高校数学III 曲線外の点からの接線—接点を文字で置いて通過条件から候補を絞る｜武蔵野個別指導塾

接点を文字で置き、通過条件と定義域から候補を絞り、重複を調べて求める曲線外の接線です。

よくあるのは、理系高3の演習で、与えられた点が曲線上にあるか確かめずに、その点を接点として式を書き始めるという場面です。曲線の外の点を通る接線では、通る点と接する点は別です。接点が未知でも、その横座標を文字で置けば、接線の傾きと通過条件を結びつけられます。

数学IIIの学習では、導関数を用いて曲線の接線を扱います。ここでは与点から引く接線を求め、候補が存在しない場合や同じ直線が重なる場合まで調べます。

どこで条件を使うか

出方の1つは、曲線と与点が決まり、通る接線の方程式を求める問題です。点を代入する前に接点を置き、その接点での傾きを導関数から求めます。与点の座標は接線の式に代入しますが、通常は曲線の式には代入しません。

もう1つは、接点の候補が複数現れる問題です。候補の数がそのまま異なる直線の数とは限りません。接点が異なっても同じ直線が両方で接することがあるので、傾きと切片を比べます。与点を動かして本数を分類する問題は扱わず、ここでは与えられた点に対して候補を調べます。

さらに、接点の方程式を変形するとき、分母を払ったり平方したりすると、定義域外の値や元の式に合わない値が現れることがあります。解を求めた後に条件へ戻すところまでが解答です。候補が残らなければ、接線が存在しないという結論も成立します。

接点と通過点を分ける

関数 y = f(x) が点 x = t を含む開区間で定義され、t で微分可能とします。曲線上の点 (t, f(t)) における接線は、その点を通り、傾きが微分係数 f′(t) である直線です。したがって式は次のようになります。

y = f′(t)(x - t) + f(t)

与点を P(a, b) とすると、この直線が P を通る条件は次の式です。

b = f′(t)(a - t) + f(t)

図1のように、接点 T は曲線上に置き、P は接線上に置きます。2つの条件の代入先が異なることが、立式の要です。

図1では T が動くと接線も動きます。P を通る位置に T が来たとき、その t が候補です。図は関係を示す模式図であり、候補の数を図の見た目から決めるものではありません。

接点の t は関数の定義域に属し、そこで微分可能でなければなりません。例えば対数の曲線なら真数が正であることを先に書きます。式の変形で候補が得られたら、元の通過条件へ戻し、最後に接線の式を作って与点と接点を代入します。

この手順には逆向きの確認もあります。接点となり得る各 t で上の式を作り、その式が P を通れば、それは定義により求める接線です。したがって候補の方程式を条件を保って解き、得られた候補を検証すれば、取りこぼしと余分な解の両方を抑えられます。

接点を求める方程式は、直線の式そのものではありません。t の値だけを答えにすると、設問が求めた直線の式が残っています。また、接点の座標を求める設問なら、横座標 t に加えて f(t) も計算し、順序を間違えずに書きます。

候補が実数として得られても、その関数の定義域に入るとは限りません。たとえば分数の接点で t = 0 が出た場合、元の曲線にその点がないため採用できません。反対に、候補がないときは、候補の方程式に解がない根拠と、接点から立てた条件が必要であることを示して結論します。

接線の式を確かめる際には、接点の代入、傾き、与点の代入を順に調べると、どこで計算がずれたか見つけやすくなります。傾きが合うだけでは接点を通る保証がなく、与点を通るだけでも接線である保証はありません。両方を照合して初めて条件を満たします。

基本例題：放物線に引く2本

曲線 y = x² と点 P(0, -4) を考えます。P を通る接線をすべて求め、直線の式を整数係数で表してください。

関数 f(x) = x² は実数全体で微分可能です。P の横座標を曲線に代入すると y = 0 なので、P は曲線上にありません。接点を T(t, t²) と置きます。

f′(x) = 2x
f′(t) = 2t
y = 2t(x - t) + t²
y = 2tx - t²

この直線が P を通るので、x = 0、y = -4 を代入します。

-4 = -t²
t² = 4
t = 2 または t = -2

それぞれ接線に戻すと、答えは y = 4x − 4、y = -4x − 4 です。傾きが異なるため、2本は異なる直線です。図2のように、両方の直線は P を通りますが、接点は左右で別です。

