高校数学III 接線の本数—接点の方程式の増減から与点の位置で場合分けする｜武蔵野個別指導塾

指数・対数曲線の接点を文字で置き、極値と端の振る舞いから判定するのは接線の本数です。

よくあるのは、理系高3の演習で接点方程式の重解を二本の接線と数える場面です。接点を求める式が境界で重なったとき、計算の途中に2つの解の枝が見えていても、実際の接点は1つです。逆に、接点が2つあっても同じ直線にならないかを確かめなければ、直線の本数はまだ決まりません。与点を動かしながら、接点の候補を数え、最後に直線へ戻す手順をたどります。

数学IIIの学習範囲には、導関数を用いた接線と関数の増減が含まれます。ここでは指数・対数曲線に対象を絞り、接点を求める方程式の解の個数から接線の本数を判定します。

どこで場合分けが生まれるか

1つ目は、与点の縦座標を動かす型です。横座標を固定すると、接点の文字についての関数と水平線との交点の個数に置き換えられます。水平線が極値を通る境界では交点が重なり、等号を別に扱います。

2つ目は、与点の横座標も文字を含む型です。接点を表す関数の増減が、その横座標の位置によって変わります。先に増減を決める文字の範囲を分け、その後で縦座標と極値を比較すると、場合の抜けを防げます。

3つ目は、定義域の端で水平線に近づく型です。極限値はグラフが近づく高さであって、実際に達する高さとは限りません。極値の高さと端の極限値が異なる役割を持つため、両方を表に置きます。

接点の文字から本数へ

曲線 y = f(x) が接点の近くで微分可能で、接点の横座標を t とします。接線は次の式です。

y = f′(t)(x - t) + f(t)

与点を P(a, b) とすると、接線が P を通る条件は b = f′(t)(a − t) + f(t) です。右辺を H(t) と置けば、接点の条件は H(t) = b です。t は曲線の定義域内で動きます。指数関数なら全実数、自然対数なら正の実数です。定義域の外の解は接点になりません。

図1のように、横軸に t、縦軸に H(t) を取ると、水平線との交点の横座標が接点候補です。H が連続で各区間で厳密に単調なら、その区間に水平線との交点は高々1つです。区間の両端の値の間に b があれば、連続性により交点が存在します。無限遠の極限値は端点そのものではないので、等しい場合は別に調べます。

図1では山の高さより下の水平線は左右で交わり、山に接する水平線は頂点で1回交わります。この図は考え方の模式図です。実際の問題では両端の高さも確認し、山より下なら常に2個と決めないでください。

解の個数が直線の本数と一致することも必要です。y = eˣ の接線の傾きは eᵗ、y = log x の接線の傾きは 1/t です。前者は全実数、後者は t > 0 で、いずれも異なる t に異なる傾きを与えます。したがってそれぞれについて、異なる接点は異なる接線を与えます。この確認を他の曲線にそのまま流用することはできません。

基本例題：与点の高さを動かす

曲線 y = eˣ と点 P(0, b) を考えます。実数 b の値によって、P を通る曲線の接線の本数を求めてください。本数は整数で答えます。

接点を (t, eᵗ) とします。指数関数は全実数で微分可能で、そこでの傾きは eᵗ です。接線と通過条件を順に書きます。

y = eᵗ(x - t) + eᵗ
b = eᵗ(0 - t) + eᵗ
b = (1 - t)eᵗ

H(t) = (1 − t)eᵗ と置くと、全実数で連続かつ微分可能です。

H′(t) = -eᵗ + (1 - t)eᵗ
       = -teᵗ

eᵗ > 0 なので、H は t < 0 で増加し、t > 0 で減少します。H(0) = 1 です。また t → -∞ で H(t) → 0、t → +∞ で H(t) → -∞ です。左端の極限 0 は左側では達しません。一方、右側では H(1) = 0 です。図2のように、左側の値域は 0 < H(t) < 1、右側は H(t) < 1 です。

