高校数学III 共通接線—二つの接点の傾きと切片を同時にそろえる｜武蔵野個別指導塾

異なる2つの接点を文字で置き、傾きと切片の条件から指数関数を含む共通接線に迫ります。

よくあるのは、2つの曲線に接する直線を求めるとき、両方の接点の横座標を初めから同じ文字にする場面です。1本の直線を共有していても、触れる場所が同じとは限りません。接点をそれぞれ t、s と置いて接線を作り、直線として一致する条件を調べます。最後には求めた直線を両方の曲線に戻し、接点と傾きが合うか確かめます。

導関数を用いて接線を調べることは、数学IIIで学ぶ内容に含まれます。ここでは関数のグラフに引く共通接線に焦点を当て、接線の本数を一般の点の位置で分類する問題には立ち入りません。

要点（結論から）

• 接点は原則として t、s と別々に置きます。
• 共通接線の条件は傾きと切片の一致です。
• 定義域と実数条件を調べ、候補を元の曲線へ戻します。

どんな問いに現れるか

1つ目は、2つの関数が具体的に与えられ、共通接線の方程式を求める型です。それぞれの接点で接線を立て、2つの式が一致する条件を解きます。横座標の一致は条件に含まれないので、別の文字を使います。

2つ目は、指数関数などを含む型です。微分後の式から接点の間に簡単な関係が見える場合があります。接点が定義域内にあることと、指数関数の値が正であることを確認し、代入で候補を絞ります。

3つ目は、曲線に定数が含まれ、共通接線の存在条件や本数を求める型です。連立条件を解く途中で平方が現れたら、その平方が実数で実現できる条件を調べます。接点の組の数と、求める直線の数が一致するかも最後に確認します。

接点と直線の一致を分ける

関数 f が x = t で微分可能なら、その点におけるグラフの接線は

y = f′(t)(x - t) + f(t)
  = f′(t)x + f(t) - t f′(t)

です。g も x = s で微分可能とします。2本の接線はどちらも傾きが有限の直線なので、同じ直線になるための必要十分条件は、傾きと y 切片がそれぞれ等しいことです。

f′(t) = g′(s)
f(t) - t f′(t) = g(s) - s g′(s)

この2式を連立し、t と s がそれぞれの関数の定義域に入るか確かめます。逆に、定義域内の t、s が2式を満たせば、それぞれで作った接線は同じ式になり、共通接線が存在します。必要条件を解くだけで終えず、逆向きも確認することが全候補の根拠です。

図1のように、同じ直線上の2点は別の点でもかまいません。横座標まで一致する場合もありますが、それは計算の結果として現れる場合です。両方の曲線が同じ点で接するという追加条件がない限り、t = s を前提にしません。

傾きだけが等しいとき、2本の直線は平行または一致です。たとえば y = 2x + 1 と y = 2x − 1 は傾きが同じでも別の直線です。接線を導いた時点では切片を省かず、2つの条件を独立に確認します。また、接点が定義域の端にある場合の扱いは問題の条件によるため、以下では各関数が示した範囲で微分可能な点を使います。

基本例題：2つの放物線

曲線 y = x² と y = (x − 2)² + 4 の共通接線をすべて求め、直線の式を整数を用いて表してください。どちらの関数も実数全体で微分可能です。

前者の接点の横座標を t、後者を s とします。前者の傾きと接線は次のとおりです。

f′(t) = 2t
y = 2t(x - t) + t²
  = 2tx - t²

後者の導関数は 2(x − 2) です。接点を s として展開します。

g′(s) = 2(s - 2)
y = 2(s - 2)(x - s) + (s - 2)² + 4
  = 2(s - 2)x - s² + 8

傾きと切片を比較すると、次の連立方程式になります。

2t = 2(s - 2)
-t² = -s² + 8
t = s - 2
s² - t² = 8
(s - t)(s + t) = 8
2(s + t) = 8
s + t = 4
s = 3
t = 1

したがって答えは y = 2x − 1 です。前者の接点は (1, 1)、後者は (3, 5) で、どちらもこの直線上にあります。両方の導関数の値は 2 ですから、式と傾きの両面で元の条件に戻せます。

図2では2つの接点の高さも異なります。傾きが一致する条件から s − t = 2 が出るので、この例で接点の横座標を同じと置くと矛盾し、実在する接線を失います。上の変形はすべて同値で、候補の組は (t, s) = (1, 3) に限られます。代入で実際に接することも示したため、答えに抜けはありません。

