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高校数学III 陰関数の第二次導関数—関係式を保って二度目の微分を進める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 微分法を掘り下げる

y′を含む積をもう一度微分する過程で、(y′)²とyy″が現れる理由を追います。

よくあるのは、演習ノートで1回目の微分を終えたあと、y′を定数のように扱って2回目の微分を進める場面です。y′もxの関数なので、yとy′の積には積の微分が必要です。関係式に残っているyを消すことより先に、どの文字がxとともに変わるかを確認しましょう。

要点（結論から）

y′もxの関数なので、y′を含む積を微分するときは積の微分を使います。
y²の2回目の微分には、2(y′)²と2yy″が現れます。
先に元の点と微分可能性を確認し、1回目の関係式からy′を求めます。

どこで二度目の微分が必要になるか

1つ目は、xとyの関係式と、その上の点から、そこでのy″を分数で求める問いです。まず点が元の式を満たすかを調べ、その点を含む範囲でyがxの2回微分可能な関数として与えられていることを確認します。次に1回目の関係式からy′を求め、2回目に現れるy″を解きます。

2つ目は、y′やy″をxとyで表す問いです。y′を分数で表してから商を微分する方法と、1回目の関係式をそのまま微分する方法があります。後者なら、分母を何度も微分せずに済みます。ただし、最後にy″の係数で割るときは、その係数が0でない範囲に限ります。

3つ目は、途中の式のどこが誤りかを説明する問いです。たとえばyy′を微分するとき、一方のyが変わる分と、もう一方のy′が変わる分をそれぞれ書き出します。答えの数字だけを比べるのではなく、どの項が失われたかを言葉と式で示すことができます。

ここで扱うのは、関係式が与えられたときの2回の微分です。関係式から関数の存在を一般に証明する話には踏み込まず、必要な微分可能性は問題の条件または具体的な式で確認します。

2回微分する前に置く条件

ある区間でyがxの2回微分可能な関数y = f(x)として与えられているとします。y′はf′(x)、y″はf″(x)のことです。元の関係式がその区間の各xについて成り立つなら、左右をxで微分した式も成り立ちます。さらに1回目に得た等式の左右を微分すれば、2回目の関係式を得ます。

例えばy²を微分すると、合成関数の微分により2yy′です。ここで2yは外側の平方を微分した部分、y′は内側のyをxで微分した部分です。さらに2yy′を微分すると、2は定数ですが、yとy′はともにxに依存するので、積の微分を使います。

d(y²)/dx = 2yy′
d(2yy′)/dx = 2(y′y′ + yy″)
             = 2(y′)² + 2yy″

図1のように、2回目には(y′)²とyy″の両方が現れます。y′を定数とみなすと後者が抜け、yを定数とみなすと前者が抜けます。最初の等式を得たあとも、各因子が変数か定数かを改めて見直します。

図1の左右の枝は、積のどちらの因子を微分したかを示しています。y′を微分した結果がy″であることを、図の下段に対応させてください。

もう1つの注意は、微分した式の中で割る数です。例えば1回目にA + By′ = 0、2回目にC + By″ = 0を得ても、B = 0の点でy′ = -A/Bやy″ = -C/Bとは書けません。B = 0だから必ず微分不可能だとも限りません。その点では割る前の関係式に戻り、与えられた関数の式や差商を別に調べます。割り算が使えないことと、導関数が存在しないことは別の主張です。

例えば関係式y² = x²で、y = xという関数を考えると、原点では1回目の式2yy′ = 2xが0 = 0になります。ここから割ってy′を求めることはできませんが、与えられたy = xは原点でも2回微分可能で、y′ = 1、y″ = 0です。同じ関係式にはy = -xという別の関数もあり、原点の関係式だけではどちらの導関数か決まりません。

基本例題：平方の項を二度たどる

問題　点(2, 2)の近くで、x² + 2y² = 12を満たす正の関数yを考えます。この点でのy′とy″を分数で求めてください。

まず2² + 2・2² = 12なので、指定点は元の関係式上にあります。点の近くではy = √((12 − x²)/2)と表せます。根号の中はx = 2で正なので、その近くの区間でこの関数は2回微分可能です。さらにy > 0なので、後で4yで割れます。

関係式の両辺をxで微分します。y²の微分にはy′を掛けます。

x² + 2y² = 12
2x + 4yy′ = 0
4yy′ = -2x
y′ = -x/(2y)

