高校数学III 常に成り立つ不等式—関数の値域から文字の範囲と境界を決める｜武蔵野個別指導塾

開区間の端や除外点で値を取らない場合も含め、等号の可否から文字の範囲を読み解きます。

よくあるのは、理系高3の演習で、最小値がないのに最小値を使って文字を決める場面です。例えば正の数全体で動く量が0にいくらでも近づくとき、0は下側の境界ですが、実際に取る値とは限りません。それでも、その量が常に0より大きいことは言えます。等号を含む答えと、元の式で等号が成立する場所は、別々に調べます。ここでは数学IIIの導関数による増減を使い、変数の動く範囲と文字の範囲を結びつけます。

要点（結論から）

• 定数を固定し、変数の範囲全体に対して成立を調べます。
• 値域の境界と、その値を実際に取るかを分けます。
• 厳しい不等号では境界への到達が文字の等号を左右します。

どの量を固定し、どの量を動かすか

問われる型の1つは、実数の定数 a に対して、指定範囲のどの x でも a ≦ f(x) が成り立つ条件です。a は問題ごとに固定し、x は指定範囲を動きます。f(x) の全ての値が a 以上になる位置を探すので、値域の下側に注目します。逆に a ≧ f(x) なら上側に注目します。

もう1つは、a < f(x) のように不等号が厳しい型です。f が下側の境界を実際に取るなら、a を境界にするとその点で等号となり失敗します。境界を取らないなら、a が境界と等しくても各 x では厳しい不等号が成立することがあります。まず文字を片側に分離し、その操作が同値かを記録することが出発点です。

さらに、文字に掛かる係数が x によって符号を変える型があります。正の数で割ると向きは変わりませんが、負の数で割ると向きが逆になります。0になる点では割れないので、元の式へ直接代入します。全域で成立させるには、各部分の条件を同時に満たす必要があります。

境界値と到達の有無

関数 f の値域とは、指定された x が動くときの f(x) の値の集まりです。最小値はその集まりに実際に含まれ、ほかのどの値以下でもある値です。含まれない下側の境界もあります。例えば x > 0 で f(x) = x なら、どの値も正で、0にいくらでも近づきますが、0は値域に入りません。

図1のように、下側の境界 L が同じでも、端の点が含まれるかどうかで厳しい不等式の条件が変わります。a ≦ f(x) を全ての x に求めるなら、どちらも a ≦ L です。一方、a < f(x) では、L を取る場合は a < L、取らない場合は a ≦ L です。上側でも同様に、向きを逆にして考えます。

図1の白い丸は、その値を取らないことを示します。到達しない場合でも a > L は不可です。境界より少し上に a を置くと、L に十分近い関数値が a より小さくなるからです。極限値を最小値と呼ばなくても、条件を決められます。

増減を使う際は、関数が考える区間で連続で、その内部で微分可能かを確認します。導関数が正なら増加、負なら減少です。閉区間では端点も候補に入れ、開区間では端点そのものを代入した値と、内側からの極限を区別します。定義域に穴があるときは、その点をまたいで増減をつながず、左右を別に調べます。

等号の扱いは2段階です。まず、a が求める範囲の端に入るかを判定します。次に、その a と許された x の組で元の不等式に等号が成立するかを調べます。前者が肯定でも後者が否定になることがあります。

解答の順序を決める

条件が必要であることと、十分であることは別の確認です。必要性では、条件が成立すると仮定して文字の制約を導きます。最小値を取る点があれば、その点を代入できます。境界に到達しなければ、境界より内側の値へ近づけるか、範囲外の文字に対して具体的な反例を作ります。十分性では、得られた文字の範囲にある任意の値を固定し、許された任意の x で元の不等式が成立することを示します。

変形の途中で正負が不明な式に掛けたり割ったりすると、同値性が失われることがあります。特に0を含む範囲では、割った式から0の点の情報が消えます。まず0の場合を元の式で調べ、その後の各区間で不等号の向きを決めると、境界での落とし穴を避けられます。

