高校数学C 絶対値と距離—原点からの長さと二点間の距離を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

二点間距離を差の絶対値で求め、共役との積が距離の二乗になる理由を座標からたどります。

よくあるのは、理系の高3が複素数平面上の2点の距離を求める際、それぞれの絶対値を引いてしまう場面です。原点からの距離は計算できていても、それだけでは2点の間の距離は決まりません。どの2点を結ぶ長さなのかを図に書き込み、差を取る位置を確かめましょう。

長さを尋ねる式の入口

問題の出方は大きく3つあります。1つ目は、複素数 a が表す点 A までの原点 O からの長さを求める型です。ここでは |a| がそのまま OA です。実部と虚部を直角三角形の2辺として計算できます。

2つ目は、2点 A、B が表す複素数 a、b から AB を求める型です。始点を A に移して考えると、横と縦の差が必要です。式は |b − a| となります。|a| と |b| をそれぞれ計算してから引く手順では、点の向きについての情報が落ちます。

3つ目は、共役を含む式から長さを取り出す型です。複素数とその共役の積は絶対値の二乗です。実数と虚数に分けて積を整理する方法と、長さの二乗と見て計算する方法を選べます。どちらも、何の絶対値を二乗しているかを括弧で示すと取り違えを防げます。

座標の差が距離になる理由

z = x + yi とします。x、y は実数です。z の絶対値は |z| = √(x² + y²) と定義され、常に0以上です。z が0のときも定義され、|0| = 0です。これは点 Z(x, y) と原点との距離 OZ に等しくなります。虚部が負でも、距離は負にはなりません。原点と重なる点では長さはちょうど0です。

複素数 a = p + qi、b = r + si に対応する点を A、B とします。横の変化は r − p、縦の変化は s − q です。三平方の定理から AB = √((r − p)² + (s − q)²) です。一方、b − a = (r − p) + (s − q)i なので、その絶対値は同じ式になります。したがって AB = |b − a| = |a − b| です。順番を逆にすると差全体の符号が反転しますが、長さは変わりません。

図1のように、差の実部と虚部は、2点を結ぶための横と縦の移動に対応します。|a| と |b| はどちらも原点を端に持つ長さです。AB とは端点が異なることを確かめてください。

図1では A = 1 + i、B = 4 + 3i です。差は b − a = 3 + 2i、よって AB = √13 です。原点からは OA = √2、OB = 5 であり、5 − √2 は AB ではありません。座標差から得た √13 は、横3、縦2の直角三角形でも確かめられます。

z = x + yi の共役を z の共役 = x − yi と書きます。i² = -1 に注意して掛けると、z とその共役の積は x² + y² = |z|² です。z = 0 でもこの等式は成り立ちます。また、a − b も複素数なので、その共役との積が |a − b|² になります。距離の二乗を計算してから長さを求める際には、非負の平方根を選びます。

距離を比較するときは、根号をすぐに計算しなくても、非負の数同士の二乗を比べれば大小が決まります。例えば長さの二乗が7と11なら、前者が短いと判断できます。ただし、二乗した値をそのまま長さとして書くことはできません。最後に長さを求める設問なら平方根へ戻します。

また、同じ点を2回選ぶ場合には差が0となり、距離も0です。差の順番を変えても0のままですから、2点が一致する場合を別の公式で扱う必要はありません。座標を使う式は、一致する点にもそのまま適用できます。

基本例題：差を先に取る

点 A、B に対応する複素数が a = -2 + i、b = 2 + 4i です。OA、OB、AB をそれぞれ根号を用いて求めてください。

まず、原点からの距離は各点の座標から計算します。

OA = |a|
   = √((-2)² + 1²)
   = √5
OB = |b|
   = √(2² + 4²)
   = √20
   = 2√5

次に、AB の両端の座標を引きます。差を取ってから絶対値を付ける順序です。

b - a = (2 + 4i) - (-2 + i)
      = 4 + 3i
AB = |b - a|
   = √(4² + 3²)
   = 5

図2のように A から B へは右に4、上に3進みます。その直角三角形の斜辺は5です。図2の座標を元の条件に戻しても、原点から A への横と縦は -2、1、B への横と縦は2、4なので、3つの長さはそれぞれ上の答えに一致します。

|b| − |a| = √5 も正の数ですが、これは原点からの距離の差です。正の数になったことは AB と一致する根拠になりません。答えの式には、求めたい線分の端点を先に書く習慣が役立ちます。

