高校数学C 球面と直線の共有点—二次方程式の解を空間座標へ戻して求める｜武蔵野個別指導塾

直線の媒介変数を球面に代入し、判別式と線分の範囲を経て座標へ戻し、球面と直線の共有点を求めます。

よくあるのは、理系の高3が球面と直線の式から媒介変数を求め、その数だけを共有点として答案に書く場面です。媒介変数は直線上の位置を指定する番号で、空間の点そのものではありません。3成分に戻し、球面と直線の両方の条件を満たすかまで見届けましょう。

数学Cで平面の座標・ベクトルの考え方を3次元へ進めると、球面と直線の位置関係も式で調べられます。ここでは球面と直線の共有点を扱い、線分に制限された場合も調べます。球面と平面の切り口や接平面の方程式には立ち入りません。

求めるものを先に分ける

出題には大きく3つの型があります。1つ目は球面と直線の式が与えられ、共有点の座標を求める型です。代入して得た実数解を直線の3成分に戻します。解が2個でも、求められたものは2組の座標です。

2つ目は直線が球面に接する条件を、定数を含む式から求める型です。実数解がちょうど1個となる条件を使います。ただし、直線の方向ベクトルが零でないことと、球面の半径が正であることを先に確かめます。

3つ目は直線ではなく線分との共有点を問う型です。直線全体について解いた後、端点を含む媒介変数の範囲で選び直します。球面は表面なので、球の内部にある点を共有点に数えないことも大切です。

直線上の番号と球面の条件

中心を C(a, b, c)、半径を r とし、r > 0 とします。球面上の点 P(x, y, z) は次を満たします。

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²

直線上の点を P = A + t d と書きます。ここで A は直線上の定点の位置ベクトル、d は方向ベクトル、t は実数です。d は零ベクトルでないとします。成分で書けば、A = (p, q, s)、d = (u, v, w) のとき、P の座標は (p + tu, q + tv, s + tw) です。数学的な等号の右側は位置ベクトルの成分であり、点の座標にも同じ3数を用います。

図1のように、直線上で t を動かすと点 P も動きます。球面上にある時の t を代入で探します。図は中心と直線を含む平面で見た断面の模式図です。

代入して整理すると At² + Bt + C = 0 となります。ここで二次の係数 A = u² + v² + w² は、d が非零なので正です。この条件があるから二次方程式として判別できます。判別式 D = B² − 4AC について、D > 0 なら異なる2個、D = 0 なら1個、D < 0 なら0個の実数解です。

異なる t が異なる点を表すことも確認します。もし2つの値 t₁、t₂ が同じ点を表すなら、(t₁ − t₂)d が零ベクトルです。d は非零なので t₁ = t₂ となります。したがって実数解の個数は直線と球面の共有点の個数に一致します。

重解のとき直線は球面に接します。その理由は、球の中心から直線への垂線の足を H とすると、直線上の P について CP² = CH² + HP² と表せるからです。CH と直線方向は垂直なので、この等式が成り立ちます。CH = r のとき H のみが球面上にあり、CH < r なら足の両側に2点、CH > r なら共有点はありません。図の見た目で長さを測る必要はありません。

平方完成で見える対称性

代入後の式を A(t − h)² + m = 0 と変形すると、h が2つの候補の中間に当たります。A は方向ベクトルの大きさの二乗なので正です。m < 0 なら二乗の値が正になり2候補、m = 0 なら t = h の1候補、m > 0 なら二乗が負になるため候補はありません。平方完成は判別式と同じ場合分けを、直線上の位置と結びつける方法です。

ただし h は一般に共有点の媒介変数ではありません。m < 0 のとき、h は2点の中間に対応します。たとえば式が 2(t − 3)² − 8 = 0 なら、候補は t = 1, 5 で、中間の t = 3 は球面上ではありません。線分ならこの2候補をそれぞれ範囲に照合します。中間の値が範囲内という事実だけでは、候補が範囲内かどうかは決まりません。

