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高校数学III 媒介変数表示の第二次導関数—微分する変数を確かめて換算する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 微分法を掘り下げる

傾きをtで微分した値をdx/dtで割り、分母が0の点では元の表示へ戻って二階微分を判定します。

よくあるのは演習ノートで、媒介変数tで傾きを微分した値をそのまま答える場面です。1回目に求めたdy/dxがtの式で表されると、次もtで微分するところまでは自然に進みます。しかし、求めたい第二次導関数は傾きのxによる変化率です。tによる変化率からxによる変化率への換算が必要です。

式の計算に入る前に、どの点でどの変数による変化を求めるかを決めましょう。途中で分母が0になる点は、式を約分した後も元の条件に戻して別に調べます。

問われる形を見分ける

媒介変数表示から第二次導関数の式を求める問題では、まずdy/dxをtの式として作り、それをxで微分します。答えもtの式で表してよいとき、無理にtを消去する必要はありません。ただし、その式を使えるtの範囲は添えます。

指定されたtにおける値を求める問題では、対応する点の座標とdx/dtの値も確認します。先に数値だけ代入すると、傾きが周囲でどう変わるかを微分する情報が失われます。式を作ってから指定値を代入する順が安全です。

さらに、dx/dtが0になる点を含む問題では、通常の商はその点で使えません。そこで即座に第二次導関数が存在しないと断定せず、元の2式からその点の近くでyをxの関数にできるかを調べます。消去や差商で確認できる場合があります。

傾きの変化をxに換算する

x = f(t)、y = g(t)とします。考えるtの近くでfとgが2回連続して微分可能で、f′(t)が0でないとします。このとき局所的にxを独立変数として扱え、合成関数の微分から次が成り立ちます。

 dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)
 dy/dx = g′(t)/f′(t)

ここで求めた傾きをp(t) = g′(t)/f′(t)と置きます。pもxを通して変化するので、もう一度合成関数の微分を使います。

 dp/dt = (dp/dx)(dx/dt)
 d²y/dx² = dp/dx = p′(t)/f′(t)

図1のように、tで微分する操作とxで微分する操作は同じではありません。tを少し変えたときの傾きの変化を、同じ変化で動いたxの量に対応させます。

図1の下段で割るのは、最初に使ったものと同じdx/dtです。最初の商を作るときに割ったからといって、2回目の換算が不要になるわけではありません。商の微分により、使える範囲で次の形にもなります。

 d²y/dx² = (g″f′ - g′f″)/(f′)³

分子の各関数は同じtでの値です。この形は計算の確認に便利ですが、分母の3乗を覚える前に、pを作ってからp′をf′で割る手順を押さえます。分母が0の点では、この導出の割り算が成立しません。なおf′が0でない条件はこの計算法の十分な条件であり、第二次導関数の存在に必ず必要という意味ではありません。

基本例題：2回の割り算を区別する

x = t² + 1、y = t³ + 2tとします。t > 0でd²y/dx²をtの式で求め、t = 2での値を分数で答えます。

多項式は微分可能で、t > 0ではdx/dt = 2t > 0です。したがってこの範囲では上の換算を使えます。最初の傾きを計算します。

 dx/dt = 2t
 dy/dt = 3t² + 2
 dy/dx = (3t² + 2)/(2t)
        = (3/2)t + 1/t

次は傾きをtで微分してから、xによる変化に換算します。

 d/dt(dy/dx) = 3/2 - 1/t²
 d²y/dx² = (3/2 - 1/t²)/(2t)
           = (3t² - 2)/(4t³)

指定値を最後に代入すると、次のようになります。

 t = 2のとき、d²y/dx² = (12 - 2)/32 = 5/16
 x = 2² + 1 = 5
 y = 2³ + 2・2 = 12

図2のように、t = 2では(5, 12)に対応します。傾きのtによる変化率は5/4ですが、xのtによる変化率が4なので、xによる変化率は5/16です。5/4と5/16は別の量です。

図2の値は元の2式にt = 2を戻して確かめられます。また、t > 0ならt = √(x − 1)なので、y = (x + 1)√(x − 1)です。この式をxで2回微分しても、x = 5で5/16となります。答えの分母が0になるt = 0は、指定された範囲の外です。

標準例題：三角関数で対応点を保つ

x = 2 cos t、y = 3 sin tについて、0 < t < πでd²y/dx²をtの式で求め、t = π/2での値を分数で答えます。角は弧度法です。

この範囲ではsin t > 0なので、dx/dt = -2 sin tは0になりません。三角関数は微分可能であり、換算を使えます。

 dx/dt = -2 sin t
 dy/dt = 3 cos t
 dy/dx = -3 cos t/(2 sin t)
 d/dt(dy/dx) = 3/(2 sin² t)
 d²y/dx² = -3/(4 sin³ t)

4行目は商の微分を使い、sin² t + cos² t = 1で整理しました。最後に指定値を入れます。

 sin(π/2) = 1、cos(π/2) = 0
 d²y/dx² = -3/4
 x = 0、y = 3

対応する点は(0, 3)です。元の2式に代入して座標を確かめます。端のt = 0、πではdx/dtが0ですから、この計算式の適用範囲には入れません。端の値を分母に代入して得られる見かけの式から、そこでの第二次導関数を決めることもできません。

発展例題：公式が使えない点を調べる

x = t³、y = t⁶ + 4t³とします。t ≠ 0におけるd²y/dx²を求め、さらにt = 0に対応する点で第二次導関数が存在するかを調べ、存在するなら整数で答えます。

