高校数学C 双曲線の接線—符号と接点を照合して漸近線との違いを確かめる｜武蔵野個別指導塾

接点の符号を確かめ、漸近線と平行な直線との違いを重解から考える題材は双曲線の接線です。

よくあるのは、理系の高3が双曲線の漸近線の傾きを接線の条件に代入し、切片が0になるので原点を接点にしてしまう場面です。原点は双曲線上にありません。式を使う前に、接点は曲線上にあるか、連立した式は本当に二次式かを順に調べましょう。

問いの形を見分ける

接線の問題には、まず接点が与えられる型があります。点の座標が曲線の式を満たすことを確認し、その座標を使って直線を求めます。式の中で負の項に対応する符号を落とすと、求めた直線が接点を通らないことがあります。最初の代入と最後の代入が、その間違いを挟み撃ちにします。

次に、傾きが与えられて接線を探す型があります。切片を未知数にして連立すると、通常は二次式の重解から条件が得られます。ただし傾きが漸近線の傾きと一致すると二次の項が消えます。その場合には重解の条件を使わず、残った一次式または定数式を調べます。

さらに、縦向きや平行移動後の双曲線では、正の項と中心から測った座標を見分けます。接線の式を暗記した形へ無理に合わせる前に、何を正の項とするかを書き出すと、横向きの場合と同じ手順で確かめられます。

接点を通る直線と重解

横向きの双曲線を x²/a² − y²/b² = 1 とします。ここで a>0、b>0 です。点 P(u,v) が接点であるには、まず u²/a² − v²/b² = 1 が必要です。右辺が1なので uは0ではありません。この条件の下で接線の候補は次の式です。

ux/a² - vy/b² = 1

なぜこれが接線になるか、微分を使わずに調べます。曲線上の点を P から x方向に s、y方向に t だけ動いた点 (u+s, v+t) とします。曲線の式から P の式を引くと、次のようになります。

2us/a² - 2vt/b² + s²/a² - t²/b² = 0

候補の直線上では、P の式との差を取ると us/a² − vt/b² = 0 です。これを上の式に入れると s²/a² − t²/b² = 0 です。vが0でないとき、直線の条件から t = b²us/(a²v) と書けます。代入後の s² の係数は、接点の条件を用いると -b²/(a²v²) です。したがって s² = 0 となり、P が重なった共有点です。v = 0 のときは u = ±a で、候補は垂直線 x = u です。曲線へ代入すれば y² = 0 となり、やはり頂点が重なった共有点です。

図1のように、2つの枝にある接点では同じ式を使えます。接点の座標ごと代入するので、左の枝の負の符号も残ります。一方、中心を通る漸近線 y = ±(b/a)x は元の双曲線と共有点を持ちません。接線は曲線上の点を持つので、漸近線とは区別します。

図1では紺が双曲線、赤が右の枝の接線、灰の破線が漸近線です。図の接点は次の基本例題と同じものです。直線が曲線に近く見えることと、実際に共有点を持つことは別の条件です。

縦向きの y²/a² − x²/b² = 1 では、点 (u,v) の所属条件は v²/a² − u²/b² = 1 です。このとき接線は vy/a² − ux/b² = 1 です。正の項と負の項を座標ごと入れ替えれば、先ほどの重解の議論が使えます。中心が (h,k) の場合は X = x-h、Y = y-k と置き、接点も (u-h, v-k) に直してから同じ式を使います。

基本例題：接点の所属から始める

双曲線 x²/9 − y²/4 = 1 上の点 P(5, 8/3) における接線を、整数係数の方程式で求めてください。

まず P が右の枝の点であることを確かめます。x = 5 は正で、元の式への代入は次のとおりです。

5²/9 - (8/3)²/4
= 25/9 - 16/9
= 1

a = 3、b = 2 は正なので、接点での式を使えます。負の項を残して代入します。

5x/9 - (8/3)y/4 = 1
5x/9 - 2y/3 = 1
5x - 6y = 9

図2の赤い直線がこの接線です。P を戻すと 25 − 16 = 9 となり、確かに直線も通ります。x切片やy切片を接点と取り違えないよう、接点の座標は元の双曲線にも戻しておきます。

図2の直線と双曲線の連立でも確かめます。直線から y = (5x-9)/6 として代入し、144倍すると次の式です。

16x² - (5x-9)² = 144
-9x² + 90x - 225 = 0
-9(x-5)² = 0

二次係数 -9 は0ではないので、x = 5 が重解です。直線へ戻すと y = 8/3 です。接点の式と重解の確認が一致しました。

標準例題：中心を原点に戻す

双曲線 (y-1)²/9 − (x+2)²/4 = 1 の点 Q(2/3, 6) における接線を、整数係数の方程式で求めてください。

正の項が y の式なので縦向きです。中心は (-2, 1) であり、X = x+2、Y = y-1 と置くと Y²/9 − X²/4 = 1 です。Q の中心からの座標は (8/3, 5) です。まず所属を確認します。

