高校数学III 断面積から求める体積—切り口の形と厚さを対応させて積分する｜武蔵野個別指導塾

底面の幅を正方形や三角形の面積へ直し、積分区間と厚さを対応させて断面積から体積を導きます。

よくあるのは、理系の高3が演習で、立体の断面の一辺をそのまま積分してしまう場面です。底面に引いた線分の長さは確かに切り口を決める手がかりですが、それ自体は面積ではありません。切り口が正方形なら一辺を二乗し、三角形なら底辺と高さを掛けて半分にします。その後で初めて、切り口に垂直な方向へ積み重ねます。底面の図、断面の図、積分の式を順につなげてみましょう。

どの量を積み重ねるか

体積を求める問題には、底面の領域と各位置での切り口が与えられる型があります。例えば底面が2本の曲線にはさまれ、x軸に垂直な断面が正方形である場合です。底面に現れる縦の線分が正方形の一辺なので、曲線の上下差から一辺を求めます。次に二乗して断面積とし、その面積をxについて積分します。

別の型では、断面が三角形で、その底辺と高さの関係が与えられます。底面の幅を高さと取り違えると、面積の係数が変わります。直角三角形なら直角をはさむ2辺の関係、二等辺三角形なら底辺と垂直な高さの関係を読み取ります。形の名前だけで面積を決めず、どの線分が与えられているかを図に書き込みます。

さらに、底面の幅が一定でないと、断面積も位置ごとに変わります。端の幅と途中の幅を比べ、同じ面積の断面を積み重ねたことになっていないかを確かめましょう。ここでは断面が指定された立体を扱い、図形を回転させてできる立体は扱いません。

幅から面積、面積から体積へ

x = a から x = b までの立体を考え、x軸に垂直な位置xの断面積をA(x)とします。A(x)が閉区間で連続なら、体積Vは次の定積分で表せます。

V = ∫[a→b] A(x) dx

この式で積分するのは長さでなく面積です。厚さが小さい部分を考えると、その体積は断面積と厚さの積に近くなります。厚さを細かくして足し合わせた極限が定積分です。端点で断面積が0になっても連続性が保たれていれば、同じ式を使えます。

底面がxy平面上の領域で、位置xにおける上側がy = u(x)、下側がy = l(x)なら、その切り口に含まれる底面の線分の長さはw(x) = u(x) − l(x)です。ここでは区間全体でu(x) ≧ l(x)を確かめます。2つの式の差が負になる場合は上下の選び方が逆です。長さは負にできません。

図1のように、幅wを一辺とする正方形の面積はw²です。同じ幅を底辺、高さをその半分とする三角形なら面積はw²/4です。どちらも底面の幅は同じですが、切り口の形が違うので積分する関数は違います。図1の2つの切り口は、積み重ねる前に面積を決めることを示しています。

長さの単位を1としたとき、wは長さ、w²は面積、面積に厚さを掛けた量は体積です。この次元の確認は、二乗忘れを見つける手がかりになります。ただし次元が合っていても、三角形の1/2を落とした誤りは残ります。面積公式も別に確かめます。

基本例題：放物線の上に正方形を立てる

底面を、xy平面上のy = 0、y = 4 − x²、x = 0で囲まれる領域とします。各xにおいて、x軸に垂直な断面は、底面に含まれる線分を一辺とする正方形です。立体の体積を分数の厳密値で求めてください。長さの単位は1とします。

まず放物線とx軸の交点は4 − x² = 0よりx = 2、-2です。x = 0を境界とする右側の領域なので、積分範囲は0 ≦ x ≦ 2です。この範囲では4 − x² ≧ 0であり、底面の上端は放物線、下端はx軸です。図2のように、位置xでの幅は4 − x²です。

図2の幅を一辺にした正方形は、位置によって大きさが変わります。x = 0では一辺4、x = 2では一辺0です。断面積はA(x) = (4 − x²)²で、閉区間で連続です。したがって体積は次のように求まります。

V = ∫[0→2] (4 - x²)² dx
  = ∫[0→2] (16 - 8x² + x⁴) dx
  = [16x - 8x³/3 + x⁵/5] の0から2までの差
  = 32 - 64/3 + 32/5
  = 256/15

