高校数学III 底が異なる対数関数の微分—底の変換と真数条件を整理する｜武蔵野個別指導塾

底の変換で定数となる分母を残し、底が1より小さい場合の符号と真数の条件を照合できます。

よくあるのは演習ノートで、底の変換後の分母まで変数扱いしてしまう場面です。logₐ x を自然対数で表すと分母に log a が現れますが、底 a が固定されていればこれは定数です。一方、真数に x を含むときは、その部分の変化を追わなければなりません。底と真数の役割を分けてから微分すると、符号や定義域の見落としも点検できます。

どこに注意が必要か

底が指定された対数を微分する問題では、底の変換で現れる定数を残して導関数を求める形があります。たとえば底が 1 より小さいと、その定数は負です。微分の途中で正の係数と決めつけると、導関数の符号が逆になります。

真数が一次式や二次式の場合は、まず真数が正となる x の範囲を求め、その範囲内で合成関数の微分を使います。真数の導関数を掛け忘れないことと、答えに元の定義域を添えることは別々の確認です。

さらに、底が文字で与えられた式では、底は x によらない定数とし、正で 1 でないことを確認します。底が 1 の式や負の底の式を、形式的な微分公式で処理することはできません。ここでは一定の底を扱い、変数を底に持つ関数の微分には進みません。

底を変えると何が定数になるか

以下、底を記さない log は自然対数とします。実数 a と t について、a > 0、a ≠ 1、t > 0 のとき、logₐ t は a の何乗が t になるかを表す数です。底の変換公式は次の形です。

logₐ t = log t / log a

分母の log a は a > 0 なので定義され、a ≠ 1 なので 0 ではありません。a が一定なら log a も x に関して一定です。たとえば a が 1 より大きければ log a > 0、0 < a < 1 なら log a < 0 です。底が正という条件と、その対数が正という条件は同じではありません。

図1のように、底から定まる分母と、x で変化する真数を別の場所に置いて考えます。真数 g(x) が微分可能で g(x) > 0 の区間では、自然対数の導関数と合成関数の微分公式を用いることができます。

図1では a を一定として、真数 g(x) の変化だけを分子で追います。式にすると、次のように各段階を確かめられます。

y = logₐ g(x)
  = log g(x) / log a
  = (1 / log a) log g(x)
y′ = (1 / log a) (g′(x) / g(x))
   = g′(x) / (g(x) log a)

最後の分母は g(x) > 0 と log a ≠ 0 により 0 ではありません。特に g(x) = x なら、x > 0 で y′ = 1 / (x log a) です。公式を書けても、元の関数の定義されない点を答えに含めてはいけません。逆に、g′(x) = 0 であっても、真数が正で微分可能なら導関数は 0 になり得ます。

底の変換による導出と逆関数の考え方は整合します。a > 0、a ≠ 1 のとき a の y 乗は実数全体で一対一となり、正の値をとります。その逆が logₐ x です。対応する点で指数関数の導関数は x log a となり、x > 0 と log a ≠ 0 により 0 ではないので、逆関数の微分公式からも逆数 1 / (x log a) が得られます。底が 1 なら指数関数は定数となり、この逆対応自体が成立しません。

基本例題：一次式を真数にする

問：y = log₂(3x + 1) の定義域と導関数を求め、x = 1 での微分係数を分数と自然対数を用いて表してください。

まず底 2 は正で 1 と異なります。真数は正でなければならないため、定義域は次のように求まります。

3x + 1 > 0
x > -1/3

この範囲で 3x + 1 は正で微分可能です。底の変換を用い、定数 1 / log 2 を外に置きます。

y = log(3x + 1) / log 2
  = (1 / log 2) log(3x + 1)
y′ = (1 / log 2)・3 / (3x + 1)
   = 3 / ((3x + 1) log 2)

図2のように、内側の 3x + 1 を微分して得た 3 が分子に入ります。分母の log 2 は定数として残ります。

x = 1 は定義域に入り、真数は 4 です。したがって図2の対応に代入すると、微分係数は次のとおりです。

y′(1) = 3 / ((3・1 + 1) log 2)
      = 3 / (4 log 2)

