高校数学C 外部点からの接線—接点を未知数にして本数と垂直接線を調べる｜武蔵野個別指導塾

指定点を通る条件と接点の所属を連立し、楕円と放物線に引ける接線を垂直なものまで数えます。

よくあるのは、理系の高3が曲線の外にある点を通る直線を傾きで表し、接線の本数を数えた後、垂直な直線が検討から抜けていたと気づく場面です。傾きの計算が正しくても、傾きを持たない直線はその式に入りません。接点を未知数として曲線の条件と通過条件を連立すると、垂直な接線も同じ手順で候補にできます。最後には接点が曲線上にあり、求めた直線が指定点を通ることまで戻して確かめます。

何を求める問題か

出方の1つは、楕円の外の点から引ける接線の方程式を求めるものです。接点の座標を文字で置き、その点が楕円に属する条件と、接線が指定点を通る条件を連立します。接点が異なれば接線も異なるかを確かめ、本数を数えます。

もう1つは、放物線の指定点から引ける接線を求めるものです。指定点が曲線の外にある場合に限らず、曲線上や接線を引けない位置にある場合も調べると、解の個数と接線の本数の関係がはっきりします。放物線では頂点の接線が垂直になるため、傾きで表す方法の点検に適しています。

3つ目は、指定点を動かして接線の本数が変わる条件を求めるものです。連立から得る二次方程式の判別式を使う前に、その式の二次の係数が0でないか確かめます。候補がない場合も答えの一部です。実数解があるか、接点として採用できるか、異なる直線を与えるかを順に判断します。

接点を先に置く理由

楕円 x²/a² + y²/b² = 1 を考えます。ただし a > b > 0 とします。接点を T(u, v) とすると、まず u²/a² + v²/b² = 1 が必要です。この点での接線は ux/a² + vy/b² = 1 です。指定点 P(s, t) をこの直線に代入すると、su/a² + tv/b² = 1 も必要になります。未知数は接点の u と v です。

この接線式は、接点の所属を使って連立から確認できます。接線の式と楕円を連立したとき、接点以外に共有点がないことを示します。2点の差を X = x − u、Y = y − v と置くと、直線の式から uX/a² + vY/b² = 0 です。一方、楕円の式から接点の式を引けば、2uX/a² + 2vY/b² + X²/a² + Y²/b² = 0 です。したがって X²/a² + Y²/b² = 0 となり、a、b が正なので X = Y = 0 です。軸端でも成立し、垂直な直線も含みます。

図1のように、指定点 P を通るかどうかは、接点 T を通るという条件とは別に調べます。接点が楕円上にないまま式に数値を入れても、接線の根拠にはなりません。

図1では接点を通る直線が P にも届きます。接点候補を求める式は必要条件ですが、候補が出た後には、それぞれの接線が指定点を通ることを代入で確かめます。

放物線 y² = 4px では p ≠ 0 とし、接点を T(u, v) とすると v² = 4pu です。この点での接線は vy = 2p(x + u) です。実際、これを x について解いて放物線に代入すると (y − v)² = 0 になります。p ≠ 0 なので、この変形で0による除算は起きません。v = 0 でも式は x = 0 となり、頂点の垂直接線を表せます。

指定点 P(s, t) を通る条件は vt = 2p(s + u) です。u = v²/(4p) を代入すれば、vについての二次方程式になります。係数は0でないので、実数解の個数を判別式で調べられます。異なる v は異なる接点を与え、接線の式の y の係数も区別できるため、異なる接線になります。

基本例題：頂点の垂直接線も求める

放物線 y² = 4x と点 P(0, 2) がある。P を通る接線の方程式をすべて求め、接点の座標は整数または分数で答えてください。

p = 1 であり、0ではありません。接点を T(u, v) と置くと、所属条件と接線の式は次のとおりです。

v² = 4u
a: vy = 2(x + u)

接線 a が P(0, 2) を通る条件へ u = v²/4 を代入します。

2v = 2u
v = u
v = v²/4
v² - 4v = 0
v(v - 4) = 0
v = 0 または v = 4

v = 0 のとき u = 0、v = 4 のとき u = 4 です。したがって接点は (0, 0)、(4, 4) です。それぞれ接線式に戻すと、求める直線は x = 0、y = (x + 4)/2 です。図2のように、左の直線は傾きを実数で表せません。