答えは256/15です。断面積は非負なので体積も非負です。またx = 1の切り口は一辺3、面積9です。式に1を代入するとA(1) = 9となり、底面から読み取った断面に戻ります。端点でもA(0) = 16、A(2) = 0となり、図の幅と一致します。

一辺を直接積分すると∫[0→2] (4 − x²) dx = 16/3となりますが、これは底面領域の面積です。体積と同じ値を表す理由はありません。図に一辺を書いた後、正方形全体を塗る操作を挟むと、積分の対象を切り替えやすくなります。

標準例題：高さの指定を読む

底面を、xy平面上のy = x、y = 3 − xで囲まれ、さらにx ≧ 0を満たす領域とします。各xでx軸に垂直な断面は、底面の線分を底辺とし、高さがその底辺の2倍の三角形です。体積を分数の厳密値で求めてください。

2直線の交点はx = 3/2、y = 3/2です。0 ≦ x ≦ 3/2では3 − x ≧ xなので、底辺の長さは3 − 2xです。高さは2(3 − 2x)ですから、断面積は次の式です。

A(x) = (3 - 2x)・2(3 - 2x)/2
     = (3 - 2x)²

A(x)は閉区間で連続です。よって体積を計算します。

V = ∫[0→3/2] (3 - 2x)² dx
  = ∫[0→3/2] (9 - 12x + 4x²) dx
  = [9x - 6x² + 4x³/3] の0から3/2までの差
  = 27/2 - 27/2 + 9/2
  = 9/2

答えは9/2です。x = 1では底辺1、高さ2なので面積は1です。断面積の式も1を返し、与えられた高さの条件を満たします。x = 3/2では2直線が交わって底辺が0になるため、面積も0です。

別の見方では、幅が3から0まで直線的に変化するので、u = 3 − 2xと置いて積分できます。ただしxが増えるとuが減るため、端点の順序と符号を同時に変えます。今回は展開が短く、置換せずに計算しました。どちらでも先に三角形の面積を作る点は変わりません。

発展例題：曲線にはさまれた幅を使う

底面を、xy平面上のy = x²とy = 2xで囲まれる領域とします。各xでx軸に垂直な断面は、底面の線分を底辺とし、その長さを高さとする三角形です。体積を分数の厳密値で求めてください。

交点はx² = 2x、すなわちx(x − 2) = 0からx = 0、2です。0 ≦ x ≦ 2では2x − x² = x(2 − x) ≧ 0です。したがって上側はy = 2x、下側はy = x²です。幅は2x − x²となり、断面の底辺と高さはいずれもこの長さです。

A(x) = (2x - x²)²/2
     = (4x² - 4x³ + x⁴)/2

断面積は連続なので、0から2まで積分します。

V = (1/2)∫[0→2] (4x² - 4x³ + x⁴) dx
  = (1/2)[4x³/3 - x⁴ + x⁵/5] の0から2までの差
  = (1/2)(32/3 - 16 + 32/5)
  = 8/15

答えは8/15です。x = 1では上下の座標が2と1で、幅は1です。底辺と高さが1の三角形の面積は1/2であり、A(1)も1/2です。両端では2曲線が交わるので幅と断面積は0です。式は端から中央へ広がり、再び細くなる底面に対応しています。

ここでは2曲線の差を先に取る方法が自然です。それぞれを二乗して差を取ると、2曲線から別々の正方形を作った面積の差になり、指定された三角形の底辺と高さを表しません。幅を括弧でひとまとまりにしてから断面積へ変換してください。

間違えた式を断面に戻す

基本例題でV = ∫[0→2] (4 − x²) dxとした答案を考えます。区間と幅は合っていますが、その幅を断面積として扱っています。図3のように、同じ位置でも線分と正方形は別の図形です。x = 1なら幅は3、正方形の面積は9です。両者の違いがそのまま積分の中に現れます。

図3を使って直すなら、まず底面の線分に「一辺3」と記し、その線分を辺とする正方形に「面積9」と記します。一般の位置に戻して、一辺4 − x²を二乗します。最後に断面積が連続であることと、積分区間が底面の左右の端に対応することを確かめます。

別の失敗は、三角形の底辺と高さが同じだから面積も幅の二乗だとすることです。幅が2のとき、底辺2、高さ2の三角形は面積2です。正方形なら面積4なので、図形名による係数の差が見えます。与えられた高さが底辺の何倍かを明記し、面積公式に代入してから整理しましょう。

