高校数学III 商の微分公式—分母の条件と分子の引く順を確かめる｜武蔵野個別指導塾

差商から分母の条件と分子の引く順をたどり、除外点を保って導く商微分です。

よくあるのは、演習ノートで商の分子に現れる二項を逆に引き、答えの符号を反対にしてしまう場面です。公式を覚えていても、どちらが先かを確かめないまま書くと、途中の計算が整って見えても結果は変わります。分母が0になる点を除く理由とともに、差商の通分から順を追い直しましょう。

どんな問いに現れるか

1つ目は、分子と分母がそれぞれ多項式の商の導関数を求める問いです。商の公式は、分子を微分した項から、分母を微分した項を引きます。分母は元の分母の2乗です。分子を整理した後も、最初に調べた定義域を答えに添えます。

2つ目は、商の差商を通分して公式そのものを導く問いです。変化後の商から変化前の商を引くので、通分した分子には変化後の分子と変化前の分母の積が先に現れます。そこへ同じ項を足して引くと、分子と分母それぞれの差商が見えます。

3つ目は、分子と分母に共通因子があり、約分後の式が除外点でも値を持つ問いです。約分は元の式が定義される範囲での等式であり、元の式に欠けていた点を埋める操作ではありません。別にその点の値を定める問題では、連続性と微分可能性を改めて調べます。

差商を分ける前に必要な条件

ある点 a の周りで f と g が定義され、どちらも a で微分可能で、g(a) ≠ 0 とします。商 F(x) = f(x)/g(x) について、a での公式は次の形です。

F′(a) = {f′(a)g(a) - f(a)g′(a)}/{g(a)}²

f′(a) と g′(a) はそれぞれの差商の極限です。a で微分可能な関数は a で連続なので、h → 0 のとき f(a+h) → f(a)、g(a+h) → g(a) です。特に g(a) ≠ 0 ですから、十分小さい h では g(a+h) も0になりません。したがって、a とその近くの点で商を使って差商を作れます。点 a における分母の条件を確認することは、単に答えの分母を見た目上0でなくするためではありません。

h ≠ 0 とし、g(a+h) ≠ 0 となる十分小さい h で、差商を通分します。以下では分数の外側の括弧が、どこまでを分母とするかを示します。

{F(a+h) - F(a)}/h
= {f(a+h)/g(a+h) - f(a)/g(a)}/h
= {f(a+h)g(a) - f(a)g(a+h)}/{h g(a+h)g(a)}

通分の分子の最初は f(a+h)g(a) です。元の差が F(a+h) − F(a) なので、前の分数の分子に後ろの分母を掛けたものが先になります。次に f(a)g(a) を足して引き、分子を2つの差に分けます。

f(a+h)g(a) - f(a)g(a+h)
= f(a+h)g(a) - f(a)g(a) + f(a)g(a) - f(a)g(a+h)
= g(a){f(a+h) - f(a)} - f(a){g(a+h) - g(a)}

両辺を h g(a+h)g(a) で割ると、差商は次の形です。

{F(a+h) - F(a)}/h
= [g(a){f(a+h) - f(a)}/h - f(a){g(a+h) - g(a)}/h]/{g(a+h)g(a)}

ここで Δf = f(a+h)-f(a)、Δg = g(a+h)-g(a) と置きます。図1のように、分子の変化に関する差商を含む項が先で、分母の変化に関する差商を含む項を後から引きます。分母では、変化後と変化前の g を掛けています。

図1の2つの差商は、仮定からそれぞれ f′(a)、g′(a) に収束します。また連続性により g(a+h)g(a) → {g(a)}² ≠ 0 です。極限の四則演算を使えるので、先の公式が得られます。変数 x の各点で同じ仮定が成り立つ範囲では、a を x に替えた形で書けます。

(f/g)′(x) = {f′(x)g(x) - f(x)g′(x)}/{g(x)}²

分母が微分可能でも、その値が0なら商はその点で定義されません。反対に、分母が0でないことだけでは、分子や分母の微分可能性は保証されません。公式の仮定は両方必要です。たとえば g(a) = 0 なら、上の差商の出発点 F(a) が存在しないため、この証明をそのまま使えません。

基本例題：一次式の商の符号

関数 y = (2x+3)/(x-4) の導関数を求め、分数の形で表してください。定義域も明記します。

分子を f(x) = 2x+3、分母を g(x) = x-4 と置きます。いずれも多項式なので各点で微分可能ですが、商が定義されるのは x-4 ≠ 0、つまり x ≠ 4 の範囲です。その範囲では公式の条件がそろいます。

f′(x) = 2
 g′(x) = 1
 y′ = {2(x-4) - (2x+3)・1}/(x-4)²
    = (2x-8-2x-3)/(x-4)²
    = -11/(x-4)²

図2のように、先の項は「分子の微分と元の分母」、後の項は「元の分子と分母の微分」です。後の項全体を引くので、括弧の中の +3 も -3 に変わります。答えは y′ = -11/(x-4)²、x ≠ 4 です。