多項式は微分可能です。t ≠ 0ではdx/dt = 3t² ≠ 0なので、まずその範囲で計算します。

 dx/dt = 3t²
 dy/dt = 6t⁵ + 12t²
 dy/dx = (6t⁵ + 12t²)/(3t²)
        = 2t³ + 4
 d/dt(dy/dx) = 6t²
 d²y/dx² = 6t²/(3t²)
           = 2

最後の約分にもt ≠ 0が必要です。約分した式が2だからという理由だけで、元の商をt = 0に適用することはできません。ここでは元の表示から直接、次の関係が得られます。

 x = t³
 y = (t³)² + 4t³
   = x² + 4x
 dy/dx = 2x + 4
 d²y/dx² = 2

tは全実数を動き、x = t³は全実数に対応するので、この関係は原点の近くでもyをxの関数として表します。したがって原点でも第二次導関数は2です。元の表示にt = 0を戻すと(x, y) = (0, 0)で、関係式にも一致します。

一方、同じdx/dt = 0でも結論が変わる例があります。x = t³、y = tとすると、原点の近くでyはxの関数ですが、原点での差商はt/t³ = 1/t²となり有限の極限を持ちません。第一の導関数が存在しないので、第二次導関数もそこで定義できません。公式の適用外を同じ結論で一括せず、元の式に戻る理由がここにあります。

誤答を直す：何について微分したか

基本例題でdy/dx = (3/2)t + 1/tを得た後、「第二次導関数は3/2 − 1/t²」と答える誤りを考えます。微分計算自体は合っていますが、得た量は傾きのtによる変化率です。求める量は傾きのxによる変化率です。

図3のように、途中の式に「tによる」と書き添えると、もう一度の換算が必要だと見分けられます。dx/dt = 2tを確認して割れば、正しい式に直せます。

図3でt = 2を入れると、途中の値は5/4、答えは5/16です。両者が違うのは計算ミスではなく、分母に取る変化が違うからです。逆にdx/dtがたまたま1の点では数値が一致し得ます。その一致だけで換算が不要と判断せず、式の段階で変数を確かめます。

練習：まず問題をまとめて解く

各問で指定された範囲の第二次導関数をtの式で求め、指定点での値は整数または分数で答えてください。三角関数の角は弧度法です。

x = 3t + 1、y = t² − 2tについて、全実数tで求め、t = 1での値を答えます。
x = t² + 2、y = t³について、t > 0で求め、t = 3での値を答えます。
x = t + 1、y = 2 sin tについて、全実数tで求め、t = π/2での値を答えます。
x = eᵗ、y = e⁻ᵗについて、全実数tで求め、t = 0での値を答えます。
x = t²、y = t⁴ + 3t²について、t > 0で求め、さらにt = 0に対応する点での第二次導関数の存在と値を調べます。

解答と途中の考え方

いずれも多項式で、dx/dt = 3 ≠ 0です。したがって全実数tで換算できます。

 dy/dt = 2t - 2
 dy/dx = (2t - 2)/3
 d/dt(dy/dx) = 2/3
 d²y/dx² = (2/3)/3 = 2/9

t = 1でも2/9です。元の表示では(x, y) = (4, -1)です。t = (x − 1)/3を元のyへ代入して2回微分しても2/9となり、対応点も元の式に戻ります。

t > 0でdx/dt = 2t > 0です。分母の条件を確かめてから計算します。

 dy/dt = 3t²
 dy/dx = 3t/2
 d/dt(dy/dx) = 3/2
 d²y/dx² = 3/(4t)
 t = 3のとき、d²y/dx² = 1/4

元の2式にt = 3を戻すと(11, 27)です。t > 0ではy = (x − 2)√(x − 2)とも書け、x = 11での値が1/4と一致します。t = 0をこの式に代入して判定することはできません。

dx/dt = 1であり、全実数tで0になりません。弧度法の微分公式を用います。

 dy/dt = 2 cos t
 dy/dx = 2 cos t
 d/dt(dy/dx) = -2 sin t
 d²y/dx² = -2 sin t
 t = π/2のとき、d²y/dx² = -2

元の表示の対応点は(1 + π/2, 2)です。x = t + 1からy = 2 sin(x − 1)と戻しても、同じ値になります。この問ではdx/dtが1なので換算後も式が変わりませんが、割る操作は行っています。

eᵗは常に正なので、dx/dt = eᵗ ≠ 0です。指数関数の微分公式を使います。

 dy/dt = -e⁻ᵗ
 dy/dx = -e⁻²ᵗ
 d/dt(dy/dx) = 2e⁻²ᵗ
 d²y/dx² = 2e⁻³ᵗ
 t = 0のとき、d²y/dx² = 2

対応点は(1, 1)です。元の式からx > 0かつy = 1/xなので、これをxで2回微分しても2/x³となり、x = 1で一致します。

t > 0ではdx/dt = 2t > 0です。まず指定された範囲で求めます。

 dy/dt = 4t³ + 6t
 dy/dx = 2t² + 3
 d/dt(dy/dx) = 4t
 d²y/dx² = 4t/(2t) = 2

t = 0では上の割り算が使えません。元の表示はx = t²、y = x² + 3xです。ただし実数tに対応するのはx ≥ 0です。原点はこの表示の端なので、両側の近傍で定義された関数としての通常の第二次導関数は、この表示だけからは定義されません。右側からの差商を使う片側の値なら2です。元の表示にt = 0を戻すと(0, 0)です。x² + 3xを負のxにも延長すれば原点で第二次導関数は2ですが、その延長と元の曲線の定義域を区別します。