球面の式が展開された形で与えられたときは、平方完成して半径の二乗を調べる方法もあります。正なら球面として扱えますが、0なら中心の1点、負なら実数座標の点はありません。問題に球面と書かれていても、文字を含む場合は値によってこの条件が変わることがあります。直線側でも方向ベクトルが文字を含む場合、全成分が同時に0となる値を除いてから二次方程式を使います。

基本例題：2つの値を2点に戻す

球面 x² + y² + z² = 25 と直線 (x, y, z) = (t, 3, 0) の共有点を、座標で求めてください。t はすべての実数を動きます。

中心は原点、半径は5です。方向ベクトル (1, 0, 0) は非零なので、与えられた式は直線を表します。図2のように、中心から直線への距離は3で、半径より小さい配置です。

直線の各成分を球面に代入します。

t² + 3² + 0² = 25
t² = 16
t = -4, 4

ここで終わらず、それぞれの値を (t, 3, 0) に戻します。共有点は (-4, 3, 0)、(4, 3, 0) です。どちらも y = 3、z = 0 を満たし、原点からの距離の二乗は 16 + 9 = 25 です。よって、両方の条件に戻して確かめられます。

2点は直線上の足 (0, 3, 0) を中点とします。図2では断面上の円として描いていますが、球面全体を平面の円と取り違えないようにします。球面の方程式に3成分を戻して確認することが、空間での答えの確認になります。

標準例題：接する定数を決める

球面 x² + y² + z² = 9 と直線 (x, y, z) = (t, k, 2) が接するような実数 k と、そのときの接点を座標で求めてください。

球面の半径は3、方向ベクトル (1, 0, 0) は非零です。球面への代入から、次を得ます。

t² + k² + 4 = 9
t² + k² - 5 = 0
D = 0² - 4(k² - 5)
D = 4(5 - k²)

接する条件は重解をもつことなので、D = 0 と置きます。

4(5 - k²) = 0
k² = 5
k = √5, -√5

どちらの値でも方程式は t² = 0 となり、t = 0 です。直線に戻すと、k = √5 の接点は (0, √5, 2)、k = -√5 の接点は (0, -√5, 2) です。

どちらも中心からの距離の二乗が 0 + 5 + 4 = 9 です。またそれぞれの直線の表示に t = 0 を入れて得られるので、所属も満たします。中心から接点へのベクトルと方向 (1, 0, 0) の内積も0です。k² = 5 から正の根だけを取ると、反対側の接線を落とします。

k² < 5 なら2点、k² > 5 なら共有点なしです。接する場合を求める問題でも、この両側を見ておくと、等号の意味が明確になります。D の正負は t の実数解の個数を判定するもので、座標を求める最後の代入を省く合図ではありません。

発展例題：線分で残る点を選ぶ

球面 x² + y² + z² = 16 と、A(-6, 0, 0)、B(2, 0, 0) を結ぶ線分 AB の共有点を座標で求めてください。

A と B は異なるので方向ベクトル ベクトル AB = (8, 0, 0) は非零です。線分上の点 P は、実数 t を使って次のように表せます。

(x, y, z) = (-6 + 8t, 0, 0)
0 ≤ t ≤ 1

端点 A は t = 0、端点 B は t = 1 に対応します。まず範囲を一時的に外して直線と球面の共有点の候補を求めます。

(-6 + 8t)² = 16
-6 + 8t = -4 または 4
t = 1/4 または 5/4

1/4 は 0 ≤ t ≤ 1 に入り、5/4 は入りません。したがって求める点は t = 1/4 を戻した (-4, 0, 0) です。この点は A から B へ8の距離のうち2進んだ点で、線分上にあります。原点からの距離の二乗は16です。もう一方の (4, 0, 0) も球面と直線には属しますが、B の先にあるので線分には属しません。

逆に、2候補がともに範囲外なら線分との共有点はありません。重解が範囲内なら1点で、範囲外ならありません。端点で等号が成立した場合は線分に含めます。さらに両端が球の内部にある場合、直線が球面と2点で交わっても、その2点が線分の外にあることがあります。直線の判定結果だけでは線分の答えは確定しません。

