高校数学III 中間値の定理—区間の連続性と端の符号から解の存在を示す｜武蔵野個別指導塾

3次方程式や対数を含む式、1/xの反例で、解の存在を考える手掛かりは連続性と中間値です。

よくあるのは、理系高3の演習ノートで、区間の両端に代入した値が正と負に分かれたところを見て、すぐに「この間に解がある」と書く場面です。連続なグラフなら横軸を横切りそうですが、途中に切れ目がある関数では、負の側から正の側へ値が飛ぶこともあります。どの区間の連続性を確かめたのかを一行加えるだけで、見た目の予想を定理に支えられた答案に変えられます。

数学IIIの極限では、関数の値の極限を通して連続性を考えます。ここでは連続関数がとる値から方程式の解の存在を示し、解の個数を決める問題とは区別します。

どのような問いに使うか

まず、方程式を f(x) = 0 と整理し、指定された区間の内側に解があると示す型があります。3次式などは、解を正確な式で求めなくても、端で異符号になる区間を見つければ存在を証明できます。端の値が0の場合は、その端点が解です。ただし、開区間内に解があるという結論までは、端点で0になったことだけでは出せません。

次に、対数や分数を含む式で、定義域を確認して区間を選ぶ型があります。たとえば対数を含むなら、区間の両端が正でも、その区間全体が正の範囲に入っていることを明記します。分数では、分母が区間内で0にならないかが先です。端の符号を計算する前に、使える区間を選ぶ順序を守ります。

さらに、解があるかどうかと、解が何個あるかを分ける問いがあります。中間値の定理が直接保証するのは、指定した中間の値をとる点が少なくとも1つあることです。ちょうど1つであることや、何個もあることを言うには別の根拠が必要です。存在を示した後に「よって唯一」と書かず、結論の範囲を問題文と照らします。

端の間にある値を保証する条件

a < b とし、関数 f が閉区間 [a, b] の全体で連続であるとします。このとき f(a) と f(b) の間の任意の数 k に対して、ある c が [a, b] に存在し、f(c) = k が成り立ちます。k が両端の値と異なる、真に間の値なら、c は開区間 (a, b) にとれます。両端の大小が逆でも、間にあるという条件は同じです。

特に f(a) < 0 < f(b)、または f(b) < 0 < f(a) なら、0 は両端の値の真の中間にあります。よって a < c < b を満たす少なくとも1つの c について f(c) = 0 です。f(a)・f(b) < 0 と書いても、両端が異符号であることを表せますが、答案ではそれぞれの値を示すと計算の誤りも点検できます。

図1のように、連続な曲線では端の高さの間にある高さを途中でとります。これは図の形を根拠にするのではなく、閉区間全体の連続性を仮定した定理の結論です。曲線が途中で折れ返しても結論は変わらず、同じ高さを何回通るかは定理だけでは決まりません。

図1の k は必ずしも0ではありません。方程式 f(x) = k の存在を示すときは、g(x) = f(x) − k と置き換えるか、f(a) と f(b) の間に k があると直接示せます。横軸との交点だけに定理を限定しないでください。

連続性の確認には、関数の種類と区間の両方が必要です。多項式は実数全体で連続です。自然対数 log x は x > 0 で連続、分数は分母が0でない範囲で連続です。それらの和も、構成する式が定義され連続な範囲で連続です。閉区間の端では、区間の内側からの連続性を含め、全点で条件を満たしていることを確認します。

端の符号が同じときは、異符号を使うこの方法では結論を出せません。しかし、それは解がないという証明ではありません。両端で正でも、途中で0に触れたり負へ下がったりする関数があります。定理の条件が成立しない場合と、定理の結論が偽である場合を混同しないことが重要です。

区間を自分で探す場合は、まず定義域の中から計算しやすい2点を選びます。そこで異符号にならなければ、別の点を試します。ただし、正と負の点が見つかっても、その間に未定義点があれば閉区間全体の連続性を調べ直さなければなりません。特に分母を含む式では、端の代入値が計算できることは途中の分母が0にならない保証になりません。

また、閉区間に連続な関数で f(a) = 0、f(b) > 0 の場合、a は確かに方程式の解です。それでも内側に別の解があるとは限りません。例えば f(x) = x を [0, 1] で考えると、左端は0、右端は正ですが、0 < x < 1 では f(x) > 0 です。端の値が0の場合と、端が厳密に異符号の場合では、解の位置について言えることが異なります。