標準例題：共役の積を距離に戻す

点 P、Q に対応する複素数を p = 3 − 2i、q = -1 + i とします。p − q とその共役の積を整数で求め、PQ を根号で表してください。

差とその共役を順に求めます。

p - q = (3 - 2i) - (-1 + i)
      = 4 - 3i
p - q の共役 = 4 + 3i
(4 - 3i)(4 + 3i) = 16 - (3i)²
                      = 16 + 9
                      = 25

この積は |p − q|² なので、PQ² = 25 です。距離は0以上ですから PQ = 5 です。平方根を取るときに -5 を距離の候補にしません。元の点の横の差は4、縦の差は -3であり、4² + (-3)² = 25 と直接計算しても同じです。

共役の積を展開する方法は、式そのものの値も求められる点で便利です。一方、距離が目的なら、差の実部と虚部を取り出して三平方の定理を使っても進めます。共役の積が25であることと、距離が25であることは別です。積は長さの二乗に当たります。

発展例題：距離が等しい条件を数で絞る

実数 t に対し、点 A、B、P の複素数をそれぞれ a = 1 + 2i、b = 5 − i、p = t + 3i とします。PA = PB を満たす t を分数で求め、そのときの共通の距離を根号で表してください。

距離はどちらも0以上なので、PA = PB と PA² = PB² は同値です。平方して根号を外し、差を座標ごとに計算します。

p - a = (t - 1) + i
p - b = (t - 5) + 4i
PA² = (t - 1)² + 1
PB² = (t - 5)² + 16
(t - 1)² + 1 = (t - 5)² + 16
t² - 2t + 2 = t² - 10t + 41
8t = 39
t = 39/8

逆に t = 39/8 を元の距離に代入します。

PA² = (31/8)² + 1
    = 1025/64
PB² = (-1/8)² + 16
    = 1025/64
PA = PB = 5√41/8

二乗が等しく、両方とも距離ですから、正の平方根も等しくなります。したがって求めた値は元の条件を満たします。計算で候補を得た後に元の2つの距離へ戻すことが、符号や展開の誤りを見つける確認です。

ここでは P の虚部が3と指定されているため、未知数は実数 t の1つです。2点から等距離の点全体を求める問題とは異なります。距離の二乗を比べる方法は共通ですが、求める対象が数なのか点の集合なのかを先に読む必要があります。

引く場所を間違えたとき

A = 1 + i、B = 4 + 3i として、AB = |B| − |A| = 5 − √2 とする誤答を考えます。ここで A、B は点名を兼ねて対応する複素数を表しています。計算した2つの絶対値自体は正しいものの、それぞれ OA と OB です。2つの長さを引いても、その差が斜めの線分 AB になるとは限りません。

図3のように、正しい線分は A と B の間にあります。差を絶対値の中で取り、|B − A| = |3 + 2i| = √13 と直します。横3、縦2を使えば √(3² + 2²) = √13 となり、元の配置と一致します。

図3の2本の原点からの線分が同じ向きに並び、片方がもう片方に含まれる場合には、原点からの距離の差の絶対値が2点間距離と一致します。しかし、それは配置による特別な場合です。常に使える式としては、端点に対応する複素数の差の絶対値を選びます。

もう1つの誤りは、|3 + 2i| を 3 + 2 と計算することです。実部と虚部は直角方向の長さなので、それらの和ではなく二乗の和の平方根を取ります。符号が負のときは、二乗する前に括弧でくくると計算を追いやすくなります。

