありません。二次式を解く段階に移れば、整数でない解や虚数解も拾えます。

標準例題：実数の因数と重解を区別する

次の方程式を複素数の範囲で解き、各解の重複度を示してください。

x³ - 5x² + 8x - 4 = 0

定数項の正負の約数のうち 1 を試します。計算をまとめず、各項を確認します。

P(1) = 1 - 5 + 8 - 4
     = 0

x − 1 で割り、商を掛け戻します。

P(x) = (x - 1)(x² - 4x + 4)
     = (x - 1)(x - 2)²

右辺を展開すると x³ − 5x² + 8x − 4 に戻ります。積が零となるのは次の場合です。

x - 1 = 0 または x - 2 = 0
x = 1 または x = 2

答えは x = 1、2 です。1 の重複度は 1、2 の重複度は 2 です。2 は二次因子の中に2回現れるので重解ですが、異なる値としては1つです。因数の次数を足すと 1 + 2 = 3 となり、元の3次式の次数とも合います。

候補を 2 から試しても P(2) = 0 と出ます。そのときは x − 2 で割った商が (x − 1)(x − 2) となり、もう1回 x − 2 が現れます。最初に見つけた因数を一度取り出したからといって、その解がもう現れないとは限りません。答えの値と重なった回数を別々に調べると整理できます。

発展例題：共役な解から残りを求める

実数係数の方程式 x³ − 5x² + 11x − 15 = 0 の解の1つが 1 + 2i であるとします。複素数の範囲で解をすべて求め、重解の有無も示してください。

係数が実数なので、1 − 2i も解です。共役な2つの解に対応する因数を掛けると、実係数の二次式になります。

(x - (1 + 2i))(x - (1 - 2i))
= ((x - 1) - 2i)((x - 1) + 2i)
= (x - 1)² - (2i)²
= (x - 1)² + 4
= x² - 2x + 5

元の3次式をこの二次式で割ると、商は x − 3 です。掛け戻して係数を照合します。

(x² - 2x + 5)(x - 3)
= x³ - 3x² - 2x² + 6x + 5x - 15
= x³ - 5x² + 11x - 15

これは与えられた式に一致します。よって答えは x = 1 + 2i、1 − 2i、3 です。3つは異なり、重解はありません。各値は対応する因数を零にするため、元の方程式も満たします。

一方、左辺が x³ − 5x² + 9x − 10 だとすると、同じ条件は成り立ちません。実際に (1 + 2i)² = -3 + 4i、(1 + 2i)³ = -11 − 2i を使って代入します。

P(1 + 2i) = (-11 - 2i) - 5(-3 + 4i) + 9(1 + 2i) - 10
           = 3 - 4i

零ではないため、1 + 2i はその式の解ではありません。問題文の条件に食い違いがある場合は、計算を続けて架空の答えを作らず、どこで矛盾したか示します。 与えられた解を信じて進む場合も、割り算の余りが零か、因数の積が元の式と一致するかを最後に確かめます。入力の誤りに気づく機会になると同時に、展開や符号の計算違いも見つけられます。問題文と計算が食い違ったら、まず自分の代入と i² の符号を見直し、それでも一致しなければ条件の矛盾を示します。

誤答を修正する：解を1つ見つけて止まる

基本例題で x = 2 を得た後、「答えは x = 2」とする誤答を考えます。2 を代入した計算は正しいのですが、零になる値がほかにないことは示していません。図3のように、x − 2 を取り出した後の二次式も零になりえます。

原因は、1つの解を見つけることと、方程式の解を求め終えることを同じに扱った点です。修正するには P(x) = (x − 2)(x² + 1) と書き、x² + 1 = 0 も解きます。実数解がないという判定は、この二次式に実数の範囲で適用した結果です。複素数の範囲では i と -i が残ります。

別の誤りは、候補をいくつか試して零にならなかったため「解なし」と結論することです。整数候補がすべて失敗したときに言えるのは整数解がないことまでです。分数や無理数、非実数を含む問題なら、別の形への変形や与えられた条件を利用します。逆に候補を1つ見つけたときも、元の式を割り切れることを確かめてから次へ進みます。

