高校数学C 球面の接平面—半径との垂直条件から接点と平面を求める｜武蔵野個別指導塾

半径との垂直条件から接点を求め、中心距離でも確かめられるのが球面の接平面です。

よくあるのは、球面外の点を接点と取り違え、中心からその点へのベクトルをそのまま法線にしてしまう場面です。計算した平面が与えられた点を通っていても、球面に触れるとは限りません。球面の接平面を求めるときは、まず接点が球面上にあるかを調べ、次に半径と平面の垂直を式にします。最後に中心と平面の距離を半径と比べれば、式の形が違っていても確かめられます。

数学Cでは座標とベクトルを平面から空間へ広げます。ここでは内積と平面の方程式を使い、球面に接する平面と接点を扱います。図は断面の見取り図で、空間そのものの長さや角度を測るためのものではありません。

接点が決まる問題と、法線が決まる問題

出方の1つは、球面と点Pが与えられ、Pでの接平面を求める形です。はじめにPを球面の式に代入します。所属しないとき、その点での接平面は存在しません。所属するなら中心CからPへの半径が非零であることを確認し、ベクトル CPを法線に使います。

もう1つは、平面の法線の向きが与えられ、その向きに垂直な接平面を求める形です。球の反対側にも同じ向きの法線を持つ接平面があるため、通常は2つを求めます。法線が零ベクトルなら向きが定まらず、この方法は使えません。

さらに、球面外の点を通り、条件を満たす接平面を求める問題もあります。その点は平面上の点であり、必ずしも接点ではありません。通過条件と接する条件を別々に立て、候補の平面ごとに中心からの距離を調べます。条件が足りなければ接平面が多数あることもあるので、個数を先に決めつけないようにします。

半径が法線になる理由

中心をC、半径を正の数rとし、点Pを球面上の点とします。Pを通り、ベクトル CPに垂直な平面を考えます。平面上の任意の点Xについて、ベクトル PXはベクトル CPと垂直です。内積が0なので、距離の2乗は次のように表せます。

ベクトル CX = ベクトル CP + ベクトル PX
|ベクトル CX|² = |ベクトル CP|² + |ベクトル PX|²
                = r² + |ベクトル PX|²

XがPと異なるなら最後の項は正です。したがって平面上で球面に属する点はPに限られ、この平面はPで球面に接します。逆に、Pを通る平面の法線がベクトル CPと平行でなければ、ベクトル CPには平面方向の零でない成分があり、Pの近くの平面上に球の内部の点を取れます。その点を通る平面内の直線は球面と2点で交わるため、接平面ではありません。半径が法線になることは、見た目だけでなく内積と距離で説明できます。

図1は中心と接点を通る断面です。接点を通る線は接平面と断面の交線を表します。直角の印は空間での垂直条件を示し、図の傾きから座標を読み取るものではありません。

C(a, b, c)、P(p, q, s)とし、Pが半径rの球面上にあるとします。r > 0なので、法線(p − a, q − b, s − c)は零ではありません。平面上の点をX(x, y, z)とすると、内積が0という条件から次の式を得ます。

ベクトル CP・ベクトル PX = 0
(p - a)(x - p) + (q - b)(y - q) + (s - c)(z - s) = 0

この式にPを代入すれば0になり、平面が接点を通ることも確かめられます。反対に、球面への所属を確かめずに式を使うと、半径の長さがrであるという前提が崩れます。半径0のときは球面が1点になり、非零の法線を半径から得られないので、ここで扱う正の半径の場合とは分けます。

平面Ax + By + Cz + D = 0の法線(A, B, C)が非零なら、中心から平面までの距離dは次の式です。

d = |Aa + Bb + Cc + D| / √(A² + B² + C²)

これは中心から平面へ下ろした垂線の長さです。d = rなら垂線の足が接点、d < rなら平面は球面と円で交わり、d > rなら共通点がありません。距離は負にならないので、絶対値を外すときに符号で分ける必要があります。法線が零なら分母が0になり、距離の公式を使えません。

基本例題：球面上の点で触れる平面

中心C(1, -2, 0)、半径3の球面上の点P(3, -1, 2)における接平面を求めてください。答えはx、y、zの一次方程式で表します。

まず、中心からPまでの距離の2乗を調べます。

ベクトル CP = (3 - 1, -1 - (-2), 2 - 0)
             = (2, 1, 2)
|ベクトル CP|² = 2² + 1² + 2²
                = 9 = 3²

Pは球面上にあり、法線(2, 1, 2)は非零です。図2のように、Pを通る平面に対してCPを法線とします。図はC、Pを含む断面の模式図です。

2(x - 3) + (y + 1) + 2(z - 2) = 0
2x - 6 + y + 1 + 2z - 4 = 0
2x + y + 2z - 9 = 0

これが求める平面です。Pを代入すると6 − 1 + 4 − 9 = 0で、確かにPを通ります。中心Cを代入した左辺は2 − 2 − 9 = -9、法線の長さは√9 = 3です。中心から平面までの距離は|-9|/3 = 3で、球の半径と一致します。Pの所属と距離という別々の条件に戻すことで、符号の間違いを発見できます。

