高校数学III 部分分数分解と積分—係数比較から対数の絶対値までつなぐ｜武蔵野個別指導塾

異なる一次因子と重複因子に必要な項を並べ、通分で係数を照合し、極を避けた区間で積分します。

よくあるのは、分解後の式を通分しても分子が元に戻らないという場面です。係数を出した直後に積分へ進むと、対数の計算が正しくても答え全体は元の問題に対応しません。分母の因子ごとに必要な項を並べ、分子の恒等式に戻してから積分します。対数の絶対値と、分母が0になる点を除いた区間まで一続きに確かめましょう。

式の形から選ぶ入口

異なる一次因子が積になっているときは、それぞれを分母とする項を用意します。例えば分母が (x-a)(x-b) で a と b が異なれば、A/(x-a) + B/(x-b) の形です。通分後の分子を元の分子と比較すれば A と B を決められます。分母が3因子でも、各因子に1項ずつ対応させる考え方は同じです。

一方、同じ一次因子が繰り返されるときは、最も高い次数の分母だけでなく、それより低い次数の分母も並べます。分母に (x-a)² があれば、A/(x-a) と B/(x-a)² の両方を準備します。係数がたまたま0になる場合はありますが、計算前に項を消す根拠にはなりません。

分解した後は、1/(x-a) の項から対数が、1/(x-a)² の項から逆数が生じます。どちらも分母の零点では定義されません。その点を除いた1つの区間を選び、そこで分解と微分を確かめるのが順序です。学習指導要領の数学IIIには、式の変形による積分方法の考察が含まれています。

分母の因子と分子の恒等式

多項式の比を有理式といいます。ここでは分子の次数が分母より低く、分母が一次因子の積に分かれる式を扱います。部分分数分解とは、もとの分数を、因子のべきなどを分母に持つ分数の和に表すことです。高次の分子をそのままこの形に押し込むのではなく、まず分子と分母の次数を見ます。

図1のように、異なる因子と重複因子では用意する項の数が違います。係数 A、B、C は一時的に置く未知数で、まず分母を払って分子同士の恒等式を作ります。恒等式は、変数にどの値を入れても成立する多項式の等式です。係数を比較する方法に加え、因子を0にする値を代入すると、一部の係数を取り出せます。

元の分数は分母が0になる点では定義されません。それでも分母を払った後の式は多項式の恒等式なので、その点を代入して係数を調べられます。代入しているのは元の分数ではなく、分母を払った等式です。この区別が曖昧だと、定義されない値を分数に直接入れる誤りにつながります。

a を定数とし、x が a ではない区間で考えます。log は自然対数とします。log|x-a| の導関数は 1/(x-a) です。x-a が正の区間では log(x-a) を微分し、負の区間では log(a-x) を微分すると、どちらも同じ逆数が出ます。また、-1/(x-a) の導関数は 1/(x-a)² です。これらの関数は極を含まない各区間で連続なので、その区間で項別に積分できます。

絶対値を付けても極を通過できるわけではありません。例えば a の左右では区間が分かれ、原始関数に加える定数も区間ごとに選べます。答えの微分と元の式の通分という2段階の確認で、分解と積分の両方を検査します。

基本例題：2つの因子から係数を決める

問題：x>1 で、∫ (3x+1)/((x-1)(x+2)) dx を求めてください。答えは対数と積分定数を含む正確な式で表します。

まず x>1 では x-1 と x+2 がともに0ではなく、被積分関数は連続です。分子の次数は1、分母は2次ですから、次の形を置けます。

(3x+1)/((x-1)(x+2)) = A/(x-1) + B/(x+2)
3x+1 = A(x+2) + B(x-1)

2行目は共通の分母を払って得た分子の恒等式です。図2のように、x=1 を入れると B の項が消え、x=-2 を入れると A の項が消えます。x=-2 は与えられた積分区間の外ですが、多項式の恒等式に入れることはできます。

x=1: 4 = 3A
A = 4/3
x=-2: -5 = -3B
B = 5/3

係数を戻して通分します。分母を払った分子が元の 3x+1 に戻るかを見るためです。

(4/3)(x+2) + (5/3)(x-1)
= (4x+8+5x-5)/3
= 3x+1

よって分解は正しく、項別に原始関数を求められます。

∫ (3x+1)/((x-1)(x+2)) dx
= (4/3)∫ 1/(x-1) dx + (5/3)∫ 1/(x+2) dx
= (4/3)log|x-1| + (5/3)log|x+2| + C

C は積分定数です。指定区間ではどちらの絶対値の中も正なので、絶対値を外した式でも表せます。最後の式を微分すると 4/(3(x-1)) + 5/(3(x+2)) となり、上の通分で問題の被積分関数に戻ります。係数を代入だけで決めた場合も、復元によって符号の取り違えを見つけられます。