誤答を点の条件から直す

図3のように、球面 x² + y² + z² = 4 と直線 (x, y, z) = (t, 0, 0) を考えます。代入すると t = -2, 2 です。

誤答は「共有点は -2、2」です。理由は、-2 と2が位置を指定する実数であり、空間の点を表す3成分ではないためです。直線に代入し直して、(-2, 0, 0)、(2, 0, 0) と修正します。各点は与えられた直線上にあり、原点からの距離の二乗も4です。

別の誤りとして、判別式が正なら線分との共有点も2個と断定する場合があります。判別式が数えるのは、範囲を制限しない直線上の候補です。線分なら各解を範囲と照合してください。方向ベクトルが零の場合も同じ式を機械的に判定できません。表示されるものは直線ではなく1点なので、その点を球面の式に代入して別に調べます。

練習：候補を落とさず条件で選ぶ

以下の問題はすべて座標や定数を整数または根号で正確に答えてください。各直線の媒介変数は特に指定がなければ実数全体を動きます。

1. 球面 x² + y² + z² = 13 と直線 (x, y, z) = (2, t, 0) の共有点を求めてください。
2. 球面 (x − 1)² + (y + 1)² + z² = 4 と直線 (x, y, z) = (1 + t, -1, 2) の共有点を求めてください。
3. 球面 x² + y² + z² = 4 と直線 (x, y, z) = (t, 3, 0) の共有点の個数を求めてください。
4. 球面 x² + y² + z² = 25 と線分 A(0, 0, 0)、B(6, 0, 0) の共有点を求めてください。
5. 球面 x² + y² + z² = 16 と直線 (x, y, z) = (t, k, 0) が接する実数 k と接点を求めてください。

練習の解答と考え方

1. 方向 (0, 1, 0) は非零、半径は √13 です。代入すると 4 + t² = 13、したがって t² = 9、t = -3, 3 です。直線へ戻して (2, -3, 0)、(2, 3, 0) です。どちらも x = 2、z = 0 で、原点からの距離の二乗が13です。

2. 半径2、方向 (1, 0, 0) は非零です。代入すると t² + 0² + 2² = 4、よって t² = 0、t = 0 です。共有点は (1, -1, 2) です。中心 (1, -1, 0) からの距離は2で、直線の表示にも t = 0 で戻ります。重解に対応する1点です。

3. 半径2、方向 (1, 0, 0) は非零です。代入すると t² + 9 = 4、すなわち t² = -5 です。実数の二乗は負にならないため共有点は0個です。直線上のどの点も中心からの距離の二乗が9以上なので、元の図形の条件からも交わりません。

4. A と B は異なり、線分は (x, y, z) = (6t, 0, 0)、0 ≤ t ≤ 1 です。代入すると 36t² = 25、t = -5/6, 5/6 です。範囲に入るのは 5/6 なので、答えは (5, 0, 0) です。原点から5の距離にあり、A から B の間にもあります。負の候補は反対向きの直線上にあります。

5. 半径4、方向 (1, 0, 0) は非零です。代入すると t² + k² = 16 です。実数解が重解となるのは 16 − k² = 0、つまり k = 4, -4 の場合です。いずれも t = 0 で、接点は順に (0, 4, 0)、(0, -4, 0) です。各点は対応する直線上にあり、原点からの距離は4です。

候補が端点に一致する場合も、端点は線分に含まれます。たとえば t = 0 が解なら、出発点そのものを座標として答えます。一方、半直線では t ≥ 0 のように片側だけを制限します。問題に書かれた範囲を、方程式を解く前に控えておくと選別しやすくなります。

手元に残す要点

• 非零の方向ベクトルを確認してから直線を代入します。
• 判別式は直線全体での実数解の個数を示します。
• 線分では端点を含む媒介変数の範囲を照合します。
• 採用した値を3成分に戻し、両方の条件を確かめます。

つまずいた位置を見つける

途中で止まったら、まず「求めるのは値か点か」を問題文に書き添えます。次に直線の3成分を縦に並べ、得た各値を同じ列に代入します。線分なら範囲を数直線に描き、端点に等号を含めて判定します。個別指導で確認するときも、解答の数だけでなく、球面への代入と直線上にある理由を言葉で説明してみてください。共有点の座標は、2つの条件を同時に満たすことで定まります。