元の式に x = 0 を戻すと y = -3/4 です。分子を逆順にした式は導関数を正にしますが、0 の近くで h > 0 として元の商を比較すると、差は -11h/{4(4-h)} となり、十分小さい h では負です。正の傾きという答えとは合いません。この点の確認は符号の誤りを見つける手掛かりですが、全範囲の証明は上の公式と計算によります。

標準例題：分子の整理を2通りで照合する

関数 y = (x²+2x+3)/(x+2) の導関数を、分母を (x+2)² とする1つの分数で求めてください。定義域も示します。

分子と分母は多項式なので微分可能です。分母 x+2 が0となる x = -2 は元の式から除き、それ以外で商の公式を使います。分子の導関数は 2x+2、分母の導関数は 1 です。

 y′ = {(2x+2)(x+2) - (x²+2x+3)・1}/(x+2)²
    = {2x²+6x+4 - x²-2x-3}/(x+2)²
    = (x²+4x+1)/(x+2)²

結果は x ≠ -2 で成り立ちます。引く括弧を外すとき、x²、2x、3 の各項に負号が付く点を確認してください。分子が2次式になったとしても、元の分母が0である点を答えに加えることはできません。

別の確認として、分子を x²+2x+3 = x(x+2)+3 と変形します。x ≠ -2 で y = x+3/(x+2) です。後ろの商を公式で微分すれば、次のように同じ答えに戻ります。

 y′ = 1 - 3/(x+2)²
    = {(x+2)²-3}/(x+2)²
    = (x²+4x+1)/(x+2)²

例えば x = 0 では元の関数値が 3/2、導関数の値が 1/4 です。2通りの式は同じ定義域で一致しますが、同じ計算の間違いを共有する可能性もあるので、通分前の式と元の分母も見直します。

発展例題：約分で消える点と値の追加

x ≠ 3 で F(x) = (x²-9)/(x-3) とします。まずこの範囲で F′(x) を求めてください。次に、x = 3 で F(3) = k と値を定めた関数について、x = 3 で微分可能となる実数 k とそのときの微分係数を求めてください。答えは整数で表します。

x ≠ 3 では分子と分母は微分可能で、分母は0でありません。商の公式で計算すると次の通りです。

 F′(x) = {2x(x-3) - (x²-9)・1}/(x-3)²
       = (2x²-6x-x²+9)/(x-3)²
       = (x²-6x+9)/(x-3)²
       = (x-3)²/(x-3)²
       = 1

最後に約分できるのは x ≠ 3 だからです。同じ範囲で元の関数は F(x) = x+3 とも書けます。この等式を x = 3 へ代入して元の商の値とすることはできません。元の商はその点では 0/0 であり、値を持たないからです。

別に値 k を与えた関数が x = 3 で微分可能なら、その点で連続です。x ≠ 3 で F(x) = x+3 なので、x → 3 のときの極限は 6 です。連続となる必要があるため k = 6 に限られます。k ≠ 6 では連続でないので、微分可能でもありません。

k = 6 が十分かどうかも差商で確かめます。h ≠ 0 なら 3+h ≠ 3 なので、追加前の式に約分を使えます。

 F(3+h) = (3+h)+3
        = 6+h
 {F(3+h)-F(3)}/h = {(6+h)-6}/h
                     = 1
 lim[h→0] {F(3+h)-F(3)}/h = 1

よって k = 6 のとき微分可能で、微分係数は 1 です。k = 6 は必要条件であると同時に十分条件でした。追加した値を確かめると、近くの式 x+3 に x = 3 を入れた値も 6 で、接続する値と一致します。ここでは、除外点を持つ元の商と、その点に値を追加した関数を区別して扱っています。

符号と定義域の誤りを直す

基本例題の y = (2x+3)/(x-4) について、次の計算は誤りです。

誤：y′ = {(2x+3)・1 - 2(x-4)}/(x-4)²
        = 11/(x-4)²

2つの項が正しい組合せでも、引く順序が逆です。差商は変化後の値から変化前の値を引いており、通分後は分子の変化を含む項から分母の変化を含む項を引きます。図3では、同じ2つの項を並べて順序を比較しています。

図3の正しい順へ戻すと、分子は 2(x-4) − (2x+3) = -11 です。x = 0 の近くで元の商が減るという基本例題の確認とも合います。単に最終行の符号を直すのではなく、最初の通分または公式の1行に戻って、どちらの項から引くかを直してください。

もう1つの誤りは、発展例題で約分して F(x) = x+3 と書いた後、元の商が x = 3 でも定義されるとすることです。式を変形する前に x ≠ 3 と記し、その条件を最後まで残します。値を新たに与える場合だけ、元の商とは区別して、接続点の連続性と差商を確認します。

練習問題

それぞれ導関数または微分係数を求め、指定された形で答えてください。分数関数では、元の定義域も書きます。

1. y = (3x-2)/(x+5) の導関数を1つの分数で求めてください。
2. y = (x²+1)/(x-2) の導関数を、分母が (x-2)² の1つの分数で求めてください。
3. x ≠ 4 で y = (x²-16)/(x-4) とします。この範囲の導関数を求め、元の関数の x = 4 における微分係数の有無も答えてください。
4. y = (x²+ax+2)/(x+1) について y′(0) = 3 となる実数 a を整数で求めてください。
5. y = (x+1)/(x²+2) の x = 1 における微分係数を既約分数で求めてください。