標準例題：重複する因子を見落とさない

問題：x>1 で、∫ (2x+5)/((x-1)²(x+2)) dx を求めてください。対数と分数、積分定数を使った正確な式で表します。

区間内で分母は0にならず、被積分関数は連続です。(x-1)² に対して1次と2次の両方の分母を置き、残る因子にも項を置きます。

(2x+5)/((x-1)²(x+2))
= A/(x-1) + B/(x-1)² + C/(x+2)
2x+5 = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)²

恒等式に x=1 を入れると、A と C の項が消えます。x=-2 では A と B の項が消えます。

7 = 3B
B = 7/3
1 = 9C
C = 1/9

残った A は x² の係数で決めます。左辺に x² の項はなく、右辺の x² の係数は A+C です。

0 = A+C
A = -1/9

係数を恒等式に戻すと、右辺は -(x-1)(x+2)/9 + 7(x+2)/3 + (x-1)²/9 です。展開すると x² が消え、x の係数が2、定数項が5になり、元の分子に戻ります。極に代入して2つを決めた後も、残る係数の確認が必要です。

1次の分母は対数型、2次の分母はべきの積分です。特に、2次の項の積分で負号が出ることに注意します。

∫ (2x+5)/((x-1)²(x+2)) dx
= -(1/9)log|x-1| - 7/(3(x-1)) + (1/9)log|x+2| + K

K は積分定数です。微分すると、順に -1/(9(x-1))、7/(3(x-1)²)、1/(9(x+2)) となります。これらを通分すれば上で復元した分子 2x+5 が現れ、最初の条件に戻ります。x>1 の各点で微分ができることも、分母が0でないという最初の確認から保証されます。

発展例題：3因子と区間を同時に管理する

問題：-1<x<0 で、∫ 1/(x(x-2)(x+1)) dx を求めてください。対数の絶対値と積分定数を含む正確な式で表します。

分母の零点は -1、0、2 です。指定された開区間の内部に零点はなく、被積分関数は連続です。3つの因子をそれぞれ分母に持つ項を置きます。

1/(x(x-2)(x+1)) = A/x + B/(x-2) + C/(x+1)
1 = A(x-2)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-2)

恒等式に3つの零点を順に入れると、それぞれ1つの項が残ります。

x=0: 1 = -2A
A = -1/2
x=2: 1 = 6B
B = 1/6
x=-1: 1 = 3C
C = 1/3

元の分子への復元も行います。各項を展開して同じ次数を集めます。

-(1/2)(x-2)(x+1) + (1/6)x(x+1) + (1/3)x(x-2)
= (-3x²+3x+6+x²+x+2x²-4x)/6
= 1

したがって、3項をそれぞれ積分します。

∫ 1/(x(x-2)(x+1)) dx
= -(1/2)log|x| + (1/6)log|x-2| + (1/3)log|x+1| + C

この区間では x<0、x-2<0、x+1>0 ですから、対数の中はそれぞれ -x、2-x、x+1 とも書けます。各項を微分すると A/x、B/(x-2)、C/(x+1) に戻り、通分によって被積分関数と一致します。区間の端点は分母が0になるため含めません。もし別の区間で原始関数を考えるなら、その区間について別の積分定数を選べます。

誤答の分子を見て修正する

基本例題の式で、誤って A=4/3、B=-5/3 としたとします。図3のように、通分すると分子は 3x+1 ではありません。代入計算の x=-2 において、-5=-3B の両辺を負の数で割ると B は正になります。負号を1つ残すと、その後の対数の項まで違ってしまいます。

誤った分子 = (4/3)(x+2) - (5/3)(x-1)
= (-x+13)/3
正しい分子 = (4/3)(x+2) + (5/3)(x-1)
= 3x+1

数値を1点代入する検査も役立ちますが、1点だけでは異なる式がたまたま同じ値になることがあります。最後は係数を展開して恒等式を確かめます。重複因子の場合、最高次の項だけを用意した誤答もあります。例えば A/(x-a)² だけでは分子が定数になるため、元の分子に x の項があれば一致しません。1次の分母の項を加えてから係数を比較します。

積分後の失敗として、負の区間でも log(x-a) と書くことがあります。実数の対数では真数が正でなければならないので、符号を調べて log|x-a| と書きます。また、定積分の区間内に極がある場合、両端を原始関数に代入して差を出す方法は使えません。連続性が失われ、通常の定積分の条件を満たさないためです。

手を動かす5問

次の不定積分は、指定区間で対数の絶対値と積分定数を含む正確な式にしてください。5問目は対数を含む正確な値を求めます。どの問題も、分解した式を通分してから積分し、最後に元の条件へ戻してください。

1. x>2 で ∫ (5x-1)/((x-2)(x+1)) dx を求めます。
2. x>-1 で ∫ 1/((x+1)(x+3)) dx を求めます。
3. x>2 で ∫ (3x+4)/(x-2)² dx を求めます。
4. -1<x<2 で ∫ (x+7)/((x+1)²(x-2)) dx を求めます。
5. ∫[0→1] 1/((x+2)(x+4)) dx を求めます。