練習：5つの式で判断を分ける

いずれも複素数の範囲で解き、重解があれば重複度を示してください。5問を解いてから後の解答を見て、元の式へ戻して確かめます。

1. x³ − 3x² + 4x − 12 = 0
2. x³ + 2x² − 9x − 18 = 0
3. x³ + x² − 8x − 12 = 0
4. x³ − 6x² + 13x − 10 = 0 は 2 + i を解にもつ。残りの解も求める。
5. x³ − 6x² + 12x − 8 = 0

練習の答えと戻し方

1

3 を代入すると 27 − 27 + 12 − 12 = 0 です。割ってから残る二次式を解きます。

x³ - 3x² + 4x - 12 = (x - 3)(x² + 4)
x² + 4 = 0
x² = -4
x = 2i、-2i

答えは x = 3、2i、-2i で、重解はありません。3 は一次因数を零にし、2i と -2i は二乗が -4 なので二次因数を零にします。掛け戻した式は問題の左辺と一致します。

2

-2 を代入すると -8 + 8 + 18 − 18 = 0 です。商の二次式は平方の差として分解できます。

x³ + 2x² - 9x - 18 = (x + 2)(x² - 9)
                       = (x + 2)(x - 3)(x + 3)

答えは x = -2、3、-3 です。3つは異なるので重解はありません。それぞれ対応する因数が零になり、展開すると最初の係数に戻ります。

3

2 を代入すると 8 + 4 − 16 − 12 = -16 で、零になりません。次に -2 を調べると -8 + 4 + 16 − 12 = 0 です。失敗した候補は捨て、割り切れた値を使います。

x³ + x² - 8x - 12 = (x + 2)(x² - x - 6)
                    = (x + 2)(x + 2)(x - 3)
                    = (x + 2)²(x - 3)

答えは x = -2、3 です。-2 の重複度は 2、3 の重複度は 1 です。-2 は2つの因数、3 は残る因数を零にし、積の展開も元の左辺に一致します。

4

係数は実数ですから 2 − i も解です。共役な組を掛けて二次因数を作ります。

(x - (2 + i))(x - (2 - i))
= (x - 2)² + 1
= x² - 4x + 5

与えられた式を割ると商は x − 2 です。掛け戻すと、問題の左辺に一致します。

(x² - 4x + 5)(x - 2)
= x³ - 6x² + 13x - 10

答えは x = 2 + i、2 − i、2 です。3つは異なり重解はありません。それぞれ対応する因数を零にするので、元の式も満たします。 ### 5

2 を代入すると 8 − 24 + 24 − 8 = 0 です。商をさらに因数分解します。

x³ - 6x² + 12x - 8 = (x - 2)(x² - 4x + 4)
                     = (x - 2)³

答えは x = 2 で、重複度は 3 です。異なる解の値は1つですが、一次因数は3回現れます。2 を元の式へ戻すと零であり、三乗を展開すると問題の左辺に戻ります。

覚えておくこと

• 整数解は定数項が零でなければ、その正負の約数から探します。
• 因数を1つ見つけたら商の二次方程式も解きます。
• 実係数なら非実数解の共役も解です。
• 掛け戻しと代入で係数、候補、重複度を確かめます。

どこで止まったかを式で見分ける

候補を並べられないときは、整数解 r について定数項が r の倍数になる式を書けるか確かめます。候補を答えにしているときは、候補を1つ代入して零かどうかを声に出して説明します。割り算後に迷うときは「元の式は一次因数と何の積か」と問い、掛け戻して次数ごとの係数を照合します。

個別に確認する場面では、実数解を1つ挙げた後に「残りの二次式が零になる数はあるか」と尋ねると、複素数を含める必要に気づけます。重解については、異なる値の数と因数の現れる回数を別に答えてもらいます。条件が不整合な例では、与えられた値を直接代入した結果を根拠にします。解を見つけた後の二次式まで追うことで、3次方程式の答えがそろいます。