5²/9 - (8/3)²/4
= 25/9 - 16/9
= 1

Q は中心より上にあり、上の枝の点です。a = 3、b = 2 なので、中心からの座標を使う接線は次のとおりです。

5(y-1)/9 - (8/3)(x+2)/4 = 1
5(y-1)/9 - 2(x+2)/3 = 1
5(y-1) - 6(x+2) = 9
-6x + 5y = 26

接点を直線に戻すと -6・(2/3) + 5・6 = 26 です。さらに直線を Y = (6X+9)/5 として双曲線へ代入すると、分母を払って次のようになります。

4(6X+9)² - 225X² = 900
-81X² + 432X - 576 = 0
-81(X-8/3)² = 0

二次係数が非零で X = 8/3 が重解です。Y = 5 を経由して元の Q に戻ります。移動前の座標を接線式に入れ忘れると、直線が Q を通らないので、この最後の代入が有効です。

発展例題：傾きと切片に条件を付ける

双曲線 x²/9 − y²/4 = 1 に傾き 1 で接する直線をすべて求め、接点を根号を含む形で答えてください。

直線を y = x+q と置きます。連立して分母を払うと次の二次式です。

4x² - 9(x+q)² = 36
-5x² - 18qx - 9q² - 36 = 0

二次係数 -5 は非零ですから、判別式が0である条件を使えます。判別式を4で割って計算します。

(-9q)² - (-5)(-9q²-36) = 0
81q² - 45q² - 180 = 0
q² = 5
q = ±√5

したがって直線は y = x+√5、y = x-√5 です。重解は x = -9q/5 なので、対応する y も計算します。

q = √5 のとき x = -9√5/5、y = -4√5/5
q = -√5 のとき x = 9√5/5、y = 4√5/5

それぞれ x²/9 = 9/5、y²/4 = 4/5 なので、どちらも元の双曲線上です。前者は左の枝、後者は右の枝にあり、各点はその行の直線にも戻ります。2つの切片を一括して扱うと、接点と直線の符号の対応を入れ替えやすいため、組にして答えます。

傾きが一般の m のときは、y = mx+q の代入から次の式になります。

(4-9m²)x² - 18mqx - 9q² - 36 = 0

4-9m² が非零なら、判別式0は q² = 9m²-4 と同値です。右辺が正のとき切片は2つ、負のとき実数の切片はありません。右辺が0になる m = ±2/3 は、実は二次係数も0です。判別式の式にそのまま代入して接点を作ってはいけません。

m = 2/3 の場合を直接調べます。q が非零なら、残る式は -12qx − 9q² − 36 = 0 で、共有点は1つです。しかし一次式であり、2つの交点が重なったものではありません。しかも一般の接点 (u,v) の接線の傾きは、vが非零なら 4u/(9v) です。これが 2/3 なら 2u = 3v となりますが、これを双曲線に入れると左辺は0となり1にはなりません。v = 0 では接線は垂直です。したがって漸近線と同じ傾きの接線はありません。m = -2/3 も同様です。

q = 0 なら残る式は -36 = 0 となって共有点はありません。これが漸近線そのものです。平行で q が非零の直線は1点で交わる一方、接線ではありません。双曲線では「共有点が1つ」と「重解による接線」を、退化の場合に区別する必要があります。

誤答を直す：漸近線に接点を置かない

次の考え方は誤りです。「x²/9 − y²/4 = 1 で m = 2/3 を q² = 9m²-4 に代入すると q = 0。だから y = 2x/3 は原点で接する」。代入だけ見ると式は成り立っていますが、元の二次係数が0になる場合を忘れています。

図3のように、漸近線は中心を通りますが、中心は曲線上にありません。実際に y = 2x/3 を元の式へ入れると、左辺は x²/9 − x²/9 = 0 です。1にはならないので共有点はなく、原点も接点にはできません。

図3の緑の直線 y = 2x/3 + 1 は漸近線と平行で、左の枝と1点で交わります。その点は (-15/4, -3/2) です。代入すると x²/9 − y²/4 = 25/16 − 9/16 = 1 で、直線の式も満たします。それでも重解ではありません。実際、直線を代入すると -12x-45 = 0 という一次式になり、その解が x = -15/4 です。二次係数を確認してから判別式を使うことが修正の要点です。

もう1つの誤りは、接点候補を確かめずに接線式へ代入することです。たとえば (3, 2) は x²/9 − y²/4 = 0 なので、基本例題の双曲線上にありません。これを代入して得た直線は、その点での接線を表しません。計算を進める前の所属確認で止められます。