練習の解答と戻し方

1の解答

分母は指定区間で0になりません。異なる因子について A/(x-2) + B/(x+1) と置き、分母を払います。

5x-1 = A(x+1) + B(x-2)
x=2: 9 = 3A
A = 3
x=-1: -6 = -3B
B = 2

復元すると 3(x+1)+2(x-2)=5x-1 です。1次の逆数を積分し、定数 C を加えます。

∫ (5x-1)/((x-2)(x+1)) dx
= 3log|x-2| + 2log|x+1| + C

微分結果は 3/(x-2)+2/(x+1) で、上の通分により問題の式です。x>2 では各対数の中身が0にならないことも確認できます。

2の解答

分母は x>-1 で0ではありません。係数を A と B にして恒等式を作ります。

1 = A(x+3) + B(x+1)
x=-1: 1 = 2A
A = 1/2
x=-3: 1 = -2B
B = -1/2

復元は (x+3)/2 − (x+1)/2=1 です。係数が異符号になるので、積分後もその符号を保ちます。

∫ 1/((x+1)(x+3)) dx
= (1/2)log|x+1| - (1/2)log|x+3| + C

微分して得られる2つの逆数を通分すると元の被積分関数です。区間内では2つの因子が正なので、絶対値を外した表記も可能です。

3の解答

繰り返し因子に対して、1次と2次の分母を用意します。x>2 では元の式も各項も連続です。

(3x+4)/(x-2)² = A/(x-2) + B/(x-2)²
3x+4 = A(x-2) + B
A = 3
4 = -2A+B
B = 10

x の係数から A を決め、定数項を比較して B を出しました。3(x-2)+10=3x+4 なので分解を復元できます。

∫ (3x+4)/(x-2)² dx
= 3log|x-2| - 10/(x-2) + C

微分すると 3/(x-2)+10/(x-2)² です。特に逆数の項の導関数は正になり、通分後の分子は問題に戻ります。

4の解答

区間 -1<x<2 の内部では分母が0になりません。重複する因子に2項、異なる因子に1項を置きます。

(x+7)/((x+1)²(x-2))
= A/(x+1) + B/(x+1)² + D/(x-2)
x+7 = A(x+1)(x-2) + B(x-2) + D(x+1)²
x=-1: 6 = -3B
B = -2
x=2: 9 = 9D
D = 1
0 = A+D
A = -1

最後の比較は x² の係数です。復元して符号を確認します。

-(x+1)(x-2) - 2(x-2) + (x+1)²
= -x²+x+2-2x+4+x²+2x+1
= x+7

2次の分母を積分するときは、元の係数 -2 と積分による負号が重なります。

∫ (x+7)/((x+1)²(x-2)) dx
= -log|x+1| + 2/(x+1) + log|x-2| + C

微分は -1/(x+1)-2/(x+1)²+1/(x-2) です。通分した分子は上の x+7 に一致します。x-2 は区間内で負ですが、絶対値を付けた対数は実数として定義されます。

5の解答

区間 0≦x≦1 では x+2 と x+4 がともに正です。したがって被積分関数は閉区間で連続であり、原始関数の上端の値から下端の値を引けます。

1/((x+2)(x+4)) = A/(x+2) + B/(x+4)
1 = A(x+4) + B(x+2)
x=-2: 1 = 2A
A = 1/2
x=-4: 1 = -2B
B = -1/2

通分後の分子は (x+4)/2-(x+2)/2=1 です。区間内では因子が正なので、絶対値を外して端点を入れます。

∫[0→1] 1/((x+2)(x+4)) dx
= [(1/2)log(x+2) - (1/2)log(x+4)] の x=0 から x=1 までの増加分
= (1/2)(log 3-log 5-log 2+log 4)
= (1/2)log(6/5)

微分により原始関数が元の被積分関数に戻ります。区間内では被積分関数が正で、6/5>1 だから答えも正です。上端と下端を逆に引いていないことも、符号から確かめられます。

手元に残す要点

• 異なる一次因子には、それぞれ対応する分数を置きます。
• 重複因子には、1次から必要な次数までの分母を並べます。
• 分母を払った恒等式で係数を決め、通分で元の分子へ戻します。
• 極を除いた区間で積分し、対数の絶対値と定数を保ちます。
• 原始関数は微分し、定積分は区間と端点の向きも照合します。

どの行で止まったかを見分ける

分解の項を書き出せない場合は、分母に同じ因子が何回現れるかを囲んで数えます。項は並んでいるのに係数が合わない場合は、分母を払った行に戻り、各項に残る因子を指で追います。係数を求めた後の通分と、積分後の微分では別々の間違いを見つけられます。

個別指導で確かめる箇所は、答えの数値だけではありません。零点の代入先が多項式の恒等式か、重複因子の低い次数の項があるか、指定区間で対数の真数が正かを、その人の途中式で確認します。分解から微分による復元までつながれば、係数と区間を自分で点検できます。