底面を描かずに上側から下側を引くと、幅が負になることもあります。正方形では二乗によって符号の誤りが見えにくくなりますが、幅の段階では負にならないことが必要です。交点、区間、上下関係を順に調べれば、図と式を照合できます。

練習問題

いずれも底面はxy平面上にあり、各xでx軸に垂直な断面が指定されています。長さの単位は1とし、体積を分数または整数の厳密値で求めてください。

1. 底面はy = 0、y = 5 − x、x = 0で囲まれる領域です。断面は底面の線分を一辺とする正方形です。
2. 底面はy = 1、y = 4、x = 0、x = 2で囲まれる長方形です。断面は底面の線分を底辺とし、高さがその半分の三角形です。
3. 底面はy = 0、y = 9 − x²、x = 0で囲まれる右側の領域です。断面は底面の線分を底辺とし、高さが底辺と等しい三角形です。
4. 底面はy = x、y = 4 − x、x = 0で囲まれる領域です。断面は底面の線分を一辺とする正方形です。
5. 底面はy = x²、y = 3xで囲まれる領域です。断面は底面の線分を底辺とし、高さがその底辺の2倍の三角形です。

答えと解き方

1. 交点はx = 5で、0 ≦ x ≦ 5の幅は5 − xです。断面積は(5 − x)²で連続です。

V = ∫[0→5] (5 - x)² dx
  = [25x - 5x² + x³/3] の0から5までの差
  = 125/3

x = 0の幅5から断面積25、x = 5の幅0から断面積0となり、元の底面に戻ります。

2. 幅はどの位置でも4 − 1 = 3で、高さは3/2です。断面積は3・(3/2)/2 = 9/4です。

V = ∫[0→2] 9/4 dx
  = 9/2

底辺3と高さ3/2を面積公式に戻すと9/4となり、長さ2の区間に一定の断面を重ねた体積と一致します。

3. 交点はx = 3で、右側の幅は9 − x²です。断面積は(9 − x²)²/2で連続です。

V = (1/2)∫[0→3] (81 - 18x² + x⁴) dx
  = (1/2)[81x - 6x³ + x⁵/5] の0から3までの差
  = (1/2)(243 - 162 + 243/5)
  = 324/5

x = 0では底辺も高さも9で面積81/2、x = 3では両方0です。断面積の式はこの両方を満たします。

4. 交点はx = 2で、0 ≦ x ≦ 2の幅は4 − 2xです。断面積は(4 − 2x)²です。

V = ∫[0→2] (4 - 2x)² dx
  = [16x - 8x² + 4x³/3] の0から2までの差
  = 32/3

x = 1では上下の座標が3と1なので一辺2、面積4です。断面積の式に戻しても4になります。

5. 交点はx = 0、3です。この間の幅は3x − x²で、三角形の高さはその2倍です。面積公式の1/2と高さの係数2が消え、断面積は(3x − x²)²です。

V = ∫[0→3] (9x² - 6x³ + x⁴) dx
  = [3x³ - 3x⁴/2 + x⁵/5] の0から3までの差
  = 81 - 243/2 + 243/5
  = 81/10

x = 1では幅2、高さ4なので断面積は4です。式に1を代入しても4であり、両端では曲線が交わって断面積が0になります。

手元に残す4行

底面の交点と切る向きから積分区間を決めます。 各位置の幅を、底面の上端と下端の差として求めます。 断面の形と高さの条件から、幅を断面積へ直します。 断面積の連続性と端点を確かめ、厚さの方向に積分します。

つまずきの位置を探す

答えが合わないときは、積分計算を最初からやり直す前に、途中の1つの断面を選びます。その位置の底面の上下の座標を出し、幅、断面の高さ、断面積を順に求めます。そこで答案のA(x)に同じ値を入れて一致しなければ、誤りは積分より前にあります。一致する場合も、区間の端が交点や指定された直線に対応するかを調べます。

個別指導で確認するなら、図に示した線分が断面のどの辺に当たるかを言葉で説明し、面積公式の係数まで書けるかを見ます。式だけが合っていても、高さの条件を別の長さに変えたときに同じ考えが使えるかを試すと理解の穴が現れます。切り口の形が決まれば、体積の積分に入る量も決まります。