図2の接点は (2, 4) と (-2, 4) です。前者では曲線の傾きが 4、直線の傾きも 4 で、4 = 4・2 − 4 です。後者では傾きが -4 で、4 = -4・(-2) − 4 です。どちらも x = 0 で y = -4 となるので、与点の条件へも戻っています。

ここで t = 0 としてはいけません。0 は与点の横座標であって、接点の横座標として与えられていないからです。実際、t = 0 の接線は y = 0 であり、P を通りません。接点の座標と通過点の座標を同じ欄に書かない習慣が、最初の取り違えを防ぎます。

標準例題：対数の定義域を守る

曲線 y = log x と点 P(0, -1) について、P を通る接線を求め、自然対数の底 e を用いて正確に表してください。ここで log は自然対数です。

定義域は x > 0 で、その範囲で関数は微分可能です。接点を T(t, log t) と置くと、初めに t > 0 が必要です。導関数と接線の式は次のとおりです。

f′(x) = 1/x
f′(t) = 1/t
y = (1/t)(x - t) + log t
y = x/t - 1 + log t

P を代入して接点を決めます。

-1 = -1 + log t
log t = 0
t = 1

1 は t > 0 を満たします。接線は y = x − 1 です。接点は (1, 0)、そこでの曲線の傾きは 1 です。直線も (1, 0) を通り傾きが 1 で、x = 0 を入れると y = -1 です。したがって与点と接点の両方の条件を満たします。

対数の式では、t = 0 を接点に使うことはできません。P の横座標が 0 であっても、P は直線上の点なので問題ありません。接点の条件と通過点の条件を分けると、定義域の制約をどこにかけるかが明確になります。

発展例題：接点が違っても直線が重なる

曲線 y = (x² − 4)² と点 P(0, 0) を考えます。P を通る接線をすべて求め、直線の式を根号を含む正確な形で表してください。

多項式なので実数全体で微分可能です。接点を T(t, (t² − 4)²) と置くと、傾きと接線は次のとおりです。

f′(x) = 4x(x² - 4)
f′(t) = 4t(t² - 4)
y = 4t(t² - 4)(x - t) + (t² - 4)²

P を代入し、因数分解します。

0 = -4t²(t² - 4) + (t² - 4)²
0 = (t² - 4)(-4t² + t² - 4)
0 = -(t² - 4)(3t² + 4)

実数 t では 3t² + 4 > 0 です。よって t = 2 または t = -2 です。どちらでも f(t) = 0、f′(t) = 0 なので、接線はともに y = 0 です。答えは y = 0 の1本となります。

この直線は P を通り、(2, 0) と (-2, 0) の両方で曲線と接します。接点は2つですが、傾きと切片がともに同じなので直線は1本です。接点の候補を数える作業と、異なる直線を数える作業を区別してください。逆に、傾きが同じでも切片が違えば別の直線です。

誤答を直す：割る前に零を調べる

曲線 y = x³ と点 P(0, 0) を考えます。接点を t と置けば接線は y = 3t²(x − t) + t³ です。P を代入すると 0 = -2t³ となり、t = 0 が得られます。

ここで「t で割ると t² = 0 だが、割ったので t = 0 は使えない」として接線なしとするのは誤りです。t = 0 の可能性を残さずに t で割ったため、元の方程式の解を失っています。図3のように、零の場合を先に分けるか、割らずに解きます。

図3の修正では -2t³ = 0 から直接 t = 0 です。接線は y = 0 で、原点を通り、曲線上の原点での傾きも 0 です。P が曲線上にある場合でも、この方法は使えます。ただし、その事実を調べずに P を接点と決めることはできません。

同じ注意は分母を払う場合にも必要です。分母が零にならない条件を記録し、変形後に得た解を元の式に戻します。平方を使った場合も、元の符号に合うかを確かめます。条件を失う変形と余分な候補を生む変形では、点検すべき方向が違います。