図2の山の頂点は t = 0、H = 1 です。連続性と各区間の単調性から、b と交点の個数は次のようになります。

b > 1       : 0本
b = 1       : 1本
0 < b < 1   : 2本
b ≤ 0       : 1本

b = 0 は左端の極限に等しいものの、有限の左側の t では達しません。右側の t = 1 では達するので1本です。b = 1 では t = 0 が唯一の接点で、接線 y = x + 1 は確かに P(0, 1) を通ります。異なる t なら傾き eᵗ も異なるため、2つの接点は2本の直線に対応します。b > 1 で本数が0になることも、最大値 1 を超えられないことから確定します。

標準例題：対数の定義域を残す

曲線 y = log x と点 Q(2, b) について、Q を通る接線の本数を実数 b によって分類してください。log は自然対数とし、本数は整数で答えます。

接点の横座標は t > 0 です。対数関数はこの範囲で連続かつ微分可能で、接線と Q の通過条件は次のとおりです。

y = (x - t)/t + log t
b = (2 - t)/t + log t
b = 2/t - 1 + log t

G(t) = 2/t − 1 + log t と置きます。

G′(t) = -2/t² + 1/t
       = (t - 2)/t²

分母は正なので、G は 0 < t < 2 で減少、t > 2 で増加します。最小値は G(2) = log 2 です。さらに t → 0 の正の側で G(t) → +∞、t → +∞ でも G(t) → +∞ です。前者では 1/t が |log t| より速く大きくなり、後者では 2/t → 0 で log t → +∞ となります。

各区間の連続性と単調性から、b < log 2 なら0本、b = log 2 なら1本、b > log 2 なら2本です。等号では t = 2 で、接線は y = (x − 2)/2 + log 2 です。x = 2 を代入すると y = log 2 に戻り、接点でも傾きは 1/2 です。2つの異なる正の t は異なる逆数を持つので、2候補が同一直線に重なることもありません。

ここで t = 0 を候補に加える誤りには注意が必要です。0 は曲線の定義域外で、G の値も定義されません。端で発散する様子は本数を調べる材料ですが、端を接点にする理由にはなりません。

発展例題：横座標も動く

曲線 y = eˣ と点 R(a, 2) を考えます。実数 a の範囲によって、R を通る接線の本数を整数で答えてください。

接点を (t, eᵗ) とすると、微分可能性と接線の通過条件から次の式を得ます。

y = eᵗ(x - t) + eᵗ
2 = eᵗ(a - t) + eᵗ
2 = (a + 1 - t)eᵗ

K(t) = (a + 1 − t)eᵗ と置きます。a は固定してから t について増減を調べます。

K′(t) = -eᵗ + (a + 1 - t)eᵗ
       = (a - t)eᵗ
K(a) = eᵃ

K は t < a で増加、t > a で減少します。また t → -∞ で K(t) → 0、t → +∞ で K(t) → -∞ です。求める高さ 2 は左端の極限 0 より大きいので、最大値 eᵃ と比較すれば十分です。

eᵃ < 2 : 0本
eᵃ = 2 : 1本
eᵃ > 2 : 2本

指数関数は厳密に増加するので、答えは a < log 2 で0本、a = log 2 で1本、a > log 2 で2本です。境界では t = a = log 2 で、接線は y = 2(x − log 2) + 2 です。x = log 2 を代入すると与点の高さ 2 に戻ります。異なる接点なら傾きも異なり、右辺の2つの解は2本の接線に対応します。

この例では a を動かすたびに山の位置も高さも変わります。先に a = 0 の図を描いて一般の場合へ広げると、境界の位置を見落とします。K′ の符号から各 a に共通する増減を示し、最後に eᵃ と 2 を比べると、境界を含めて整理できます。

誤答を直す：重なった接点は何個か

基本例題で b = 1 のとき、「山の左から1個、右から1個で合計2本」とする解答を考えます。図3のように、左の増加部分と右の減少部分の境は同じ t = 0 です。閉じた区間を両側で数えると、境の点を二重に数えてしまいます。

図3の頂点で H(0) = 1、H′(0) = 0 です。左右の開いた区間では H(t) < 1 なので、方程式 H(t) = 1 の解は t = 0 の1個です。対応する接線も y = x + 1 の1本です。修正するときは、左右の区間を開区間に分け、境界点の値を別に数えます。

