高校数学C 距離比が一定の軌跡—二乗した式から円と直線の分かれ目を調べる｜武蔵野個別指導塾

2点からの比を二乗し、比1の例外と円の中心・半径を逆向きにも検証して、描くのは距離比の軌跡です。

よくあるのは、理系の高校生が2点からの距離の比を円の公式に入れ、比が1のときにも中心と半径を計算しようとする場面です。分母が0になって計算が止まるのは、単なる計算上の不便ではありません。その条件では点の集まりが直線になるからです。距離の二乗を使えば、円と直線を同じ出発点から区別できます。得られた図形上の点が元の比を満たすことまで、順を追って確かめます。

要点（結論から）

• A ≠ B、k > 0 を先に確かめ、PA = k PB を二乗します。
• k = 1 なら、軌跡は AB の垂直二等分線です。
• k ≠ 1 なら平方をまとめ、中心と正の半径を示します。

距離の条件から何を問われるか

固定された2点 A、B と動点 P があり、PA:PB = m:n が与えられる問題を考えます。ここでは A と B は異なり、m と n は正とします。比が正なので、条件を満たす P は A、B のどちらにも一致しません。式にする際は PA = k PB と置き、k = m/n が正であることを控えます。

出方の一つは、比から軌跡の形と位置を決める問いです。k = 1 なら2点から等距離の点を集めます。k が1以外なら、式を整理して中心と半径を求めます。どちらの場合も、図形の名前だけでなく、どこにあるかを答えます。

もう一つは、得られた軌跡と別の直線との共有点を求める問いです。円の式へ直線の条件を代入して座標を出し、それを距離比に戻します。共有点がない場合も、方程式に実数解がない理由を示します。

さらに、比を文字で動かし、指定された直線上に点が何個あるかを調べる問いもあります。途中で文字を含む式で割るなら、その式が0になる値を先に分けます。ここで扱うのは平面上の距離比による円と直線であり、他の曲線の一般論には進みません。

二乗しても元に戻せる条件

原点を O とし、A、B、P の位置ベクトルをそれぞれ a、b、p（いずれもベクトル）とします。距離は PA = |p − a|、PB = |p − b| です。両辺は0以上なので、k > 0 のもとでは、次の二つの条件は同値です。

|p - a| = k |p - b|
|p - a|² = k² |p - b|²

二乗の式から戻る際も、両辺の平方根がそれぞれ距離と k 倍の距離に等しいことを使います。符号を無視して数の方程式を二乗する場合とは違い、長さが負にならないことが根拠です。A と B が異なるため、P = B では左辺が正、右辺が0となり、比の分母が0の点が紛れ込むこともありません。

図1のように、比1では線分 AB の中点 M を通り、AB に垂直な直線が軌跡です。比が1でないときは、二乗の式を整理すると円になります。

まず k = 1 を扱います。中点 M の位置ベクトルを m = (a + b)/2 と置くと、差の平方を展開して次を得ます。

|p - a|² - |p - b|² = 0
2p・(b - a) + |a|² - |b|² = 0
2(p - m)・(b - a) = 0
(p - m)・(b - a) = 0

b − a は A と B が異なるので零ベクトルではありません。したがって、この式は M を通り AB に垂直な直線を表します。P = M の場合も内積は0ですから、中点を除く必要はありません。逆にその直線上の任意の点は最後の式を満たし、式を逆にたどると PA = PB となります。

次に k ≠ 1 とします。距離の二乗を展開し、p の二乗の係数が0でないことを確かめてから平方をまとめます。

|p - a|² = k² |p - b|²
(1 - k²)|p|² - 2p・(a - k²b) + |a|² - k²|b|² = 0
c = (a - k²b)/(1 - k²)
|p - c|² = k²|a - b|²/(1 - k²)²

c は円の中心 C の位置ベクトルです。k > 0 かつ A ≠ B なので半径は正であり、次のように表します。

半径 r = k |a - b| / |1 - k²|

分母の絶対値は半径を正にするために必要です。中心は a と b の係数の和が1なので直線 AB 上にあります。ただし、中心は通常 A や B そのものではありません。円上の点なら平方を戻せるので、円全体が元の条件を満たします。式を変形した向きと、図形から条件へ戻る向きの両方を確認するのが軌跡の答え方です。

基本例題：小さい比の円を描く

A(0, 0)、B(3, 0) とします。PA:PB = 1:2 を満たす点 P の軌跡を、中心の座標と半径を用いて答えてください。座標を用い、半径は整数で表します。

P(x, y) と置きます。距離は0以上であり、比の条件は PA² = PB²/4 と同値です。4倍して成分を代入します。

4PA² = PB²
4(x² + y²) = (x - 3)² + y²
4x² + 4y² = x² - 6x + 9 + y²
3x² + 3y² + 6x - 9 = 0
x² + y² + 2x - 3 = 0
(x + 1)² + y² = 4