基本例題：近づくが取らない値

実数 a について、全ての x > 0 で a < x + 4 が成り立つための a の範囲を、不等号を使って求めてください。

f(x) = x + 4 と置きます。f は x > 0 で連続かつ微分可能で、

f′(x) = 1
1 > 0

ですから、その範囲で増加します。また、x が正の側から0に近づくと f(x) は4に近づきます。ただし x = 0 は許されず、f(x) = 4 も起こりません。図2のように値域は4より大きい値の集まりです。最小値はありません。

図2の白い点は除外された x = 0 に対応します。a ≦ 4 なら、任意の x > 0 について

a ≦ 4
4 < x + 4
a < x + 4

となり、条件を満たします。反対に a > 4 と仮定すると、x = (a − 4)/2 は正で、元の右辺は

x + 4 = (a - 4)/2 + 4
      = (a + 4)/2
      < a

となるため、指定した不等式に反します。よって答えは a ≦ 4 です。境界 a = 4 を元の式へ戻すと、4 < x + 4 は x > 0 の各点で成立します。等号はどの許された x でも起こりません。

この例で微分は単調性を示しましたが、必要性には反例も使いました。a が範囲外なら、その固定された a に応じて1つでも許された x を示せば、「全ての x」という条件は崩れます。x を決める前に a を固定していることを確認してください。

標準例題：最小値に到達する場合

実数 a について、全ての x > 0 で a ≦ x + 9/x が成り立つための a の範囲を求め、境界の a で等号となる x を答えてください。

f(x) = x + 9/x と置きます。x > 0 で分母は0でなく、f は連続かつ微分可能です。導関数を因数分解すると、

f′(x) = 1 - 9/x²
      = (x² - 9)/x²
      = (x - 3)(x + 3)/x²

となります。x² と x + 3 は正なので、符号は x − 3 で決まります。0 < x < 3 では負、x > 3 では正です。したがって f は3まで減少し、その後増加します。x = 3 は定義域に含まれ、全域の最小値は

f(3) = 3 + 9/3
     = 6

です。a ≦ 6 なら f(x) ≧ 6 ≧ a です。逆に、条件が全ての x > 0 で成立するなら x = 3 を代入して a ≦ 6 が必要です。したがって答えは a ≦ 6 です。

境界 a = 6 では、減少と増加が切り替わる x = 3 で等号です。元の式に戻して 6 = 3 + 9/3 を確認します。3以外では最小値より大きいので、ほかに等号の点はありません。この問題を a < x + 9/x に変えれば、x = 3 での等号を避ける必要があるため答えは a < 6 になります。問題の不等号を最後に再確認する習慣が役立ちます。

発展例題：割る前に符号を分ける

実数 a について、全ての正の x で a(x − 1) ≦ (x − 1) log x が成り立つための a の範囲を求めてください。log は自然対数とします。

まず x = 1 では左右とも0で、どの a でも成立します。ここを x − 1 で割ることはできません。x > 0 で log x は連続かつ微分可能で、導関数 1/x は正です。よって log x は増加し、log 1 = 0 を基準にすると、0 < x < 1 では負、x > 1 では正です。

0 < x < 1 では x − 1 < 0 なので、割ると不等号が逆向きになります。

a ≧ log x

この条件をその区間の全ての x で満たすには、a ≧ 0 が必要十分です。実際、a ≧ 0 なら log x < 0 なので成立します。a < 0 なら、log x は x が1に左から近づくと0に近づくので、a < log x となる区間内の x が存在し、条件は失敗します。

一方 x > 1 では x − 1 > 0 なので、不等号の向きはそのままです。

a ≦ log x

log x は正で、x が1に右から近づくと0に近づきます。したがって、この範囲の全ての x で成立する条件は a ≦ 0 です。両側の条件を同時に満たすのは a = 0 です。

十分性も元の式で確認します。a = 0 のとき左辺は0です。x が1より小さいときは x − 1 と log x がともに負、1より大きいときはともに正なので、右辺は正です。x = 1 では両辺0です。よって正の x の全範囲で成立し、等号は x = 1 です。左右それぞれの端の値0は、割った後のそれぞれの区間内では取られないことにも注意します。

誤答を境界に戻して直す

基本例題で「最小値は4だから、厳しい不等式には a < 4 が必要」とする答案を考えます。結論は a = 4 を落としています。理由は、x = 0 を定義域に入れていないのに、4を実際に取る値と扱ったことです。