もう1つの誤りは、端の極限に水平線が一致したときに、その端を解として数えることです。基本例題の b = 0 では t → -∞ で H(t) は 0 に近づきますが、有限の t < 0 では H(t) > 0 です。実際に等しくなるかを式に戻すと t = 1 と決まり、接線は y = e x です。与点 (0, 0) を通り、接点 (1, e) でも値と傾きが一致します。近づくことと到達することを分けると、存在しない接点を足さずに済みます。

練習問題

以下の log は自然対数です。いずれも接線の本数を整数で答え、文字を含む場合は境界も含めて分類してください。

1. 曲線 y = eˣ に、点 (0, 2) から引ける接線の本数を求めてください。
2. 曲線 y = eˣ に、点 (0, 1/2) から引ける接線の本数を求めてください。
3. 曲線 y = log x に、点 (3, log 3) から引ける接線の本数を求めてください。
4. 曲線 y = log x に、点 (1, c) から引ける接線の本数を実数 c で分類してください。
5. 曲線 y = eˣ に、点 (a, 3) から引ける接線の本数を実数 a で分類してください。

練習問題の答えと解き方

1. 接点を t とすると、通過条件は 2 = (1 − t)eᵗ です。右辺は t = 0 で最大値 1 を取るため、2 には達しません。答えは0本です。全実数で微分可能であり、接点の候補自体がないので、与点を通る接線もありません。

2. 通過条件は 1/2 = (1 − t)eᵗ です。右辺は t < 0 で 0 から 1 へ増加し、t > 0 で 1 から負の方向へ減少します。1/2 は両側の値域に入るので接点は2個です。傾き eᵗ は接点ごとに異なり、答えは2本です。それぞれの接線に x = 0 を代入した値は、通過条件により 1/2 です。

3. t > 0 と置くと、通過条件は log 3 = 3/t − 1 + log t です。右辺の導関数は (t − 3)/t² で、t = 3 で最小値 log 3 を取ります。両端では +∞ に発散するので解は t = 3 の1個です。接線 y = (x − 3)/3 + log 3 は与点を通り、答えは1本です。

4. t > 0 と置くと c = 1/t − 1 + log t です。右辺の導関数は (t − 1)/t² なので、t = 1 で最小値 0 を取ります。両端では +∞ に発散します。したがって c < 0 で0本、c = 0 で1本、c > 0 で2本です。境界の接線 y = x − 1 は (1, 0) を通ります。異なる t は異なる傾き 1/t を与えます。

5. 接点の条件は 3 = (a + 1 − t)eᵗ です。右辺の導関数は (a − t)eᵗ、最大値は t = a で eᵃ です。左端の極限は 0、右端の極限は -∞ なので、3 と最大値を比べます。a < log 3 で0本、a = log 3 で1本、a > log 3 で2本です。境界の接線 y = 3(x − log 3) + 3 は与点を通り、接点の傾きも 3 です。

要点

接点 t の範囲を定め、通過条件を H(t) = b に直します。
連続性、増減、端の極限を調べて解の個数を数えます。
極値に等しい境界と、到達しない極限値を分けます。
異なる接点が異なる直線を与えることを最後に確かめます。

つまずきを見分ける問い

本数が合わないときは、まず接線の式に与点を代入した行を指で追い、接点の座標と与点の座標を取り違えていないか確かめます。次に増減の境を両側で数えていないか、定義域の端を接点にしていないかを問い直します。個別に考え方を確かめるなら、「この水平線は有限の t で曲線に届くか」「2つの t の傾きは異なるか」と尋ねると、式の解と直線の本数を結ぶ部分が見えます。接点の候補を直線に戻す一手が、接線の本数を決めます。

接線の式を使う前に、曲線の定義域を確認する習慣も役立ちます。たとえば対数の問題で得た式を変形すると、分母を払う操作によって t = 0 を形式的な候補に含めることがあります。元の接線の式には 1/t と log t があるので、その候補は代入する前に除外します。指数の問題でも、eᵗ が正であることを使う箇所を明記すれば、符号を逆に読む誤りを防げます。

また、本数が0という結論にも根拠が必要です。いくつかの t を代入して与点を通らなかっただけでは、別の接点が存在する可能性が残ります。最大値や最小値と水平線の高さを比較し、定義域全体で交点がないことを示します。反対に本数が2のときは、左右それぞれの区間で連続性による存在と単調性による一意性を確認します。これにより、図の見た目だけに頼らず数え切れます。