元の条件へ戻します。(0, 0) と (4, 4) はともに y² = 4x を満たします。P の座標を両直線に代入すると、いずれも等式が成立します。さらに x = 0 と放物線の連立は y² = 0、もう一方との連立は (y − 4)² = 0 です。ともに接点で重なります。2本は垂直か否かでも異なるため、本数は2本です。

傾き m を使って y = mx + 2 と置く方法は、垂直でない直線には有効です。しかしその形に x = 0 は入らないため、求めた傾きの個数だけで全体の本数を決めてはいけません。指定点を通る垂直線を別に連立し、接するか調べます。

標準例題：楕円上の2点を決める

楕円 x²/9 + y²/4 = 1 と点 P(5, 0) がある。P を通る接線の方程式と接点を求めてください。座標と係数は分数と根号で表します。

接点 T(u, v) は楕円上にあり、接線 ux/9 + vy/4 = 1 は P を通ります。両条件を順に使います。

5u/9 = 1
u = 9/5
u²/9 + v²/4 = 1
9/25 + v²/4 = 1
v²/4 = 16/25
v = 8/5 または v = -8/5

よって接点は (9/5, 8/5)、(9/5, -8/5) です。接線式にそれぞれ代入します。

x/5 + 2y/5 = 1
x + 2y = 5

x/5 - 2y/5 = 1
x - 2y = 5

2つの接点は楕円の式を満たし、2本の直線はいずれも P(5, 0) を通ります。接点の公式を導いたときの平方の和の議論により、それぞれの共有点は指定した接点のみです。2直線の y の係数は異なり、同一直線ではありません。接点条件から v の候補はこの2つに尽きるので、他の接線はありません。

ここで u = 9/5 という接点の x 座標を、P の x 座標 5 と混同しないようにします。P は直線上にありますが、楕円上ではありません。実際に 5²/9 > 1 です。P 自身を接点として接線式へ入れる操作は、所属条件を満たさないためできません。

発展例題：点の位置と本数

実数 k に対し、放物線 y² = 8x と点 P(k, 4) を考えます。P を通る接線の本数を k の範囲ごとに求め、境界では接線と接点を整数または分数で答えてください。

p = 2 なので、接点を T(u, v) とすると v² = 8u、接線は vy = 4(x + u) です。P を通る条件を接点の条件と合わせます。

4v = 4(k + u)
v = k + u
u = v²/8
v = k + v²/8
v² - 8v + 8k = 0

二次の係数は1であり、0になりません。判別式を D とすると、次のようになります。

D = (-8)² - 4・1・8k
D = 32(2 - k)

k < 2 なら異なる実数の接点が2つあり、接線は2本です。k = 2 なら重解 v = 4 から u = 2 となり、接点は (2, 4)、接線は y = x + 2 です。k > 2 なら実数の接点がなく、接線は0本です。

境界の点 P(2, 4) 自身について 4² = 8・2 を確かめると、確かに放物線上にあります。直線 y = x + 2 にも P を代入でき、放物線との連立は (y − 4)² = 0 です。k < 2 のうち k = 0 では v = 0 が候補となり、頂点の接線 x = 0 を含みます。一般の式に v = 0 を戻せるので、傾きの有無による場合分けを後から追加する必要はありません。

一方、k > 2 のときに二次方程式を実数の範囲で解けないことは、計算の途中で手が止まったという意味ではありません。接点が存在すれば必ずこの式を満たすため、そのような接点がないという結論です。逆に実数解があれば u = v²/8 で接点を作れ、通過条件と接線式にも戻せます。必要条件だけでなく逆向きも確かめて本数を決めます。

誤答から垂直線を拾い直す

基本例題で y = mx + 2 と置き、放物線への代入から接線を1本求めて「1本」と答えたとします。この直線の形は、同じ x 座標を持つ点を縦につなぐ直線を表せません。図3のように、傾きを持つ直線の検討範囲の外に、頂点を通る垂直線が残っています。

修正するには P(0, 2) を通る垂直線 x = 0 を別に調べます。放物線へ代入すると y² = 0 で、共有点は頂点です。頂点の接線式も x = 0 なので、これは接線です。接点を未知数とした場合には v = 0 として同じ直線が現れます。

「共有点が1個なら常に接線」と覚えるのも危険です。ここでは放物線の頂点の接線式に戻して確認できました。一般に連立式が一次へ退化する曲線では、共有点が1個という事実だけで接線とは限りません。二次方程式の判別式を使うときは二次の係数が0でないことを先に調べ、垂直線は直線の形を別に置いて確認します。