練習：5つの条件を自分で照合する

次の5問は、まず問題をまとめて解いてから解答を読んでください。接点が指定される場合は、接線の式を使う前に元の曲線へ戻します。接線の直線は、問1〜3では整数係数の方程式、問4では根号を含む切片の形で答えてください。

1. x²/16 − y²/9 = 1 の点 (5, 9/4) における接線を求めてください。
2. y²/25 − x²/4 = 1 の点 (3/2, -25/4) における接線を求めてください。
3. (x-1)²/4 − (y+1)²/9 = 1 の点 (13/3, 3) における接線を求めてください。
4. x²/4 − y²/9 = 1 に傾き 2 で接する直線をすべて求め、接点も根号を含む座標で答えてください。
5. x²/4 − y²/9 = 1 と直線 y = 3x/2+1、y = 3x/2 について、それぞれ共有点を整数または分数の座標で求め、接線かどうか判定してください。

練習の答えと解き方

1. 点の所属を調べると 25/16 − (81/16)/9 = 25/16 − 9/16 = 1 です。右の枝にあります。接線の式へ代入します。

5x/16 - (9/4)y/9 = 1
5x/16 - y/4 = 1
5x - 4y = 16

直線に点を戻すと 25-9 = 16 です。連立すると -9(x-5)² = 0 となり、重解と元の点が一致します。

2. 正の項が y² なので縦向きです。点を代入すると (625/16)/25 − (9/4)/4 = 25/16 − 9/16 = 1 です。yが負なので下の枝です。

(-25/4)y/25 - (3/2)x/4 = 1
-y/4 - 3x/8 = 1
3x + 2y = -8

直線への代入は 9/2 − 25/2 = -8 です。直線から y = -4-3x/2 として連立すれば -7(2x-3)² = 0 となり、x = 3/2 が重解です。

3. 中心は (1, -1) です。中心からの座標は (10/3, 4) なので、所属条件は (100/9)/4 − 16/9 = 1 です。接線は移動後の座標を使います。

(10/3)(x-1)/4 - 4(y+1)/9 = 1
5(x-1)/6 - 4(y+1)/9 = 1
15x - 8y = 41

点を直線に戻すと 65-24 = 41 です。X = x-1 と置き、直線から y+1 = (15X-18)/8 として連立すれば -81(3X-10)² = 0 となります。X = 10/3 は重解で、元の点に戻ります。

4. y = 2x+q と置きます。代入した二次式の係数は 9-16 = -7 で非零です。

9x² - 4(2x+q)² = 36
-7x² - 16qx - 4q² - 36 = 0
(-8q)² - (-7)(-4q²-36) = 0
36q² - 252 = 0
q² = 7

直線は y = 2x+√7 と y = 2x-√7 です。重解を x = -8q/7 とし、直線へ戻すと y = -9q/7 です。順に接点は (-8√7/7, -9√7/7)、(8√7/7, 9√7/7) です。どちらも x²/4 = 16/7、y²/9 = 9/7 なので双曲線上にあります。切片が正なら左の枝、負なら右の枝です。

5. y = 3x/2+1 を代入します。

9x² - 4(3x/2+1)² = 36
-12x - 4 = 36
x = -10/3

y = -4 です。元の双曲線に戻すと 25/9 − 16/9 = 1 で、直線も満たします。式は一次式で、接線ではありません。実際にこの点での接線は (-10/3)x/4 − (-4)y/9 = 1、すなわち -15x + 8y = 18 で、与えられた直線とは異なります。

もう一方の y = 3x/2 では、代入後に 0 = 36 となります。共有点はなく、接線ではありません。これは漸近線です。共有点が1つの場合と0個の場合を、同じ傾きでも切片によって分けて調べます。

手元に残す要点

• 接点を先に元の双曲線へ代入し、枝も確かめます。
• 接線式では正負の項を保ち、移動後は中心からの座標を使います。
• 判別式を使う前に、連立後の二次係数が非零かを確認します。
• 漸近線と平行な直線は一次式に退化し、共有点が1つでも接線ではありません。
• 最後に接点を曲線と直線の両方へ戻します。

どこで止まったかを見分ける

接線の式が点を通らない場合は、正の項と負の項の符号、接点の分母、中心からの移動量を順に見直します。点は通るのに曲線上にない場合は、公式に入れる前の所属確認が抜けています。重解が出ない場合は、直線を代入した後の二次係数が0でないかを先に調べます。

個別指導では、本人が書いた連立式の二次係数に印を付け、0の場合と非零の場合にどの計算が続くかを説明できるか確かめます。さらに求めた座標を双曲線と直線へ別々に戻し、移動した中心や枝の符号を口に出して照合します。接点と漸近線の違いは、図の印象ではなく元の式への代入で判定できます。