元の関数でも y(1) = log₂ 4 = 2 と確かめられます。x = -1/3 は真数が 0 なので元の関数に含まれません。微分後の分母が 0 になることだけで判断するのではなく、微分前の真数から境界を決めます。

標準例題：底が 1 より小さい場合

問：y = log₁₋₃(x² + 2x) の定義域と導関数を求め、x = -3 での微分係数を自然対数で表してください。ただし底の表記 log₁₋₃ は底 1/3 を意味します。

底 1/3 は正で 1 と異なります。真数を因数分解し、積が正になる範囲を調べます。

x² + 2x > 0
x(x + 2) > 0
x < -2 または x > 0

境界の -2 と 0 では真数が 0 ですから、どちらも含めません。各区間で真数は正かつ微分可能です。底の変換をして微分します。

y = log(x² + 2x) / log(1/3)
y′ = (1 / log(1/3))・(2x + 2) / (x² + 2x)
   = (2x + 2) / ((x² + 2x) log(1/3))

x = -3 は x < -2 を満たし、真数は 9 − 6 = 3 です。

y′(-3) = (-6 + 2) / (3 log(1/3))
       = -4 / (3 log(1/3))
       = 4 / (3 log 3)

最後に log(1/3) = -log 3 を使いました。元の関数に戻すと y(-3) = log₁₋₃ 3 = -1 です。底が 1 より小さいため log(1/3) は負ですが、x = -3 では真数の導関数も負なので、微分係数は正です。底の符号だけで答えを決めず、真数の変化も合わせて見ます。

発展例題：底の条件を使って定数を決める

問：a は正で 1 でない定数とします。関数 y = logₐ(x² + 5) の x = 2 における微分係数が 2 / log 3 であるとき、a を求めてください。

x² + 5 はすべての実数 x で正です。真数は実数全体で微分可能なので、指定された x = 2 でも公式を適用できます。

y = log(x² + 5) / log a
y′ = 2x / ((x² + 5) log a)
y′(2) = 4 / (9 log a)

与えられた値と等置し、分母が 0 でないことを使って整理します。

4 / (9 log a) = 2 / log 3
4 log 3 = 18 log a
log a = (2/9) log 3
a = 3 の 2/9 乗

最後は自然対数の逆対応を使いました。この a は正で 1 ではなく、底の条件を満たします。逆に log a = (2/9) log 3 を微分係数の式に戻すと、4 / (9 log a) = 2 / log 3 となります。元の関数では x = 2 の真数が 9 であり、計算した点で対数が定義されることも確認できます。

底を文字で置いたときも、x に関して微分する間は a を定数として扱います。条件から a の値を後で決めることと、微分中に a を x の関数とみなすことは異なります。条件を満たす底が存在するかどうかは、求めた値を底の条件へ戻して判定します。

条件が崩れたときの扱い

底が 0 や負の場合、ここで用いる実数の対数は定義されません。底が 1 の場合も、1 の何乗をとっても 1 となるため、一般の正の真数に対して指数を一意に決められません。したがって、どちらも微分公式へ代入してから判断することはできません。真数が 0 または負の場合も同様に、元の関数がその点で定義されないので微分係数を求める対象になりません。真数が正でも、内側の関数がその点で微分可能かは別に確認します。定義域の区間が分かれるときは、それぞれの区間で条件を確認してから同じ公式を用います。

間違いを式から直す

基本例題で、次のように書いたとします。

誤り: y′ = 3 / (3x + 1)

分子の 3 は真数を微分した結果ですが、底の変換で生じる 1 / log 2 が消えています。図3のように、自然対数に直した直後の定数係数と微分後の係数を照らし合わせます。

図3の正しい式は 3 / ((3x + 1) log 2) です。log 2 は x の関数ではないので微分すると 0 ですが、それは係数そのものを消すという意味ではありません。定数倍の微分では、係数を残して変数を含む部分を微分します。