練習：まず問題をまとめて解く

次の接線の方程式を求める問題では、直線の係数と接点を整数、分数または根号で表してください。本数を問う問題では、接点の実在と直線の異同も確認します。

1. 放物線 y² = 12x と点 P(0, 3) について、P を通る接線と接点をすべて求めてください。
2. 楕円 x²/16 + y²/9 = 1 と点 P(8, 0) について、P を通る接線と接点をすべて求めてください。
3. 放物線 y² = 4x と点 P(2, 0) について、P を通る接線の本数を求めてください。
4. 楕円 x²/25 + y²/9 = 1 と点 P(0, 3) について、P を通る接線と接点を求めてください。
5. 放物線 y² = 4x と点 P(h, 2) について、実数 h の範囲ごとに接線の本数を求めてください。

練習の答えと確かめ方

1

接点を (u, v) とすると v² = 12u、接線は vy = 6(x + u) です。P を通る条件から、次を得ます。

3v = 6u
v = 2u
v = v²/6
v(v - 6) = 0

接点は (0, 0)、(3, 6) です。接線は x = 0、y = x + 3 です。両接点は放物線の式を満たし、両直線は P を通ります。後者を連立すると (y − 6)² = 0、前者では y² = 0 となるので接点でも確認できます。

2

接点を (u, v) とすると、接線は ux/16 + vy/9 = 1 です。P を通る条件と楕円上の条件を使います。

8u/16 = 1
u = 2
4/16 + v²/9 = 1
v² = 27/4
v = 3√3/2 または v = -3√3/2

接点は (2, 3√3/2)、(2, -3√3/2) です。接線はそれぞれ 3x + 4√3 y = 24、3x − 4√3 y = 24 です。根号を含む座標も二乗して楕円へ戻せば左辺は1です。両直線に P を入れると24となり、導いた接線式に一致します。

3

接点を (u, v) とすると v² = 4u、接線は vy = 2(x + u) です。P(2, 0) を代入します。

0 = 2(2 + u)
u = -2
v² = -8

実数 v は存在しないため0本です。これは P が放物線上の点を接点として持つ接線を通らないことを示します。P は放物線の式に代入すると 0 ≠ 8 であり、曲線上の点を接点と誤認することもありません。

4

接点を (u, v) とすると接線は ux/25 + vy/9 = 1 です。P を通る条件と所属条件から、次のように決まります。

3v/9 = 1
v = 3
u²/25 + 9/9 = 1
u = 0

接点は (0, 3)、接線は y = 3 の1本です。接点は元の楕円上であり、P 自身です。y = 3 を楕円へ戻すと x²/25 = 0 となって、共有点はこの接点に重なります。重なった解を2本と数えないことが必要です。

5

接点を (u, v) とすると v² = 4u、接線は vy = 2(x + u) です。P を代入して整理します。

2v = 2(h + u)
v = h + v²/4
v² - 4v + 4h = 0
D = 16 - 16h

二次の係数は1です。h < 1 では2本、h = 1 では1本、h > 1 では0本です。境界 h = 1 では v = 2、u = 1、接線は y = x + 1 です。点 (1, 2) は元の放物線と接線の両方に属します。h = 0 のとき v = 0 も解に含まれ、垂直接線 x = 0 を数えられます。各実数解から u を定めれば所属と通過の両条件が成立するため、解の個数を本数に移せます。

手元に残す要点

接点の所属条件と指定点の通過条件を連立します。 二次式の係数と実数解を調べ、重解は1つの接点として扱います。 傾きで置いた場合は垂直線を別に調べます。 候補を曲線と直線へ戻し、接線の異同まで数えます。

どこでつまずいたかを見分ける

接線式を立てられても接点が曲線上にある条件を書いていなければ、まず指定点と接点を別の文字で書き分けます。たとえば楕円では、指定点の座標を代入する場所は接線の通過条件であり、接点の座標を代入する場所は楕円の所属条件です。どちらの点についての式なのかを言葉で添えると、誤った代入の位置を特定できます。

個別指導では、候補が0個のときに「解けなかった」と判断していないか、重解を2本と数えていないかも確かめます。傾きの式を使った答案なら、指定点を通る垂直線を実際に書いて曲線と連立してもらいます。接点を置いた答案なら、接点を元の曲線に、指定点を接線に代入する2つの確認を別々に行います。接点と指定点の役割を分けると、接線の本数まで筋道がつながります。