高校数学III 変数を指数に持つ関数の微分—底と指数の変化を対数から追う｜武蔵野個別指導塾

xのx乗を対数で積に直し、正の底という条件のもとで、底と指数の変化を両方たどれます。

よくあるのは演習ノートで、指数を定数とみなして x の x 乗を微分する場面です。底の x を微分することには気づいても、指数の x が動く分を落とすと、答えの一部が消えます。指数関数とべき関数の公式をどちらか一方選ぶ前に、式全体を自然対数で見直しましょう。

要点（結論から）

• 正の底 g の実数 h 乗を e の (h log g) 乗として扱います。
• 対数をとる前に g > 0 と微分可能性を調べます。
• 対数をとった積では指数と底の変化をそれぞれ微分します。

どこが動いているか

問いの一つは、x の x 乗の導関数を求めることです。x が動けば底も指数も動きます。x を指数の位置に固定したつもりで通常のべきの公式を使うと、その変化を両方は表せません。

もう一つは、底が多項式、指数が別の式である関数を微分する問いです。まず底が正となる区間を調べ、対数をとって積の微分へ移します。最後に元の関数を掛け戻すと、求める導関数が得られます。

さらに、求めた導関数に指定された点を代入する問いもあります。先に点が元の定義域に入るかを確認し、底と指数を両方計算してから代入します。ここでは実数としての正の底の累乗を扱い、負の底に対する個別の定義には立ち入りません。

正の底から積の形へ

以下、log は自然対数を表します。正の数 a と実数 b に対して a の b 乗を e の (b log a) 乗と定めます。この定義では底 a が正であることが必要です。特に指数が無理数を含めて連続的に変わる式では、先に底の条件を記すと式の意味が明確になります。

g と h がある開区間で微分可能で、そこにある各 x について g(x) > 0 とします。y を g(x) の h(x) 乗とおくと、y は正であり、次のように対数をとれます。

log y = h(x) log g(x)

g が正なので log g(x) は定義され、合成関数として微分可能です。y も指数関数と微分可能な関数の合成なので微分可能です。両辺を x で微分し、右辺には積の微分法を使います。

y′/y = h′(x) log g(x) + h(x)g′(x)/g(x)
y′ = y｛h′(x) log g(x) + h(x)g′(x)/g(x)｝

最後に y を元の累乗に戻します。右辺の第1項は指数 h の変化、第2項は底 g の変化に対応します。この区分は計算上の見取り図であり、一般に片方を捨ててよいという意味ではありません。

図1のように、累乗を対数で積に変えると、2つの変化が別々の項として現れます。図1の右側の和に含まれる g は正ですから、分母としても使えます。

同じ結論は y を e の (h log g) 乗として直接微分しても得られます。どちらの方法でも、log を使う前に底の正を確認することが出発点です。式を整理して分母が消えたとしても、導出時の区間を勝手に広げることはできません。

例えば g(x) = x、h(x) = x なら x > 0 で次の式になります。

log y = x log x
y′/y = log x + 1
y′ = x の x 乗・(log x + 1)

ここでは log x の微分が 1/x なので、底の変化から来た x・(1/x) が 1 になります。指数が定数 r なら h′ = 0 となり、正の底で r・g(x) の (r − 1) 乗・g′(x) に戻ります。逆に底が正の定数 a なら g′ = 0 となり、指数の変化から log a が残ります。2つの特殊な場合に戻ることは、公式を点検する手掛かりです。

対数をとる方法では、もとの y が正であることも重要です。正の底の実数乗は指数関数で表されるため正になり、y で割る操作が許されます。底の正を示すことは、真数の条件と割り算の条件を同時に支えています。

式を覚える際には、h′ log g と h g′/g を別々に確認します。前者は指数だけを動かしたとき、後者は指数を固定して底だけを動かしたときに対応します。実際の関数では両者が同時に変わるため、和にして元の累乗を掛けます。

