高校数学III 平行な接線—傾きの条件から接点を探して直線の一致を調べる｜武蔵野個別指導塾

指数曲線と三角関数で指定の傾きになる接点を探し、切片の違いと区間の両端から平行な接線を選びます。

よくあるのは、理系高3の演習で、2本の接線の傾きが一致すれば切片も同じだと考える場面です。傾きは直線の向きを決めますが、直線の位置はそれだけでは決まりません。接点を求めてからそれぞれの直線を作り、切片まで比べると、異なる平行線と同じ直線を区別できます。

学習指導要領の数学IIIでは導関数を用いた接線を扱います。ここでは指定直線と平行な接線に焦点を当て、2曲線の共通接線は扱いません。

要点（結論から）

• 平行の条件は接点での微分係数が指定直線の傾きと等しいことです。
• 候補を定義域と指定区間で選び、接点を通る式を作ります。
• 接点が複数あるときは切片を比べ、同じ直線を重複して数えません。

どの条件から始めるか

問われ方の1つは、曲線と傾きが与えられ、平行な接線の式を求める型です。例えば直線が y = mx + b と書けるなら、平行な接線の傾きは m です。b を接線の切片として使うのではなく、曲線上の接点を通る条件から新しく求めます。

もう1つは、接点の範囲が指定される型です。三角関数では同じ傾きが周期的に現れるため、まず方程式の解を求め、次に範囲に入る値を拾います。端点を含むかどうかで候補数が変わります。区間を制限した曲線の端点においても、もとの関数がその点の近くで微分可能なら、その微分係数を傾きとする直線を接線として扱います。

さらに、接点が複数あるときに異なる接線の本数を問う型があります。接点の数と直線の本数は別です。各接点で得た直線の傾きと切片を比べ、同じ式が重なった場合には1本と数えます。

傾きと切片の役割

関数 y = f(x) が x = t で微分可能であるとき、点 (t, f(t)) における接線は次の式です。

y - f(t) = f′(t)(x - t)

これは接点を通り、傾きが微分係数 f′(t) である直線です。指定直線 y = mx + b と平行になる条件は f′(t) = m です。接点の候補 t は、関数の定義域と問題の範囲の両方を満たさなければなりません。接点では微分可能であることも確かめます。

図1のように、傾きが同じでも切片が異なれば直線は別です。逆に傾きと切片がともに一致すれば、式は同じ直線を表します。この説明では一致する直線も傾きの条件を満たす候補として扱い、指定直線と異なる平行線を求めるという条件があれば、最後に指定直線そのものを除きます。

候補を順に扱うときは、接点 t、関数値 f(t)、傾き m、切片 f(t) − mt を並べると混乱しにくくなります。微分方程式 f′(t) = m を解いた時点では接線の式は完成していません。接点と傾きを元の式に戻して、初めて位置が定まります。

指定直線が鉛直なら y = mx + b の形にはなりません。ここで扱う、有限の微分係数を持つ関数の接線は鉛直ではないので、そのような直線と平行な接線はありません。水平な直線は傾き 0 として同じ手順で扱えます。

傾きの方程式には解がないこともあります。例えば f(x) = eˣ の導関数は常に正なので、傾き -2 を持つ接線は存在しません。式 eᵗ = -2 を無理に解くのではなく、指数関数の正値性を理由として書きます。逆に傾きが正なら、その正の値に対応する接点が指数関数の単調性によって定まります。

区間の端点を調べる際は、まず元の関数が端点を含む近傍で微分可能かを確認します。その上で端点が指定範囲に含まれるなら、端点の微分係数も傾きと比べます。開いた端点では、値が傾きの条件を満たしていても指定された部分の接点ではありません。端点の採否は、方程式を解く前に不等号を書き写しておくと点検できます。

同一直線の判定は、傾きが等しい場合には切片の比較に帰着します。切片の式が根号や π を含む場合も、見た目だけで決めず差を計算し、0 かどうかを判定します。接点の個数を答える問いと直線の本数を答える問いでは、最後に数える対象が異なります。