切片の式は接点の y 座標そのものではありません。直線を y = mx + b と書いたとき、接点 (t, f(t)) から b = f(t) − mt と計算した値です。接点が異なれば曲線上の値も異なってよいので、f(t) = g(s) と置く代わりに切片を比較します。

標準例題：指数関数の接点

曲線 y = eˣ と y = eˣ⁻² + 4 の共通接線をすべて求め、自然対数を用いた正確な式で表してください。指数関数は実数全体で微分可能です。

接点の横座標を順に t、s とすると、接線は次の式です。

y = eᵗ(x - t) + eᵗ
  = eᵗx + eᵗ(1 - t)
y = eˢ⁻²(x - s) + eˢ⁻² + 4
  = eˢ⁻²x + eˢ⁻²(1 - s) + 4

傾きの一致から始めます。指数関数は単調増加なので、指数が等しくなります。

eᵗ = eˢ⁻²
t = s - 2
s = t + 2

共通の傾きを eᵗ として切片を比較します。

eᵗ(1 - t) = eᵗ(1 - s) + 4
eᵗ(s - t) = 4
2eᵗ = 4
eᵗ = 2
t = ln 2
s = ln 2 + 2

よって共通接線は y = 2x + 2 − 2 ln 2 です。前者の接点は (ln 2, 2)、後者の接点は (ln 2 + 2, 6) です。直線に横座標を代入すると順に 2、6 になり、両曲線の導関数の値も 2 です。指数関数の一対一の対応から t はこの値に限られ、上の逆代入で実現することも確かめられます。

ここで切片の条件を使わなければ、s = t + 2 を満たす組が無数に残ります。それらは傾きが等しい接線の組ですが、同じ直線になるとは限りません。たとえば t = 0、s = 2 なら傾きはともに 1 でも、切片は前者が 1、後者が 3 です。条件を1つ落としたときに何が残るかを具体的に見ると、切片の役割が明確になります。

発展例題：存在条件と本数

実数 a、b に対し、曲線 y = x² と y = -x² + 2ax + b の共通接線の本数を分類してください。存在するときは直線の式も根号を用いて表します。両関数は実数全体で微分可能です。

それぞれの接点の横座標を t、s とすると、接線は次のとおりです。

y = 2tx - t²
y = (-2s + 2a)x + s² + b

傾きと切片を一致させます。

2t = -2s + 2a
-t² = s² + b
t + s = a
t² + s² = -b

和を固定して平方和を調べると、次のようになります。

t² + s² = ((t + s)² + (t - s)²)/2
-b = (a² + (t - s)²)/2
(t - s)² = -2b - a²

実数の平方は負にならないため、-2b − a² が負なら接点の組はなく、共通接線はありません。0なら t = s = a/2 の1組です。正なら t − s の符号に応じて2組あり、

t = (a ± √(-2b - a²))/2
s = (a ∓ √(-2b - a²))/2

です。共通接線は y = 2tx − t² で表されます。2組の t が異なると傾き 2t も異なるため、正の場合は異なる2本です。0の場合の直線は y = ax − a²/4 です。

逆に、右辺が0以上なら上の t、s は実数で、和と平方和の両条件を満たします。2つの接線の傾きと切片がともに一致するので、各組は実際に共通接線を与えます。たとえば a = 2、b = -2 では t = s = 1、直線 y = 2x − 1 は両曲線の点 (1, 1) を通り、どちらの傾きも 2 です。等号の境界で同じ接点になることと、一般に同じ接点を仮定してよいことは別です。

誤答から条件を修理する

基本例題で「共通接線だから両方の接点を x = u とする」と考えると、傾きの一致は 2u = 2(u − 2) となり、0 = -4 という矛盾が出ます。ここから「共通接線はない」と結論するのが誤答です。矛盾が否定するのは、同じ横座標に接点があるという追加条件です。

図3のように、接点の変数を t、s に戻してから、傾きと切片を比較します。実際に求めた接点は (1, 1) と (3, 5) で、どちらも y = 2x − 1 上にあります。等しいものは直線の傾きと切片であり、接点の座標ではありません。