指定点ではy′ = -2/(2・2) = -1/2です。この値を元の1回目の式に戻すと、4 + 8・(-1/2) = 0となります。

次に、商の形ではなく、1回目の関係式2x + 4yy′ = 0を微分します。4yy′は積ですから、2つの項に分かれます。

2 + 4((y′)² + yy″) = 0
4yy″ = -2 - 4(y′)²
y″ = (-2 - 4(y′)²)/(4y)

図2のように、点の座標から先にy′を出し、その値を2回目の関係式に戻します。関係式を保ったまま進むことで、2回目の微分に必要な積の項を見失いにくくなります。

図2の最後に置いた値を、式を省かずに計算します。

y″ = (-2 - 4・(-1/2)²)/(4・2)
   = (-2 - 1)/8
   = -3/8

したがって、求める値はy′ = -1/2、y″ = -3/8です。2回目の式に戻すと、2 + 4・(1/4 + 2・(-3/8)) = 0となり、関係式を満たします。さらに、一般の点でもy′ = -x/(2y)を代入すると、次のように整理できます。

y″ = -1/(2y) - (y′)²/y
   = -1/(2y) - x²/(4y³)
   = -(2y² + x²)/(4y³)
   = -12/(4y³)
   = -3/y³

最後から2行目には元の関係式を使いました。この式もy ≠ 0の範囲で得たものです。点(2, 2)へ戻すと-3/8となり、先ほどの計算と一致します。

標準例題：xyとy²が混ざる場合

問題　点(1, 2)の近くで、xy + y² = 6を満たす正の関数yを考えます。この点でのy′とy″を分数で求めてください。

点を代入すると1・2 + 2² = 6です。正の枝はy = (-x + √(x² + 24))/2で、根号の中は正ですから、点の近くで2回微分可能です。またx + 2yは指定点で5なので、点の近くでも0ではありません。

xyを微分するとき、xとyの両方が変化することに注意します。

xy + y² = 6
y + xy′ + 2yy′ = 0
(x + 2y)y′ = -y
y′ = -y/(x + 2y)

点を代入するとy′ = -2/5です。1回目の式に戻すと、2 + 1・(-2/5) + 4・(-2/5) = 0です。

続いて、整理する前のy + xy′ + 2yy′ = 0を微分します。xy′からはy′とxy″、2yy′からは2(y′)²と2yy″が現れます。

y′ + (y′ + xy″) + 2((y′)² + yy″) = 0
2y′ + 2(y′)² + (x + 2y)y″ = 0
(x + 2y)y″ = -2y′ - 2(y′)²
y″ = (-2y′ - 2(y′)²)/(x + 2y)

指定点と、そこでのy′ = -2/5を代入します。

y″ = (4/5 - 2・4/25)/5
   = (20/25 - 8/25)/5
   = 12/125

したがってy′ = -2/5、y″ = 12/125です。2回目の式に代入すると、-4/5 + 8/25 + 5・12/125 = 0です。2つのy′がどこから来たかをたどると、最初のyとxy′のそれぞれを微分した結果だとわかります。

発展例題：係数にもyが入る場合

問題　点(1, 2)の近くで、x²y + y³ = 10を満たす2回微分可能な関数yが与えられています。この点でのy′とy″を分数で求めてください。

点は1²・2 + 2³ = 10を満たします。2回微分可能性は問題の条件です。1回目の式をy′について解く際の係数x² + 3y²は、指定点で13なので0ではありません。したがってその点で割る操作が可能です。

積x²yは、x²を微分する項とyを微分する項に分けます。y³には合成関数の微分を使います。

x²y + y³ = 10
2xy + x²y′ + 3y²y′ = 0
(x² + 3y²)y′ = -2xy
y′ = -2xy/(x² + 3y²)

点(1, 2)でy′ = -4/13です。1回目の式への代入は、4 + 13・(-4/13) = 0となります。

次に、2xy + x²y′ + 3y²y′ = 0を項ごとに微分します。2xyから2y + 2xy′、x²y′から2xy′ + x²y″、3y²y′から6y(y′)² + 3y²y″が出ます。

2y + 2xy′ + 2xy′ + x²y″ + 6y(y′)² + 3y²y″ = 0
2y + 4xy′ + 6y(y′)² + (x² + 3y²)y″ = 0
(x² + 3y²)y″ = -2y - 4xy′ - 6y(y′)²
y″ = (-2y - 4xy′ - 6y(y′)²)/(x² + 3y²)

ここで座標とy′を代入します。

y″ = (-4 + 16/13 - 12・16/169)/13
   = (-676/169 + 208/169 - 192/169)/13
   = (-660/169)/13
   = -660/2197