例えば点Q(4, -2, 1)について同じ問いを立てたとします。CQの長さの2乗は3² + 0² + 1² = 10で、半径の2乗9とは異なります。Qを通る接平面を探す問題は考えられますが、Qにおける接平面は存在しません。この違いは計算の最初に判定できます。

標準例題：法線の向きが指定される

中心C(2, 1, -1)、半径2√6の球面があります。法線が(1, 2, 1)に平行な接平面をすべて求め、各接点の座標も求めてください。平面は一次方程式、座標は整数で表します。

法線(1, 2, 1)の長さは√(1 + 4 + 1) = √6で、零ではありません。接点に向かう半径は、この法線に平行で、長さが2√6です。したがって法線の2倍と、その反対向きの2通りを調べます。

ベクトル CP = 2(1, 2, 1) = (2, 4, 2)
P = (2, 1, -1) + (2, 4, 2) = (4, 5, 1)
ベクトル CQ = -2(1, 2, 1) = (-2, -4, -2)
Q = (2, 1, -1) + (-2, -4, -2) = (0, -3, -3)

それぞれで長さの2乗は4 + 16 + 4 = 24で、半径の2乗と一致します。Pを通る平面とQを通る平面は、共通の法線を使って求められます。

(x - 4) + 2(y - 5) + (z - 1) = 0
x + 2y + z - 15 = 0
x + 2(y + 3) + (z + 3) = 0
x + 2y + z + 9 = 0

中心を2つの左辺に代入すると、それぞれ-12、12です。いずれも距離は12/√6 = 2√6なので、与えられた球面に接します。Pは前者、Qは後者に代入すると0になります。法線が指定ベクトル(1, 2, 1)に平行な平面をx + 2y + z = kと置くと、接する条件は|k − 3| = 12です。この式の2解が上の2平面に一致するため、他の候補もありません。

符号の片方を落とすと、反対側の接平面を見失います。一方、法線の各成分を独立に正負変更すると、指定された方向から外れます。正負を変えるのはベクトル全体です。また、半径で割る前に半径が正、法線の長さが正であることを確認します。

発展例題：球面外の点を通る条件を追加する

中心O(0, 0, 0)、半径2の球面と、球面外の点A(4, 0, 0)を考えます。Aを通り、z軸に平行な接平面をすべて求めてください。接点の座標は根号を用いて表します。

z軸に平行な平面は、z方向のベクトル(0, 0, 1)に垂直な法線を持ちます。法線を(u, v, 0)とし、uとvが同時に0でないことを条件にします。Aを通るため、平面は次のように書けます。

u(x - 4) + vy = 0
ux + vy - 4u = 0

中心からの距離が2であることを使います。分母√(u² + v²)は法線が非零なので正です。

|4u| / √(u² + v²) = 2
16u² = 4(u² + v²)
3u² = v²

u = 0ならv = 0となり、非零という条件に反します。よってuで割ることができます。

v/u = √3 または -√3
x + √3y - 4 = 0 または x - √3y - 4 = 0

接点は中心から各平面への垂線の足です。前者の法線(1, √3, 0)の長さの2乗は4で、足はその法線の実数倍です。平面に代入すると倍率が1と決まります。後者も同様です。

P = (1, √3, 0)
Q = (1, -√3, 0)
|ベクトル OP|² = 1 + 3 = 4
|ベクトル OQ|² = 1 + 3 = 4

Pを前者の左辺に入れると1 + 3 − 4 = 0、Qを後者に入れると1 + 3 − 4 = 0です。どちらも球面に属し、対応する平面の法線と半径が平行です。Aについても両平面の左辺は0で、指定された通過条件を満たします。Aの距離の2乗は16で球面外にあるため、A自体を接点にすることはできません。

2乗の前に両辺が非負であることを確かめたので、ここでは2乗による余分な符号は生じません。さらに元の距離は4/√4 = 2で、候補が実際に接することを確認できます。z軸に平行という条件を外すと、この2平面に限りません。追加条件が候補の範囲をどう狭めているかも読み取ってください。

誤答を直す：通る点と接する点を分ける

半径2、中心Oの球面に対し、A(4, 0, 0)での接平面を「x = 4」とする誤答を考えます。図3のように、この平面はAを通り、OAを法線に持ちます。しかしOAの長さは4で、球の半径2とは一致しません。接点としての所属を調べていないことが誤りの原因です。

修正するときは、最初に|ベクトル OA| = 4 > 2と判定します。x = 4と中心の距離も4なので、この平面と球面には共通点がありません。もし問いが「Aを通る接平面」であれば、Aを接点と置かずに、平面の通過条件と中心距離が2という条件を立て直します。図3で右側の破線は誤った平面、球の右端を通る線は参考として描いた接平面です。後者はx = 2であり、Aを通らないことも区別します。