よって軌跡は中心 C(-1, 0)、半径2の円です。A と B が異なるため、得られた円上に B はありません。実際に B を最後の式へ入れると左辺は16で、4にはなりません。

図2のように、この円は直線 AB と (-3, 0)、(1, 0) で交わります。点 (-3, 0) では PA = 3、PB = 6、点 (1, 0) では PA = 1、PB = 2 です。どちらも 1:2 となり、図の両端を元の条件で確認できます。

交点2つの確認は図の誤りを見つける助けになりますが、それだけで円の全点を証明したことにはなりません。上の変形は各行が逆にもたどれ、最後の式を満たす点は PA² = PB²/4 を満たします。距離が0以上なので PA = PB/2 に戻り、円全体が軌跡です。

標準例題：直線との共有点を求める

A(-2, 1)、B(2, 1) とします。PA:PB = 3:1 を満たし、さらに直線 x = 2 上にある点 P の座標をすべて求めてください。答えは根号を用いて表します。

まず距離比の軌跡を求め、次に直線との共有点を調べます。この順なら、求めた点が円上にある意味も見失いません。P(x, y) とし、PA² = 9PB² に成分を代入します。

(x + 2)² + (y - 1)² = 9((x - 2)² + (y - 1)²)
x² + 4x + 4 + (y - 1)² = 9x² - 36x + 36 + 9(y - 1)²
8x² - 40x + 32 + 8(y - 1)² = 0
x² - 5x + 4 + (y - 1)² = 0
(x - 5/2)² + (y - 1)² = 9/4

中心は (5/2, 1)、半径は 3/2 です。ここへ x = 2 を代入し、y を求めます。

(2 - 5/2)² + (y - 1)² = 9/4
1/4 + (y - 1)² = 9/4
(y - 1)² = 2
y = 1 + √2 または y = 1 - √2

答えは (2, 1 + √2)、(2, 1 − √2) です。各点で PB² = 2、PA² = 4² + 2 = 18 です。長さはともに正なので PA/PB = √18/√2 = 3 となり、指定の比に戻ります。2点とも x = 2 も満たし、二次方程式の2解以外に候補はありません。

直線と中心の距離は 1/2 で、半径 3/2 より小さいことからも、共有点が2個と確認できます。等しければ1個、大きければ0個です。ただし、最終的な座標は代入して求め、位置関係だけで数値を決めないようにします。

発展例題：比を動かして点の個数を調べる

A(0, 0)、B(4, 0) とし、k を正の実数とします。PA = k PB を満たす点 P が直線 x = 1 上に何個あるか、k の範囲ごとに答えてください。境目の値は分数で表します。

この問いでは、k ごとに円の中心を出してから直線との距離を比べることもできます。しかし k = 1 で円の式が使えなくなるため、初めから P(1, y) と置いて距離の式を調べます。すると k = 1 も含めて同じ式から判定できます。

PA² = 1 + y²
PB² = 9 + y²
1 + y² = k²(9 + y²)
(1 - k²)y² = 9k² - 1

まず k = 1 のとき、最後の式は 0 = 8 となります。解はなく、距離比1の軌跡 x = 2 と直線 x = 1 が平行で交わらないことと一致します。ここで0を分母にしてはいけません。

0 < k < 1 では 1 − k² > 0 です。割った後の y² の符号は 9k² − 1 の符号で決まります。

y² = (9k² - 1)/(1 - k²)

0 < k < 1/3 なら右辺が負なので実数 y はありません。k = 1/3 なら y = 0 の1点です。1/3 < k < 1 なら右辺は正となり、正負の平方根に対応する2点があります。

k > 1 では 1 − k² < 0、9k² − 1 > 0 です。左辺は y² ≥ 0 により0以下、右辺は正なので解はありません。以上をまとめると、0 < k < 1/3 と k ≥ 1 では0個、k = 1/3 では1個、1/3 < k < 1 では2個です。

境目を元の場面へ戻します。k = 1/3 で得た P(1, 0) は PA = 1、PB = 3 なので確かに条件を満たします。2点が得られる場合も、求めた y は実数で、二乗前の両辺は0以上ですから PA = k PB に戻れます。たとえば k = 1/2 では y² = 5/3、PA² = 8/3、PB² = 32/3 となり、距離の比は 1:2 です。式の解が実際に到達できる点であることまで確認しました。

誤答から直線への切り替えを見つける

A(0, 0)、B(2, 0)、PA:PB = 1:1 という条件で、円の中心を求める式へ k = 1 を入れる誤答を考えます。分母 1 − k² は0です。計算を続けて中心を決めることはできません。

図3のように、正しい軌跡は中点 M(1, 0) を通る垂直二等分線 x = 1 です。たとえば P(1, 2) では PA² = 5、PB² = 5 で、両距離は等しくなります。点 A も B もこの直線にはありません。