基本例題：指数曲線の接点を探す

曲線 y = eˣ + x に接し、直線 y = 3x − 4 と平行な直線の式を、e を用いて正確に求めてください。

関数 f(x) = eˣ + x は実数全体で微分可能です。指定直線の傾きは 3 なので、接点の横座標を t と置きます。

f′(x) = eˣ + 1
f′(t) = 3
eᵗ + 1 = 3
eᵗ = 2
t = log 2

ここで log は自然対数です。指数関数は実数全体で狭義に増加するため、この傾きを与える t は他にありません。接点の縦座標を計算します。

f(log 2) = eの(log 2)乗 + log 2
= 2 + log 2

接線の式は次のようになります。

y - (2 + log 2) = 3(x - log 2)
y = 3x + 2 - 2 log 2

図2のように、接線は接点を通り、指定された傾きになります。実際に x = log 2 を代入すると y = 2 + log 2 です。また微分係数も eの(log 2)乗 + 1 = 3 です。したがって接点と傾きの両方が元の条件に戻ります。

指定直線の切片 -4 は傾きを読むための式の一部であり、求める接線の切片ではありません。切片を -4 のままにすると接点を通る保証が失われます。候補が出なかった場合には、元の導関数の値域に指定の傾きが入るか確かめると、計算違いと解なしを分けられます。

標準例題：区間内の周期を数える

曲線 y = sin x の 0 ≦ x ≦ 3π の部分について、直線 y = x/2 + 2 と平行な接線を求めてください。接点の横座標と直線の式を π と根号で正確に答えます。

sin x は実数全体で微分可能で、その導関数は cos x です。傾き 1/2 を与える接点を t とすると、

cos t = 1/2
t = π/3, 5π/3, 7π/3

この3つが指定区間に入ります。次の 11π/3 は 3π を超えるため採りません。端点 0 と 3π の余弦はそれぞれ 1 と -1 で、今回の傾きには一致しません。

各接点での関数値と式を求めます。

sin(π/3) = √3/2
y - √3/2 = (x - π/3)/2
y = x/2 + √3/2 - π/6

sin(5π/3) = -√3/2
y + √3/2 = (x - 5π/3)/2
y = x/2 - √3/2 - 5π/6

sin(7π/3) = √3/2
y - √3/2 = (x - 7π/3)/2
y = x/2 + √3/2 - 7π/6

3本とも傾きは 1/2 です。第1と第3の切片の差は π であり、第2と第1の切片の差は -√3 − 2π/3 ですから、3本は異なります。各式に対応する t を代入すれば、それぞれの sin t に戻ります。したがって接点の候補が3個で、異なる接線も3本です。

周期を利用するときは、同じ関数値が戻っても接線が同じとは限りません。傾きが 0 でなければ、接点が横方向に1周期移ることで切片も変わります。反対に、水平接線では同じ高さに戻る接点が同じ直線を与えることがあります。

発展例題：接点の数と直線の本数

曲線 y = 2 sin x の 0 ≦ x ≦ 5π の部分に接し、x軸と平行な直線を求めてください。接点の横座標を π を用いて列挙し、異なる直線の式と本数を答えます。

関数は実数全体で微分可能です。x軸の傾きは 0 なので、接点 t は次を満たします。

f′(x) = 2 cos x
2 cos t = 0
t = π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/2, 9π/2

次の 11π/2 は区間外です。また端点 0 と 5π では導関数がそれぞれ 2 と -2 なので候補ではありません。各点の縦座標を並べます。

f(π/2) = 2
f(3π/2) = -2
f(5π/2) = 2
f(7π/2) = -2
f(9π/2) = 2

水平な接線はそれぞれの点の高さにあります。よって接点は5個ですが、異なる直線は y = 2 と y = -2 の2本です。5個の t を元の関数と導関数へ戻すと、高さが上の一覧に一致し、傾きはどれも 0 です。逆に cos t = 0 の区間内の解は一覧に尽くされるため、他の接線はありません。

接点の数だけで終えると同じ直線を繰り返し数えます。一方、最初から高さだけを見て接点を省くと、区間外の山を誤って採ることがあります。接点の一覧を先に作り、直線を後で重複整理する順番が有効です。

誤答から切片を直す

曲線 y = x² 上で傾き 2 の接線を求めるとき、「傾きが 2 だから y = 2x」とするのは誤りです。x² は実数全体で微分可能なので、接点の横座標を t として条件を立てます。