練習問題の解答と確認

1. 一次式どうしの商

分子と分母は多項式であり、x ≠ -5 では分母も0でありません。したがって商の公式を使えます。

 y′ = {3(x+5) - (3x-2)・1}/(x+5)²
    = (3x+15-3x+2)/(x+5)²
    = 17/(x+5)²

答えは 17/(x+5)²、定義域は x ≠ -5 です。x = 0 を元の式に入れると y = -2/5 です。変化後との差を実際に通分すると y(h)-y(0) = 17h/{5(h+5)} なので、差商は h → 0 で 17/25 に近づき、導関数に0を入れた値と一致します。

2. 二次式を含む商

分母が0でない条件は x ≠ 2 です。この範囲で分子と分母は微分可能なので、分子の後の括弧全体に負号を付けます。

 y′ = {2x(x-2) - (x²+1)・1}/(x-2)²
    = (2x²-4x-x²-1)/(x-2)²
    = (x²-4x-1)/(x-2)²

答えは (x²-4x-1)/(x-2)²、x ≠ 2 です。x = 0 では元の関数値は -1/2、得られた微分係数は -1/4 です。元の式は x ≠ 2 で x+2+5/(x-2) とも表せるため、その導関数 1-5/(x-2)² を通分すると同じ分子に戻ります。

3. 共通因子と除外点

x ≠ 4 で分子を因数分解してから計算します。この範囲では約分する因子が0でないので、商は x+4 と等しくなります。

 y = {(x-4)(x+4)}/(x-4)
   = x+4
 y′ = 1

答えは y′ = 1、x ≠ 4 です。x = 5 を元の式に入れると 9、約分した式でも 9 です。一方、元の関数は x = 4 で定義されないため、その点の微分係数はありません。近くの値が 8 に近づくことと、元の関数値が存在することは別です。

4. 微分係数から定数を決める

x = 0 では分母 x+1 が 1 なので商は定義され、分子と分母は微分可能です。まず一般の x ≠ -1 で商の公式を適用します。

 y′ = {(2x+a)(x+1) - (x²+ax+2)・1}/(x+1)²
 y′(0) = (a-2)/1
 3 = a-2
 a = 5

答えは a = 5 です。元の関数に戻すと y = (x²+5x+2)/(x+1)、y(0) = 2 です。さらに h ≠ 0、h ≠ -1 で差商を直接作り、指定された微分係数に戻ることを確かめます。

 {y(h)-y(0)}/h = [{(h²+5h+2)/(h+1)}-2]/h
                 = (h²+3h)/{h(h+1)}
                 = (h+3)/(h+1)
 lim[h→0] {y(h)-y(0)}/h = 3

この極限は問題の条件 y′(0) = 3 と一致します。定義域は x ≠ -1 で、確認に使った0はその中にあります。

5. 分母が常に正の商

実数 x に対し x²+2 > 0 なので、元の関数はすべての実数で定義されます。分子と分母は多項式だから微分可能で、商の公式を使えます。

 y′ = {(x²+2) - (x+1)・2x}/(x²+2)²
    = (x²+2-2x²-2x)/(x²+2)²
    = (-x²-2x+2)/(x²+2)²
 y′(1) = (-1-2+2)/9
        = -1/9

答えは -1/9 です。元の関数で y(1) = 2/3 と確認し、x = 1+h を代入した差商も調べます。

 {y(1+h)-y(1)}/h = [{(2+h)/(3+2h+h²)}-2/3]/h
                   = (-h-2h²)/{3h(3+2h+h²)}
                   = (-1-2h)/{3(3+2h+h²)}
 lim[h→0] {y(1+h)-y(1)}/h = -1/9

差商は元の関数値 2/3 を用いて作ったので、求めた値が指定された点の変化率に対応していることも確認できます。

手元に残す要点

• 公式は分子を微分した項から、分母を微分した項を引きます。
• 分子と分母の微分可能性と、元の分母が0でないことを先に確かめます。
• 差商の通分では、変化後の商から変化前の商を引く順を保ちます。
• 約分しても元の関数の除外点は残ります。
• 欠けた点に値を追加するときは、連続性と差商を別に調べます。

つまずきを見分けるには

答えの符号が不安なら、まず分子の2項を括弧付きで書き、最初の項が「分子の導関数と元の分母」かを見ます。括弧を外す前後で各項の符号が変わっているかを照らすと、逆順と展開ミスを区別できます。

除外点の扱いに迷うときは、変形前の分母を0にする値を先に書き、変形後の式の横にも残します。個別指導で確認する場合も、答えの式だけでなく、元の分母と差商の引く順を声に出して説明すると、どこで条件を落としたかをたどれます。商の微分では、式の順序と定義域が答えの意味を支えます。