基本例題：底も指数も同じ変数

正の x に対して y を (2x) の x 乗とします。導関数を元の累乗と自然対数を用いて表し、x = 1 における値も求めてください。

まず 2x > 0 は x > 0 と同じです。この範囲で y > 0 なので自然対数をとり、1行ずつ変形します。

log y = x log(2x)
y′/y = log(2x) + x・2/(2x)
y′/y = log(2x) + 1
y′ = (2x) の x 乗・｛log(2x) + 1｝

2行目では指数 x の導関数 1 と、底 2x の導関数 2 の両方を使いました。x = 1 は定義域に入り、そのとき底は 2、指数は 1、元の値は 2 です。したがって、求める値は次のとおりです。

y′(1) = 2(log 2 + 1)

図2のように、対数をとった積の左右をそれぞれ微分すると、log(2x) と 1 が現れます。図2の矢印は、2つの寄与を足してから元の値を掛ける順を示します。

点での代入を確かめるには、元の関数にも戻ります。x = 1 のとき y = 2 であるため、対数微分で得た y′/y = log 2 + 1 に 2 を掛けた結果と一致します。導関数の式だけに値を入れると、元の累乗の計算を間違えた場合を見逃しやすくなります。

標準例題：底の定義域を先に分ける

底 x² − 4 が正である範囲で、y を (x² − 4) の (x + 1) 乗とします。導関数を元の累乗と自然対数を用いて表し、x = 3 での値を求めてください。

底の条件は x² − 4 > 0 です。したがって対象の区間は x < -2 または x > 2 で、端の -2 と 2 は含みません。それぞれの区間で底と指数は微分可能であり、対数をとれます。

log y = (x + 1) log(x² - 4)
y′/y = log(x² - 4) + (x + 1)・2x/(x² - 4)
y′ = (x² - 4) の (x + 1) 乗・｛log(x² - 4) + 2x(x + 1)/(x² - 4)｝

x = 3 は x > 2 に含まれます。底は 5、指数は 4 なので、元の値は 625 です。中括弧の分数は 2・3・4/5 = 24/5 となり、次の値を得ます。

y′(3) = 625(log 5 + 24/5)
       = 625 log 5 + 3000

元の式に 3 を戻すと確かに 5 の 4 乗です。x = -3 も底が 5 なのでこの導関数の対象ですが、指数は -2 です。左右の区間をひと続きに扱う必要はなく、それぞれで同じ計算が成立します。底が 0 となる端点では上の対数による計算を適用できません。元の問題が端点で別に関数を定義する場合は、その定義と差商を別に調べる必要があります。

発展例題：指数が分数式の場合

x > 0 において、y を x の (1/x) 乗とします。導関数を元の累乗と自然対数を用いて表し、x = e での値を求めてください。

底 x は正で、指数 1/x は微分可能です。y は正なので対数をとり、積として計算します。

log y = (1/x) log x
y′/y = (-1/x²) log x + (1/x)・(1/x)
y′/y = (1 - log x)/x²
y′ = x の (1/x) 乗・(1 - log x)/x²

x = e は条件を満たし、log e = 1 です。元の値は e の (1/e) 乗で正ですから、これに 0 を掛けて y′(e) = 0 となります。この値は指数の変化による負の項と底の変化による正の項が打ち消し合う結果です。元の式に e を戻しても底が正で、導出に使った条件を満たします。

この例では、指数を固定して微分すれば正の項しか残りません。一方、底を固定して指数関数として微分すれば負の項しか残りません。どちらも全体の変化を表せず、和をとって初めて指定点での値を得られます。

誤答を診断する

x > 0 で y を x の x 乗とするとき、「y′ = x・x の (x − 1) 乗」とする答えを考えます。指数を一定の数として扱った式であり、底の変化による項には相当します。しかし指数そのものの変化を含みません。

図3のように、正しい式には log x が加わります。図3の比較では x = e とすると、誤答は e の e 乗、正しい値はその2倍です。e > 0 なので比較する点は元の定義域に入っています。

修正するときは log y = x log x に戻り、積の左側と右側を順に微分します。逆に指数関数の公式だけを使って log x の項だけを書く間違いもあります。底の x が変わる分を調べ、1 を足してから元の y を掛けます。