2t = 2
t = 1
f(1) = 1
y - 1 = 2(x - 1)
y = 2x - 1

図3のように、誤答の直線は傾きこそ同じですが、接点 (1, 1) を通りません。x = 1 を誤答へ代入すると y = 2 になり、曲線の値 1 と異なります。正しい直線に代入すると y = 1 です。傾きの検査と通過点の検査を分けることが修正の要です。

別の失敗は、導関数の方程式を解いた後に、問題で指定された区間を見落とすことです。例えば周期のある式で一般解を書いたまま本数を答えると、区間外の接点を数えます。端点が含まれるかを不等号で確認し、採用した t を元の関数に戻してから直線を作ります。傾きの方程式に解がない場合は、存在しない接点を代入しようとせず、導関数の取り得る値を根拠に解なしと結論します。

練習問題

各問で接点の横座標と、条件を満たす異なる接線の式を正確に求めてください。対数は自然対数とし、三角関数の角は弧度法です。

1. 曲線 y = x² + 3x と直線 y = 7x + 1 について、平行な接線を求めます。
2. 曲線 y = log x と直線 y = x/3 − 2 について、平行な接線を求めます。
3. 曲線 y = eˣ − 2x と直線 y = -x + 5 について、平行な接線を求めます。
4. 曲線 y = cos x の 0 ≦ x ≦ 2π の部分について、直線 y = -x + 3 と平行な接線を求めます。
5. 曲線 y = 3 cos x の 0 ≦ x ≦ 4π の部分について、x軸と平行な接線を求め、接点と異なる直線の本数を答えます。

練習問題の答えと道筋

1

多項式は全実数で微分可能です。接点 t での傾きを 7 と等しくします。

2t + 3 = 7
t = 2
f(2) = 4 + 6 = 10
y - 10 = 7(x - 2)
y = 7x - 4

x = 2 で直線の値は 10、導関数の値は 7 です。ともに問題の曲線と指定された傾きに戻ります。

2

log x の定義域は x > 0 で、その範囲で微分可能です。接点 t も正として計算します。

1/t = 1/3
t = 3
f(3) = log 3
y - log 3 = (x - 3)/3
y = x/3 + log 3 - 1

t = 3 は定義域に入ります。直線に x = 3 を代入すると log 3 で、導関数も 1/3 なので条件を満たします。

3

指数関数と一次式の和は全実数で微分可能です。傾きを -1 とします。

eᵗ - 2 = -1
eᵗ = 1
t = 0
f(0) = 1
y - 1 = -(x - 0)
y = -x + 1

指数関数の単調性から接点は他にありません。x = 0 で曲線と直線の値はともに 1、傾きは -1 です。

4

cos x は実数全体で微分可能です。接点は指定範囲から選びます。

-sin t = -1
sin t = 1
t = π/2
f(π/2) = 0
y = -(x - π/2)
y = -x + π/2

区間の端点では sin t = 0 なので候補ではありません。接点を代入すると直線の値は 0、曲線の傾きは -1 となります。

5

3 cos x は実数全体で微分可能です。水平な接線の接点は次の通りです。

-3 sin t = 0
t = 0, π, 2π, 3π, 4π
f(t) = 3, -3, 3, -3, 3

両端を含むので接点は5個です。接線は y = 3 と y = -3 の2本です。各 t で導関数は 0 となり、表示した高さは元の曲線の値と一致します。同じ高さの接点は同一の水平線を与えます。

要点

• 平行の条件は接点での微分係数が指定直線の傾きと等しいことです。
• 候補を定義域と指定区間で選び、接点を通る式を作ります。
• 接点が複数あるときは切片を比べ、同じ直線を重複して数えません。

どこで止まったかを見分ける

傾きの方程式が立たないときは、指定直線を y = mx + b の形にして m を指で追います。候補は出るのに式が合わないときは、f(t) と t のどちらを接線のどこに代入したかを見直します。個別指導で確かめるなら、まず1点について接点の座標、微分係数、直線への代入を順に口頭で説明してもらうと、ずれた行が見つかります。

本数が合わない場合は、区間端と周期の候補を一覧にし、その後で切片を照合します。傾きと位置の両方を最後まで追えば、平行な接線の数は接点の数から正しく判定できます。