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高校数学III 三角関数の二乗の積分—半角公式で次数を下げて計算する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 積分法を掘り下げる

sin²の誤った原始関数を微分で見抜き、半角公式の符号、倍角の係数、tan²の定義域を順に確かめます。

よくあるのは、sin² xの原始関数をsin³ xの定数倍にしてしまう場面です。x²を積分するとx³の定数倍になるという記憶は自然ですが、sin xを微分するとcos xが現れます。元の式にその因子があるかを見ないまま、指数の計算を適用することはできません。三角関数の二乗は、恒等式で積分しやすい和へ直し、最後に微分して戻すと整理できます。ここでは三角関数の積や高次の積一般には広げず、二乗とその係数に焦点を当てます。

どの二乗が目の前にあるか

出方は大きく3つあります。sin²やcos²が単独で現れる場合は、倍角のcosを含む式に直します。二乗が消えて定数と三角関数の和になるので、それぞれを積分できます。角が3xのように変わっていれば、変形後の角は6xです。積分するときにも6という係数を見落とさないようにします。

sin²とcos²が同じ角で並ぶ場合は、別々に計算する前に係数を比べます。和と差に分けると、定数部分と倍角部分が一度に見えます。例えば係数が等しければ、sin² x + cos² x = 1により三角関数が消えます。係数が異なるときも、倍角項が残る量を先に整理すると符号の検算がしやすくなります。

tan²は半角公式に直接押し込まず、1 + tan² x = 1/cos² xを使います。右辺には積分できる1/cos² xが現れます。ただしtan xが定義されない点に注意が必要です。不定積分はcos xが0にならない区間ごとに扱い、定積分では区間内や端点にその点がないか、計算前に調べます。

恒等式を積分の形に直す

角は弧度法で表します。倍角の公式とsin² x + cos² x = 1から、次の2式が得られます。

cos 2x = 1 - 2 sin² x
sin² x = (1 - cos 2x)/2
cos 2x = 2 cos² x - 1
cos² x = (1 + cos 2x)/2

図1のように、どちらも定数1/2とcos 2xの項に分かれます。違うのはcos 2xの符号です。x = 0を代入すると、sin² 0 = 0には引き算、cos² 0 = 1には足し算が対応するので、公式の符号をその場で照合できます。

図1の矢印は恒等式による変形を表します。両辺はあらゆる実数xで等しく、積分の前に式を置き換えても値は変わりません。sinとcosは連続で、得られる定数とcos 2xも連続です。原始関数を求めるときは、和の各項を積分できます。

∫ sin² x dx = x/2 - sin 2x/4 + C
∫ cos² x dx = x/2 + sin 2x/4 + C

ここでCは積分定数です。例えばsin 2xの導関数は2 cos 2xですから、cos 2x/2の原始関数はsin 2x/4です。角の係数を割る操作は、合成関数の微分を逆にたどっています。定積分なら連続性を確かめた区間で原始関数の上端の値から下端の値を引きます。

一方、cos x ≠ 0のとき、sin² x + cos² x = 1の両辺をcos² xで割るとtan² x = 1/cos² x − 1です。tan xの導関数が1/cos² xなので、原始関数はtan x − x + Cです。この式をcos x = 0を挟む一続きの区間に適用することはできません。分母が0になるところでは元の関数自体が定義されないからです。

係数が変わるときの見通し

角がaxでaが0でないとき、sin² axは(1 − cos 2ax)/2です。cos 2axを積分するとsin 2ax/(2a)なので、全体ではx/2 − sin 2ax/(4a) + Cとなります。負のaでも微分時の係数2aをそのまま追えば同じ式が成り立ちます。a = 0では割り算ができないため別に扱い、sin² 0 = 0から原始関数は定数です。公式を使う前に文字の条件を確かめると、この例外を取りこぼしません。

基本例題：角の係数を最後まで持つ

不定積分 ∫ sin² 3x dx を求め、積分定数を含む形で答えてください。

sin 3xは実数全体で連続です。半角公式のxに3xを入れると、倍角は6xになります。図2のように、まず二乗を外し、その後に各項を積分します。

sin² 3x = (1 - cos 6x)/2
∫ sin² 3x dx = ∫ (1/2 - cos 6x/2) dx
               = x/2 - sin 6x/12 + C

1行目はsin²の恒等式です。2行目では1/2を括弧の中に配り、和の積分にします。最後の行ではcos 6xの原始関数がsin 6x/6であることを使いました。外にあった1/2と6の両方を分母に残すため、係数は1/12です。

図2の最後の矢印は微分による戻しを示しています。実際に答えを微分すると、x/2から1/2、-sin 6x/12から-cos 6x/2が出ます。合わせて(1 − cos 6x)/2、すなわち元のsin² 3xです。仮に分母を6とすると、戻した式のcos 6xの係数が-1となり、元の係数-1/2と一致しません。計算を途中で終えずに、この係数まで戻すことが確認になります。

標準例題：二種類の二乗をまとめる

定積分 ∫[0→π/3] (2 sin² x + 4 cos² x) dx を、πと根号を用いた正確な値で求めてください。

被積分関数は区間全体で連続です。2つの二乗に公式を入れ、定数と倍角の項をまとめてから積分します。

2 sin² x + 4 cos² x
= (1 - cos 2x) + 2(1 + cos 2x)
= 3 + cos 2x

元の係数の合計を2で割ると定数項3、cos 2xの係数は-1と2を加えた1です。各段階で符号を見ます。原始関数と端点の値は次のようになります。

∫[0→π/3] (3 + cos 2x) dx
= [3x + sin 2x/2] の0からπ/3までの増加量
= (π + sin(2π/3)/2) - (0 + sin 0/2)
= π + √3/4