計算を点検する際は、二乗する前の差と、平方根を取った後の値の両方を確かめます。差の符号の誤りは、元の座標から横と縦の変化を読み直すと見つかります。平方根の誤りは、答えを二乗して横と縦の二乗の和に戻るかを見ると検出できます。

共役を使う場合にも、まず共役にする対象を特定します。a − b の共役は、a の共役から b の共役を引いたものです。片方の項だけ虚部の符号を変えると、元の差の共役ではなくなり、積が長さの二乗に対応しません。括弧の中を先に整理してから共役を書くと安全です。

練習：長さとその二乗を選ぶ

次の5問は、答えを整数、既約分数または根号を用いた正確な値で表してください。各点は示された複素数に対応します。

1. z = -5 + 12i のとき、原点 O と点 Z の距離を求めてください。
2. a = -3 − 2i、b = 2 + 10i のとき、点 A、B の距離を求めてください。
3. w = 7 − 4i のとき、w とその共役の積を求め、|w| を求めてください。
4. a = 2 + i、b = -2 + 4i、p = t + i とします。t は実数です。PA = PB となる t と、そのときの共通の距離を求めてください。
5. a = 3i、b = -4i とします。OA、OB、AB と、原点からの距離の差の絶対値を求め、AB と比べてください。

練習の解答と確認

1. 実部と虚部を二乗して足します。

OZ = |-5 + 12i|
   = √((-5)² + 12²)
   = √169
   = 13

元の座標で横の長さ5、縦の長さ12を取ると、斜辺の二乗は169です。答え13の二乗に一致し、長さとしても非負です。

2. 先に b − a を作ります。

b - a = (2 + 10i) - (-3 - 2i)
      = 5 + 12i
AB = |5 + 12i|
   = √(5² + 12²)
   = 13

元の2点を比べると、横は -3 から2で5、縦は -2 から10で12増えています。したがって答えの二乗169は、実際の横と縦の変化から得る値と一致します。

3. 共役は 7 + 4i です。

w とその共役の積 = (7 - 4i)(7 + 4i)
                     = 49 - (4i)²
                     = 65
|w| = √65

直接計算しても |w|² = 7² + (-4)² = 65 です。積は65で、長さはその非負の平方根です。2つの答えを入れ替えないようにします。

4. P の虚部は A と等しいので、PA は実部の差の絶対値です。二乗を比べると、

PA² = (t - 2)²
PB² = (t + 2)² + 9
(t - 2)² = (t + 2)² + 9
t² - 4t + 4 = t² + 4t + 13
-8t = 9
t = -9/8

この値を元の2つの距離に戻します。

PA² = (-9/8 - 2)²
    = 625/64
PB² = (-9/8 + 2)² + 9
    = 49/64 + 576/64
    = 625/64
PA = PB = 25/8

距離は非負なので、二乗が等しいことから元の条件も満たします。したがって t = -9/8、共通の距離は 25/8 です。

5. A は虚軸上の3、B は虚軸上の -4 にあります。

OA = |3i| = 3
OB = |-4i| = 4
AB = |-4i - 3i| = |-7i| = 7
|OB - OA| = |4 - 3| = 1

元の配置では原点を挟むため、AB は3と4の和の7です。原点からの距離の差は1であり、AB とは異なります。虚軸上に2点があるというだけでは、長さの差を使えるとは限りません。

要点を短く

原点からの距離は |z|、2点間の距離は差の絶対値です。
複素数とその共役の積は絶対値の二乗です。
距離は非負なので二乗を比較でき、答えは元の条件へ戻します。

どこで止まったかを見分ける

原点からの距離は求められるのに2点間で止まるなら、2点の座標を図に打ち、横と縦の変化を別々に言葉で説明できるか確かめます。差の順序で迷うなら、両方の順に計算し、符号が全体で反転しても絶対値が等しいことを見ます。

個別指導では、答案の |a| − |b| がどの2本の長さを表すかを尋ね、求めたい線分と端点を照合します。共役の積から答える場合は、その値が距離なのか距離の二乗なのかを説明してもらいます。式と図の端点が一致すれば、絶対値は距離を正確に表します。