もう1つの誤りは、傾きの一致だけを解いて接線とすることです。基本例題で t = 0、s = 2 とすると傾きはいずれも 0 ですが、前者の接線は y = 0、後者は y = 4 です。互いに平行な別の直線なので共通接線ではありません。切片まで比較し、最後に得た1本が両方の接点を通ることを調べれば、この失敗を除けます。

練習問題

次の5問では、共通接線をすべて求めてください。係数は近似せず、整数・分数・自然対数に加え、定数cと必要な根号を使った正確な式で表してください。実数の定数がある場合は、存在しない場合も含めて分類します。

1. y = x² と y = (x − 4)² + 8。
2. y = x² + 3 と y = (x − 2)² − 1。
3. y = eˣ と y = eˣ⁻¹ + 3。
4. y = x² と y = -x² + 2x − 1。
5. 実数 c に対し、y = x² と y = -x² + c。

解答と確かめ方

1

接点を t、s とすると、接線は y = 2tx − t² と y = 2(s − 4)x − s² + 24 です。両関数は実数全体で微分可能です。

t = s - 4
s² - t² = 24
4(s + t) = 24
s + t = 6
t = 1
s = 5

答えは y = 2x − 1 です。接点 (1, 1)、(5, 9) はどちらも直線上にあり、導関数の値はともに 2 です。連立方程式はこの組に限られるため、他の直線はありません。

2

接線は y = 2tx + 3 − t² と y = 2(s − 2)x + 3 − s² です。両方とも実数全体で微分可能です。

t = s - 2
3 - t² = 3 - s²
s² = t²
(s - t)(s + t) = 0
s + t = 0
t = -1
s = 1

答えは y = -2x + 2 です。接点は (-1, 4)、(1, 0) で、どちらも直線上にあります。傾きはどちらの曲線でも -2 です。s − t = 2 なので、積が0になる条件から s + t = 0 と結論できます。

3

両方の指数関数は実数全体で微分可能です。接線の傾きの一致から eᵗ = eˢ⁻¹、すなわち s = t + 1 です。切片を一致させます。

eᵗ(1 - t) = eˢ⁻¹(1 - s) + 3
eᵗ(s - t) = 3
eᵗ = 3
t = ln 3
s = ln 3 + 1

答えは y = 3x + 3 − 3 ln 3 です。接点は (ln 3, 3)、(ln 3 + 1, 6) で、直線への代入値はそれぞれ 3、6 です。両方の傾きも 3 となり、求めた組が実現します。

4

2つの関数は実数全体で微分可能です。接線の傾きと切片を一致させます。

t + s = 1
t² + s² = 1
(t + s)² - 2ts = 1
ts = 0
(t, s) = (0, 1), (1, 0)

答えは y = 0 と y = 2x − 1 です。前者は (0, 0) と (1, 0) で接し、傾きはともに 0 です。後者は (1, 1) と (0, -1) で接し、傾きはともに 2 です。各点がそれぞれの曲線と対応する直線に乗るので、2本とも元の条件を満たします。

5

両曲線は実数全体で微分可能です。接線を比較すると次の条件を得ます。

2t = -2s
-t² = s² + c
s = -t
2t² = -c

c > 0 なら実数 t はなく、共通接線もありません。c = 0 なら t = 0 で y = 0 が1本です。c < 0 なら t = ±√(-c/2) から、次の2本です。

y = 2√(-c/2)x + c/2
y = -2√(-c/2)x + c/2

c < 0 のとき、接点はそれぞれ前者で (t, -c/2)、後者で (-t, c/2) です。直線 y = 2tx + c/2 に横座標 t、-t を代入すると順に -c/2、c/2 となります。導関数もどちらの接点で 2t なので、2本とも条件を満たします。2つの傾きは異なり、重複しません。

要点

• 接点は原則として t、s と別々に置きます。
• 共通接線の条件は傾きと切片の一致です。
• 定義域と実数条件を調べ、候補を元の曲線へ戻します。
• 接点の組を数えた後、直線の重複を確かめます。

つまずきの見分け方

最初の式に同じ接点の文字が2回出ていたら、その一致を問題が要求しているか問い直します。次に傾きの式しか書けていなければ、各接線の切片を接点から計算します。候補が出た後に止まった場合は、個別に接点の座標、直線への代入、導関数の値を順に照合すると、計算違いと条件不足を区別できます。2つの接点を別々に追うことで、共通の1本が見えてきます。