修正は、分母が0になる前の式に戻ることです。P(x, y) と置けば、次のように二次の項が消えます。

x² + y² = (x - 2)² + y²
x² + y² = x² - 4x + 4 + y²
4x = 4
x = 1

逆に x = 1 なら、どの y でも2つの距離の二乗が等しくなります。したがって直線全体が軌跡です。誤りの原因は公式の代入ミスというより、公式を導くときに k ≠ 1 で割った条件を忘れたことにあります。

もう一つ注意したいのは、円の半径に 1 − k² をそのまま使い、k > 1 で負の長さを書く誤りです。半径は長さなので正です。式の平方根を取るときは分母が |1 − k²| になることを確かめます。比が正でない場合や A = B の場合は、最初の仮定が崩れるため別に条件から考えます。

手を動かす5問

各問では、示された座標は同じ平面内の直交座標です。軌跡の問題では図形の位置を明示し、根号や分数を使って正確に答えてください。

1. A(0, 0)、B(6, 0) とします。PA:PB = 1:1 となる P の軌跡を直線の方程式で求めてください。
2. A(0, 0)、B(8, 0) とします。PA:PB = 1:3 となる P の軌跡の中心と半径を求めてください。
3. A(1, 2)、B(5, 2) とします。PA:PB = 2:1 となる P の軌跡の中心と半径を求めてください。
4. A(-1, 0)、B(1, 0) とします。PA:PB = 1:2 を満たし、直線 x = -1 上にもある点 P の座標を求めてください。
5. A(0, 0)、B(0, 3) とします。PA:PB = 2:1 の軌跡の中心と半径を求め、さらに点 (0, 2) と点 (0, 1) のそれぞれについて、軌跡上にあるか判定してください。

解答と確かめ

1. P(x, y) とすると、距離の二乗の等式から次を得ます。

x² + y² = (x - 6)² + y²
x² = x² - 12x + 36
12x = 36
x = 3

答えは直線 x = 3 です。逆に P(3, y) なら PA² = 9 + y²、PB² = 9 + y² なので、どの点も等距離です。

2. P(x, y) とし、9PA² = PB² を整理します。

9(x² + y²) = (x - 8)² + y²
8x² + 8y² + 16x - 64 = 0
x² + y² + 2x - 8 = 0
(x + 1)² + y² = 9

中心は (-1, 0)、半径は3です。円の x 軸との交点 (2, 0) では距離が2と6で 1:3 です。逆向きにも上の式をたどれるため、交点以外も条件を満たします。

3. PA² = 4PB² を展開します。

(x - 1)² + (y - 2)² = 4((x - 5)² + (y - 2)²)
3x² - 38x + 99 + 3(y - 2)² = 0
x² - (38/3)x + 33 + (y - 2)² = 0
(x - 19/3)² + (y - 2)² = 64/9

中心は (19/3, 2)、半径は 8/3 です。たとえば円上の (11/3, 2) では PA = 8/3、PB = 4/3 で 2:1 となります。円の式は距離の二乗の式と同値なので全周が答えです。

4. P(-1, y) と置きます。PA² = y²、PB² = 4 + y² です。

4PA² = PB²
4y² = 4 + y²
3y² = 4
y² = 4/3
y = 2√3/3 または y = -2√3/3

答えは (-1, 2√3/3)、(-1, -2√3/3) です。各点で PA² = 4/3、PB² = 16/3 なので、距離の比は 1:2 です。両点は x = -1 も満たします。

5. PA² = 4PB² を用います。

x² + y² = 4(x² + (y - 3)²)
3x² + 3y² - 24y + 36 = 0
x² + y² - 8y + 12 = 0
x² + (y - 4)² = 4

中心は (0, 4)、半径は2です。(0, 2) は中心からの距離が2で、PA = 2、PB = 1 ですから軌跡上です。(0, 1) は中心からの距離が3で、PA = 1、PB = 2 ですから軌跡上ではありません。円の位置と元の距離比の両方で判定が一致します。

要点を持ち帰る

• A ≠ B、k > 0 を先に確かめ、PA = k PB を二乗します。
• k = 1 なら、軌跡は AB の垂直二等分線です。
• k ≠ 1 なら平方をまとめ、中心と正の半径を示します。
• 途中で文字式を割る場合は、0になる値を先に分けます。
• 最後に、図形上の点から元の距離比へ戻ることを示します。

どの行で立ち止まったか

比が1で計算が止まったら、式を暗記し直す前に、どの行で 1 − k² を分母に置いたかを探します。その直前に戻して二次の項が消えるか見れば、直線への分岐を説明できます。半径が負になった人は平方根を取る行に戻り、絶対値の有無を点検します。

個別に式を確認する場面では、「この円上の任意の点から、どうやって最初の距離比に戻るか」を声に出してみてください。1点を代入する確認と、全点についての逆向きの説明を分けられれば、軌跡として過不足のない答えに近づきます。距離比の軌跡は、成立条件と逆向きの確認で輪郭が決まります。