図3のように、a = 4 の線と関数値の間には、どの x > 0 に対しても正の差 x があります。差は0に近づきますが、0になる許された x はありません。図3は、近づくことと到達することを区別するための図です。

直すときは「x > 0 なら x + 4 > 4」と各点について書き、a = 4 を元の式に代入します。さらに a > 4 の失敗を示せば、答えの範囲が広すぎないことも証明できます。境界を除外するかどうかを、グラフの印象でなく代入と極限で判定します。

練習問題

いずれも a は実数です。範囲は不等号または等号で正確に答え、等号を問われた場合は許された x も答えてください。

1. 全ての x > 0 で a ≦ x + 7 が成立するための a の範囲を求めてください。
2. 全ての x > 0 で a < x + 16/x が成立するための a の範囲を求めてください。
3. 全ての 0 < x < 2 で a ≧ 3x が成立するための a の範囲を求めてください。
4. 全ての x ≧ 0 で a ≦ x² − 4x + 8 が成立するための a の範囲と、境界で等号となる x を求めてください。
5. 全ての x > 0 で a(x − 2) ≦ (x − 2)(x − 2) が成立するための a の範囲を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1

答えは a ≦ 7 です。x > 0 なら x + 7 > 7 なので a ≦ 7 は十分です。a > 7 なら x = (a − 7)/2 > 0 と置くと、x + 7 = (a + 7)/2 < a です。元の不等式に反します。7は下側の境界ですが、右辺の最小値ではありません。

2

答えは a < 8 です。f(x) = x + 16/x は正の範囲で連続かつ微分可能で、

f′(x) = 1 - 16/x²
      = (x - 4)(x + 4)/x²

です。4の前で減少し後で増加するため、最小値は f(4) = 4 + 16/4 = 8 です。a < 8 は十分で、a ≧ 8 なら x = 4 を元の式に代入すると a < 8 に反します。等号を許さない条件なので8は範囲に入りません。

3

答えは a ≧ 6 です。0 < x < 2 なら 3x < 6 なので十分です。a < 6 の場合、a が正なら x = (a + 6)/6 と置くと 1 未満とは限りませんが、0 < x < 2 かつ 3x = (a + 6)/2 > a です。a ≦ 0 なら x = 1 で 3x > a です。いずれも元の条件に反します。上側の境界6は取られないものの、a = 6 は許されます。

4

答えは a ≦ 4、境界 a = 4 のとき x = 2 で等号です。f(x) = x² − 4x + 8 は x ≧ 0 で連続、内部で微分可能です。

f′(x) = 2x - 4
      = 2(x - 2)
f(2) = 4 - 8 + 8
     = 4

2の前で減少し後で増加するため、4が最小値です。a ≦ 4 なら十分で、必要性は許された x = 2 を代入して得られます。元の右辺も4で、等号を確認できます。

5

答えは a = 0 です。x = 2 では両辺0です。0 < x < 2 では負の x − 2 で割って a ≧ x − 2、x > 2 では正の x − 2 で割って a ≦ x − 2 を得ます。前者を全ての x で満たすには、左から2に近づけて a ≧ 0、後者からは右から2に近づけて a ≦ 0 が必要です。a = 0 なら元の右辺は平方で0以上、左辺は0ですから十分です。等号は x = 2 で成立します。

要点

• 定数を固定し、変数の範囲全体に対して成立を調べます。
• 値域の境界と、その値を実際に取るかを分けます。
• 厳しい不等号では境界への到達が文字の等号を左右します。
• 係数で割る前に正・負・0を分け、条件の共通部分を取ります。
• 範囲の内側と外側を元の式に戻して必要性と十分性を確認します。

つまずきを見分ける問い

個別に答案を確認するときは、まず「その境界値を与える x は定義域に入っていますか」と尋ねます。答えが曖昧なら、端に近い x をいくつか書き、極限と代入できる値を分けます。次に文字の端を元の不等式へ戻し、等号の有無を確かめます。割り算を使った行には、その係数の符号と0の場合を追記します。最後に範囲外の文字で失敗する x を考えると、必要性の不足が見えてきます。境界への到達を判定することが、文字の範囲を決める鍵です。