また、底が正かを調べず log を書くのも失敗です。例えば底が 1 − x なら、実数乗をこの方法で扱う範囲は x < 1 です。計算の結果に x = 1 を代入できそうに見えても、それだけで元の関数の値や微分可能性は決まりません。元の定義が与えられた範囲に戻って判定します。

練習問題

各問で log は自然対数です。導関数は元の累乗と自然対数を用いて表し、点での値は整数・分数・自然対数を使った正確な形で答えてください。

1. x > 0 で y を (3x) の (2x) 乗とします。y′ と y′(1) を求めてください。
2. x > 0 で y を x の (x²) 乗とします。y′ と y′(1) を求めてください。
3. x < 1 で y を (1 − x) の x 乗とします。y′ と y′(0) を求めてください。
4. x > 0 で y を x の (2/x) 乗とします。y′ と y′(1) を求めてください。
5. x > -1 で y を (x + 1) の (x − 1) 乗とします。y′ と y′(0) を求めてください。

練習の解答

1

x > 0 では 3x > 0 なので対数をとれます。指数の導関数は 2 です。

log y = 2x log(3x)
y′/y = 2 log(3x) + 2x・3/(3x)
y′ = (3x) の (2x) 乗・｛2 log(3x) + 2｝
y′(1) = 9(2 log 3 + 2)
       = 18 log 3 + 18

元の式に 1 を戻すと底は 3、指数は 2 で、値 9 が掛け戻す数と一致します。指数の係数 2 は対数の項と底の変化の項の両方に現れます。

2

底は正で、指数 x² の導関数は 2x です。積の微分を使います。

log y = x² log x
y′/y = 2x log x + x²/x
y′ = x の (x²) 乗・(2x log x + x)
y′(1) = 1

元の式では x = 1 のとき 1 の 1 乗なので値は 1 です。log 1 = 0 となって指数の変化の項は消えますが、底の変化の項は残ります。

3

x < 1 なら 1 − x > 0 です。底の導関数は -1 であり、符号を保って計算します。

log y = x log(1 - x)
y′/y = log(1 - x) - x/(1 - x)
y′ = (1 - x) の x 乗・｛log(1 - x) - x/(1 - x)｝
y′(0) = 0

0 は指定区間に入り、元の値は 1 の 0 乗で 1 です。中括弧の2項がともに 0 なので、掛け戻しても 0 です。

4

x > 0 で指数 2/x は微分可能です。指数の微分で負号が付くことに注意します。

log y = (2/x) log x
y′/y = (-2/x²) log x + (2/x)・(1/x)
y′ = x の (2/x) 乗・2(1 - log x)/x²
y′(1) = 2

元の式に 1 を戻すと、底は 1、指数は 2 で値は 1 です。log 1 = 0 ですから、対数微分の値 2 に元の値 1 を掛けた結果が答えと一致します。

5

x > -1 より底 x + 1 は正です。指数 x − 1 と底 x + 1 の導関数はいずれも 1 です。

log y = (x - 1) log(x + 1)
y′/y = log(x + 1) + (x - 1)/(x + 1)
y′ = (x + 1) の (x - 1) 乗・｛log(x + 1) + (x - 1)/(x + 1)｝
y′(0) = -1

0 は指定区間に入り、元の値は 1 の -1 乗で 1 です。中括弧は 0 − 1 となるので、元の値を掛けても -1 です。底が 0 になる x = -1 は、この計算の対象に含めません。

要点

• 正の底 g の実数 h 乗を e の (h log g) 乗として扱います。
• 対数をとる前に g > 0 と微分可能性を調べます。
• 対数をとった積では指数と底の変化をそれぞれ微分します。
• y′/y を求めたら正の元の値 y を掛け戻します。
• 点の値は元の定義域と累乗に戻して照合します。

手が止まったときの見分け方

答えに log がないときは、指数の導関数が本当に 0 なのかを見直します。分母が残るときは底が 0 でない条件を先に書き、底が正でない点に式を延ばしていないかを確かめます。

個別指導で式を点検するなら、まず log y の右辺を積として書き、2つの因子を順に指してそれぞれの導関数を言葉にします。その後、指定点を元の累乗に戻して掛ける値を照合します。底と指数の変化を同じ行に残せば、変数指数の微分が追えます。