球面上の点を渡された場合にも、法線の符号を逆にすること自体は誤りではありません。平面の式全体を-1倍しても同じ平面です。誤りになるのは、接点を通る定数項だけを変えるなど、等式の一部だけを変えた場合です。接点の代入と中心距離の両方を使い、位置と接する性質を分けて点検します。

練習問題

各球面の半径は正です。平面はx、y、zの一次方程式、点は座標で答えてください。根号が現れるときは根号のまま表します。

1. 中心(0, 1, -1)、半径√6の球面上のP(1, 3, 0)における接平面を求めてください。
2. 中心(1, 0, 2)、半径3の球面について、Q(2, 2, 4)における接平面が存在するか判定し、存在するなら求めてください。
3. 中心(-1, 2, 0)、半径√5の球面について、法線が(2, 1, 0)に平行な接平面と、それぞれの接点をすべて求めてください。
4. 中心(1, -1, 2)、半径2の球面と平面2x − y + 2z + 1 = 0の位置関係を、接する、円で交わる、共通点がないのいずれかで答えてください。
5. 中心(0, 0, 0)、半径3の球面に対し、点A(5, 0, 0)を通り、z軸に平行な接平面とその接点をすべて求めてください。

練習の解答と確かめ方

1. 接点を代入する

ベクトル CP = (1, 2, 1)
|ベクトル CP|² = 1 + 4 + 1 = 6
(x - 1) + 2(y - 3) + (z - 0) = 0
x + 2y + z - 7 = 0

Pは球面上で、法線は非零です。Pを平面へ代入すると1 + 6 − 7 = 0です。中心の代入値は2 − 1 − 7 = -6、法線の長さは√6なので、距離は6/√6 = √6です。接点と半径の両方に戻して確認できます。

2. 球面への所属を先に調べる

ベクトル CQ = (1, 2, 2)
|ベクトル CQ|² = 1 + 4 + 4 = 9 = 3²
(x - 2) + 2(y - 2) + 2(z - 4) = 0
x + 2y + 2z - 14 = 0

Qは球面上なので接平面が存在します。Qの代入値は2 + 4 + 8 − 14 = 0、中心の代入値は1 + 4 − 14 = -9です。法線の長さ3で割ると距離は3です。所属しなかったときは最後の式へ進まず、その点での接平面は存在しないと答えます。

3. 反対向きも求める

|(2, 1, 0)|² = 5
P = (-1, 2, 0) + (2, 1, 0) = (1, 3, 0)
Q = (-1, 2, 0) - (2, 1, 0) = (-3, 1, 0)
2(x - 1) + (y - 3) = 0
2x + y - 5 = 0
2(x + 3) + (y - 1) = 0
2x + y + 5 = 0

両半径の長さは√5で、PとQはそれぞれ対応する平面上です。中心を各左辺に代入すると-5と5なので、距離はともに5/√5 = √5です。法線が指定方向に平行な接点は、中心からその方向へ半径分進む2点に限られます。

4. 距離を比べる

d = |2(1) - (-1) + 2(2) + 1| / √(2² + (-1)² + 2²)
  = 8/3
8/3 > 2

法線は非零で、距離は半径より大きいため共通点はありません。等しいときは接し、より小さいときは円で交わります。分子だけの8を半径と比較するのではなく、法線の長さ3で割って距離に直してください。

5. 通過と接触を別々に使う

平面を u(x - 5) + vy = 0 とする
(u, v) は (0, 0) ではない
|5u| / √(u² + v²) = 3
25u² = 9(u² + v²)
16u² = 9v²
v/u = 4/3 または -4/3

u = 0ではv = 0となり条件に反するため、割り算は可能です。答えの平面と接点は次の通りです。

3x + 4y - 15 = 0、P = (9/5, 12/5, 0)
3x - 4y - 15 = 0、Q = (9/5, -12/5, 0)

各法線の長さは5で、中心からの距離は15/5 = 3です。P、Qの中心からの距離の2乗は(81 + 144)/25 = 9です。Pは前者、Qは後者の平面に属し、半径は対応する法線に平行です。Aを両方の平面に代入しても0となり、通過条件へ戻せます。

手元に残す要点

• 接点を指定されたら、球面への所属と半径が非零であることを先に調べます。
• 接平面の法線には、中心から接点へのベクトルを使います。
• 法線の向きが指定されたら、球の両側にある接点を調べます。
• 中心から平面までの距離と半径を比べ、接触を検算します。

つまずいた式を見分ける

平面を求める前に手が止まるときは、問題文の点に「接点」か「通過点」かを書き添えてみてください。点を球面に代入した結果が半径の2乗と異なるのに、その点を接点として式を書いていないかを確認します。平面の式は、法線と平面上の点を別々に示してから展開すると、定数項の役割を追えます。

個別指導で確かめるなら、まず中心と点を断面に描き、どの線が半径でどの線が平面の断面かを言葉にします。続いて、求めた点の所属、半径と法線の平行、中心から平面までの距離を順に説明してみてください。途中で式が合っていても元の条件に戻らなければ、点の取り違えは残ります。接点を球面に戻し、平面を距離で確かめてから答えを閉じます。