別の誤りとして、底 1/3 について log(1/3) を正とみなすことがあります。1/3 は 1 より小さい正の数なので、その自然対数は負です。また真数が負であっても、微分後の分数式に数を代入できることがあります。しかし、その値は元の対数関数の微分係数ではありません。定義域は元の式から先に決め、最後にも戻ります。

練習問題

それぞれ定義域と導関数を求めてください。指定された値は、自然対数と分数を用いて表してください。底はすべて x によらない定数です。

1. y = log₅(2x − 7) について、x = 4 での微分係数も求めてください。
2. y = log₁₋₂(4 − x) について、x = 2 での微分係数も求めてください。底は 1/2 です。
3. y = log₇(x² − 9) について、x = 4 での微分係数も求めてください。
4. y = log₄(x² + 1) について、x = 0 での微分係数も求めてください。
5. a > 0、a ≠ 1 とし、y = logₐ(5x + 2) の x = 0 での微分係数が 5 / (4 log 2) となる底 a を求めてください。底は整数で表してください。

練習の解答と途中式

1. 底 5 は条件を満たします。真数の条件と導関数は次のようになります。

2x - 7 > 0
x > 7/2
y′ = 2 / ((2x - 7) log 5)
y′(4) = 2 / log 5

x = 4 で真数は 1、元の関数の値は 0 です。4 > 7/2 なので、指定点は定義域に入ります。境界 7/2 は真数が 0 となるため含めません。

2. 底 1/2 は正で 1 と異なります。真数が正である条件を解きます。

4 - x > 0
x < 4
y′ = -1 / ((4 - x) log(1/2))
y′(2) = -1 / (2 log(1/2))
      = 1 / (2 log 2)

指定点の真数は 2 なので、元の値は log₁₋₂ 2 = -1 です。真数の導関数と底の自然対数がともに負なので、得られた微分係数は正です。

3. 底 7 は条件を満たします。因数分解して真数の符号を調べます。

x² - 9 > 0
(x - 3)(x + 3) > 0
x < -3 または x > 3
y′ = 2x / ((x² - 9) log 7)
y′(4) = 8 / (7 log 7)

x = 4 で真数は 7 となり、元の関数の値は 1 です。x = -3 と x = 3 は真数が 0 のため、両方とも定義域から除きます。

4. 底 4 は条件を満たし、x² + 1 は実数全体で正です。真数はどの実数でも微分可能です。

y′ = 2x / ((x² + 1) log 4)
y′(0) = 0 / log 4
      = 0

x = 0 で真数は 1、元の関数の値は 0 です。真数の導関数が 0 になることは、対数の定義域から外れる理由にはなりません。

5. a は底の条件を満たす定数です。真数の条件から定義域を定めた後、指定点に代入します。

5x + 2 > 0
x > -2/5
y′ = 5 / ((5x + 2) log a)
y′(0) = 5 / (2 log a)
5 / (2 log a) = 5 / (4 log 2)
2 log a = 4 log 2
log a = 2 log 2
a = 4

4 は正で 1 と異なります。元の式で x = 0 の真数は 2、関数値は log₄ 2 = 1/2 です。a = 4 を微分係数に戻すと 5 / (2 log 4) = 5 / (4 log 2) となり、与えられた値と一致します。

要点

底 a は一定で、a > 0、a ≠ 1 とします。 真数 g(x) が正で微分可能な範囲を先に決めます。 導関数は g′(x) / (g(x) log a) です。 底が 1 より小さいと log a は負です。 答えを元の定義域と指定点に戻します。

式が止まったところを見分ける

底の条件を書けないときは、底の変換で log a が分母に現れる理由に戻ります。定義域で迷うときは、微分後の式を隠し、元の真数が正となる範囲を解き直します。個別指導で途中式を確かめる際にも、どの部分を定数として残し、どの部分を微分したかを指で追うと、抜けた因子を特定できます。底と真数を分ければ、対数の変化率は条件とともに読めます。