練習問題

次の5問はそれぞれ独立です。接線の式は指定された形で表し、異なる直線を求めてください。

1. 曲線 y = x² + 1 と点 (0, -8) について、点を通る接線を整数係数で求めてください。
2. 曲線 y = 1/x（x ≠ 0）と原点について、原点を通る接線があるか調べ、あればその式を求めてください。
3. 曲線 y = eˣ と点 (0, 2) について、その点を通る接線があるか調べ、あればその式を求めてください。
4. 曲線 y = (x² − 9)² と原点について、原点を通る異なる接線を整数係数で求めてください。
5. 曲線 y = log x（x > 0）と点 (0, 1) について、その点を通る接線を e を用いて正確に求めてください。

練習問題の答えと道筋

1

接点の横座標を t とします。関数は実数全体で微分可能で、接線は次の式です。

y = 2t(x - t) + t² + 1
y = 2tx - t² + 1
-8 = -t² + 1
t² = 9
t = 3 または t = -3

答えは y = 6x − 8、y = -6x − 8 です。各直線は (0, -8) を通ります。接点はそれぞれ (3, 10)、(-3, 10) で、傾きも 6、-6 と導関数の値に一致します。傾きが異なるため別の直線です。

2

接点の横座標は t ≠ 0 です。関数はその範囲で微分可能なので、接線と通過条件は次のようになります。

f′(t) = -1/t²
y = -(x - t)/t² + 1/t
y = -x/t² + 2/t
0 = 2/t

最後の等式は t ≠ 0 の実数では成り立ちません。したがって求める接線は存在しません。分母を払えば 0 = 2 となるので、条件を満たす t がないことも同じように確認できます。原点を通る候補の直線自体が作れないという結論です。

3

指数関数は実数全体で微分可能です。接点を (t, eᵗ) とすると、次の式を得ます。

y = eᵗ(x - t) + eᵗ
2 = eᵗ(1 - t)

この方程式には t = -1 が解として見つかりますか。代入すると右辺は 2/e なので一致せず、候補から除きます。解が存在するかを、接点の条件の最大値から調べます。h(t) = eᵗ(1 − t) とすると h′(t) = -teᵗ です。h は t < 0 で増加し、t > 0 で減少し、最大値 h(0) = 1 を取ります。よって h(t) = 2 を満たす t は存在せず、接線はありません。問題の答えは存在しない、です。

4

接点を t と置きます。関数は実数全体で微分可能ですから、原点を通る条件は次のように変形できます。

0 = -4t²(t² - 9) + (t² - 9)²
0 = -(t² - 9)(3t² + 9)
t = 3 または t = -3

2つの接点では関数値も導関数の値も 0 です。よって答えは y = 0 の1本です。この直線は原点と (3, 0)、(-3, 0) を通り、両接点で傾き 0 が一致します。接点が2つあることと直線が2本あることは別です。

5

接点の横座標は t > 0 です。対数関数はその範囲で微分可能で、原点ではなく (0, 1) を接線に代入します。

y = x/t - 1 + log t
1 = -1 + log t
log t = 2
t = e²

答えは y = x/e² + 1 です。接点は (e², 2) で、曲線の傾きは 1/e² です。直線に x = e² を入れると y = 2、x = 0 を入れると y = 1 となり、指定された両方の点の条件を満たします。

要点を残す

接点を (t, f(t)) と置き、t の定義域と微分可能性を確認します。 接線に与点を代入して t の候補を求めます。 元の条件へ戻し、各直線の傾きと切片を比べます。

つまずきの診断

式を立てられないときは、紙に「曲線上の接点」と「直線上の与点」を別々に書き、どちらをどの式に代入したか指で追ってみてください。対数や分数で答えが合わないときは、t の範囲と、変形前に分母が零でないかを確認します。

個別に解き方を確かめる場面では、接点の方程式を解けたかに加え、得た直線が与点を通り、接点で曲線と同じ傾きを持つ理由を言葉にできるかを見ます。接点の候補から直線へ戻る最後の一手が、曲線外の点からの接線を完成させます。