上端では2x = 2π/3なのでsin(2π/3) = √3/2です。下端も式全体に代入し、0になることを確認します。原始関数を微分すると3 + cos 2xで、これは恒等式によって元の被積分関数に戻ります。また2 sin² x + 4 cos² xは2以上4以下なので、この区間の積分値は2π/3以上4π/3以下です。得られた値もその範囲にあり、端点の向きや大きな係数の誤りを点検できます。この大小の確認は厳密な計算の代わりではありません。

発展例題：tan²の定義域を先に確かめる

定積分 ∫[0→π/6] (3 tan² x + 2) dx を、πと根号を用いた正確な値で求めてください。

0 ≦ x ≦ π/6ではcos x > 0です。したがって被積分関数はこの閉区間で連続で、tan² x = 1/cos² x − 1を区間全体で使えます。まず定数項をまとめます。

3 tan² x + 2 = 3(1/cos² x - 1) + 2
                = 3/cos² x - 1

これを積分し、上端と下端を順に代入します。

∫[0→π/6] (3 tan² x + 2) dx
= [3 tan x - x] の0からπ/6までの増加量
= (3 tan(π/6) - π/6) - (3 tan 0 - 0)
= √3 - π/6

tan(π/6) = 1/√3を使いました。3 tan x − xを微分すると3/cos² x − 1となり、元の3 tan² x + 2に戻ります。区間の向きは0からπ/6で、被積分関数は2以上ですから、答えも正です。

似た式でも、例えば積分区間にπ/2が含まれる場合は同じ手順で端点を代入できません。そこでcos x = 0となり、tan² xが定義されないためです。単に公式を忘れたのではなく、定積分の前提が失われています。区間を見てから変形する習慣が、この違いを明確にします。

誤答を微分で止める

sin² xの原始関数としてsin³ x/3 + Cを書いたとします。図3のようにこれを微分すると、sin² x cos xです。余分なcos xが現れるので、元のsin² xには一般に一致しません。例えばx = π/3では、それぞれ3/8と3/4です。

図3の誤りは、xのべきの積分を、内側の関数の微分を調べずに移したことです。合成関数の微分ではsin³ xを微分すると3 sin² x cos xとなります。もし元の式にsin² x cos xがあれば、この原始関数は使えますが、sin² xにはcos xがありません。

修正するときは半角公式へ戻ります。(1 − cos 2x)/2に変形し、原始関数をx/2 − sin 2x/4 + Cとします。これを微分すれば(1 − cos 2x)/2となり、元の式に一致します。別の失敗として、sin 2x/2をそのまま原始関数と書くと、微分時の2が残ってしまいます。二乗を外した後も、角の係数を微分で確かめてください。

練習：式の形を見てから手を動かす

次の不定積分は積分定数を含めて答えてください。定積分はπと必要な根号を用いた正確な値で答えてください。

∫ cos² 2x dx を求めてください。
∫ (5 sin² x + cos² x) dx を求めてください。
∫[0→π/4] sin² 2x dx を求めてください。
cos x ≠ 0となる区間で、∫ (2 tan² x − 1) dx を求めてください。
∫[0→π/3] (sin² x + 3 cos² x) dx を求めてください。

練習の解答と照合

cos²の公式は倍角項が正です。角が2xなので倍角は4xです。

cos² 2x = (1 + cos 4x)/2
∫ cos² 2x dx = x/2 + sin 4x/8 + C

微分すると1/2 + cos 4x/2となり、元のcos² 2xに戻ります。角の4と公式の1/2の積が、分母の8に現れています。

先に定数項と倍角項をそれぞれまとめます。

5 sin² x + cos² x = 5(1 - cos 2x)/2 + (1 + cos 2x)/2
                      = 3 - 2 cos 2x
∫ (5 sin² x + cos² x) dx = 3x - sin 2x + C

答えを微分すると3 − 2 cos 2xです。これは最初の恒等式で元の二乗の和に戻ります。sin²側の負号が残ることを確かめます。

全区間で連続なので、原始関数の差をとれます。

sin² 2x = (1 - cos 4x)/2
∫[0→π/4] sin² 2x dx = [x/2 - sin 4x/8] の0からπ/4までの増加量
                         = (π/8 - sin π/8) - (0 - sin 0/8)
                         = π/8

sin π = sin 0 = 0です。原始関数の微分は元のsin² 2xで、上端から下端を引いています。式中のsin π/8は、sin πを8で割るという意味です。

指定された区間ではcos xが0にならず、恒等式を使えます。

2 tan² x - 1 = 2(1/cos² x - 1) - 1
               = 2/cos² x - 3
∫ (2 tan² x - 1) dx = 2 tan x - 3x + C

答えの微分は2/cos² x − 3で、元の式に戻ります。cos x = 0をまたぐ区間では元の式が定義されないため、積分定数は定義された区間ごとに考えます。

同じ角の二乗をまとめ、連続な式の原始関数を使います。

sin² x + 3 cos² x = (1 - cos 2x)/2 + 3(1 + cos 2x)/2
                    = 2 + cos 2x
∫[0→π/3] (sin² x + 3 cos² x) dx
= [2x + sin 2x/2] の0からπ/3までの増加量
= (2π/3 + √3/4) - 0
= 2π/3 + √3/4

微分すると2 + cos 2xで、元の和と等しくなります。上端の倍角は2π/3、下端の倍角は0です。積分区間と代入する角を区別して確認します。