答えはy′ = -4/13、y″ = -660/2197です。2回目の関係式の左辺に戻すと、4 − 16/13 + 192/169 − 660/169 = 0です。x²y′の微分で出る2xy′と、2xyの微分で出る2xy′を合わせると4xy′になります。片方を落とさないよう、まとめる前の行を残しておきます。

誤答を式の分岐から直す

基本例題の1回目の式2x + 4yy′ = 0から、誤って2 + 4(y′)² = 0とする場合を考えます。これはyy′を微分するときに、y′を定数のように残した式です。そのままではy″が消えてしまい、求めたい量の条件が得られません。

図3のように、yy′の2因子に印を付け、それぞれを微分する項を作ります。一方から(y′)²、他方からyy″が生まれます。

図3の正しい側を元の式に戻すと、2 + 4(y′)² + 4yy″ = 0です。基本例題の点とy′を入れてはじめて、y″ = -3/8を得られます。なお、誤って2 + 4yy″ = 0とした場合は、今度はyの変化から生じる(y′)²を落としています。どちらの誤りも、2因子を順に微分する表を作れば見分けられます。

また、1回目に求めたy′の式を微分する方法でも、分子と分母に残ったyはxの関数です。例えば-y/(x + 2y)の分母の導関数は1 + 2y′です。2を掛けたyを定数として1とすることはできません。割る前の関係式を使う方法は、この商の微分を避けられますが、積の微分が不要になるわけではありません。

練習：先に5問を解いてみる

いずれも指定点の近くで、関係式を満たす2回微分可能な関数yが与えられているものとします。各点でのy′とy″を分数で求め、点が元の式を満たすことと、割る数が0でないことを確認してください。

x² + 3y² = 28、点(1, 3)。
xy + 2y² = 10、点(1, 2)。
x² + y² = 25、点(3, -4)。
x²y + y² = 12、点(2, 2)。
y³ + xy = 12、点(2, 2)。

練習の解答と途中式

元の式に戻すと1² + 3・3² = 28です。1回目の式のy′の係数6yは点で18となり、0ではありません。

2x + 6yy′ = 0
y′ = -x/(3y)
y′ = -1/9
2 + 6(y′)² + 6yy″ = 0
y″ = (-2 - 6(y′)²)/(6y)
   = (-2 - 6/81)/18
   = -28/243

最後の式の左辺は2 + 6/81 + 18・(-28/243) = 0です。元の関係式と2回目の関係式の両方に値を戻せます。

1・2 + 2・2² = 10です。y′の係数x + 4yは点で9なので、そこで割れます。

y + xy′ + 4yy′ = 0
(x + 4y)y′ = -y
y′ = -2/9
2y′ + 4(y′)² + (x + 4y)y″ = 0
y″ = (-2y′ - 4(y′)²)/(x + 4y)
   = (4/9 - 16/81)/9
   = 20/729

点で2回目の左辺は-4/9 + 16/81 + 9・20/729 = 0です。xyの微分から出る2個のy′を忘れないことが、符号の確認につながります。

3² + (-4)² = 25です。2yは点で-8となり、0ではありません。負のyでも式をそのまま使えます。

2x + 2yy′ = 0
y′ = -x/y
   = 3/4
2 + 2(y′)² + 2yy″ = 0
y″ = -(1 + (y′)²)/y
   = -(1 + 9/16)/(-4)
   = 25/64

2回目の左辺は2 + 2・9/16 + 2・(-4)・25/64 = 0です。負の枝ではyで割るときに符号が変わります。

2²・2 + 2² = 12です。1回目に現れる係数x² + 2yは点で8です。

2xy + x²y′ + 2yy′ = 0
(x² + 2y)y′ = -2xy
y′ = -8/8
   = -1
2y + 4xy′ + 2(y′)² + (x² + 2y)y″ = 0
y″ = (-2y - 4xy′ - 2(y′)²)/(x² + 2y)
   = (-4 + 8 - 2)/8
   = 1/4

2回目の関係式に戻すと4 − 8 + 2 + 8・1/4 = 0です。x²yの積から出た2つの2xy′が、4xy′にまとまっています。

2³ + 2・2 = 12です。係数3y² + xは点で14となるので、割ることができます。

3y²y′ + y + xy′ = 0
(3y² + x)y′ = -y
y′ = -2/14
   = -1/7
6y(y′)² + 2y′ + (3y² + x)y″ = 0
y″ = (-6y(y′)² - 2y′)/(3y² + x)
   = (-12/49 + 2/7)/14
   = 1/343

2回目の式の左辺は12/49 − 2/7 + 14/343 = 0です。y²y′の微分では、y²から2yy′が出るため、y′がもう1つ掛かって(y′)²になります。