実数全体での解の存在を示す場合も、定理を使うときには有限の閉区間を用意します。定義域の条件を満たす2点を選び、その間で連続か調べると、見つかった解はもちろん実数全体の解でもあります。一方、ある区間で1つ見つけても、ほかの区間に解がないことまではわかりません。必要な結論が「存在」か「個数」かを問題文で先に確かめます。

基本例題：3次方程式の解を挟む

問題。方程式 x³ + x − 5 = 0 が、開区間 (1, 2) に少なくとも1つの実数解をもつことを示してください。解の存在を結論とし、解を根号などで表す必要はありません。

解答。まず左辺を関数にします。

f(x) = x³ + x - 5

f は多項式なので、閉区間 [1, 2] の全体で連続です。指定された区間の端を代入し、それぞれを計算します。

f(1) = 1³ + 1 - 5
     = 1 + 1 - 5
     = -3 < 0

f(2) = 2³ + 2 - 5
     = 8 + 2 - 5
     = 5 > 0

したがって f(1) < 0 < f(2) です。中間値の定理により、1 < c < 2 かつ f(c) = 0 となる c が少なくとも1つ存在します。f の定義を元に戻せば、c³ + c − 5 = 0 です。これが、求められた開区間内での解の存在です。

図2は、横軸を x、縦軸を f(x) としたときの関係です。図2の両端の高さは計算した -3 と 5 に対応します。交点の位置は計算で得た厳密な値ではありませんが、連続性と異符号によって両端の間に少なくとも1点あると保証されます。

存在する区間をさらに狭めるなら、その中で別の点を選び、値の符号を調べ直せます。たとえば x = 3/2 では、

f(3/2) = (3/2)³ + 3/2 - 5
       = 27/8 + 12/8 - 40/8
       = -1/8 < 0

f(2) > 0 と合わせれば、今度は (3/2, 2) に解があるといえます。各段階で使う区間は前の区間に含まれ、連続性も保たれています。小数で候補を挙げるだけではなく、代入した値の符号まで確かめることが、挟む操作の根拠です。

一方、f(1) が負、f(2) が正であることだけから、解が1個しかないとは結論できません。実際のこの式について別の方法で個数を調べることはできますが、ここで使った定理そのものの結論は存在です。問題の要求が存在であれば、不要な個数の主張を加えずに終えます。

標準例題：対数の定義域から区間を選ぶ

問題。自然対数を log と表します。方程式 log x + x − 3 = 0 が、開区間 (1, 3) に少なくとも1つの実数解をもつことを示してください。log 3 > 0 は、自然対数が正の範囲で増加し log 1 = 0 であることから用いてよいものとします。

解答。左辺を g(x) と置きます。

g(x) = log x + x - 3

log x の定義域は x > 0 です。閉区間 [1, 3] の各点は正なので、log x はその全体で連続です。x − 3 も連続であるため、和 g も [1, 3] 全体で連続です。端の代入だけを確認して、区間の途中の定義域を省略しないようにします。

g(1) = log 1 + 1 - 3
     = 0 + 1 - 3
     = -2 < 0

g(3) = log 3 + 3 - 3
     = log 3
     > 0

中間値の定理により、1 < c < 3 かつ g(c) = 0 となる c が存在します。元の式に戻すと log c + c − 3 = 0 であり、c > 1 なので log c の真数条件も満たします。したがって要求された区間内に少なくとも1つの実数解があります。

区間の選び方には意味があります。右端を3にすると、一次式の部分が0になり、log 3 の正負だけで判断できます。左端の1では対数が0になるため、両端の符号を正確に比較できます。小数近似を出して正負を推測するより、正確な符号を示せる端点を探すと答案が明快です。

たとえば負の数を左端に採用すると、log x がその点で定義されないため、この関数の閉区間として扱えません。途中に0を含む区間も同様です。端の片方が扱えることと、定理を適用できることは別です。対数の記号を見たら、最初に x > 0 を書き、区間がその条件の内側に収まるかを確認します。

発展例題：符号が逆でも解がない場合

問題。関数 h(x) = 1/x について、h(-2) と h(2) の符号を調べ、方程式 1/x = 0 が -2 < x < 2 に実数解をもつといえるか判定してください。中間値の定理の条件も答えてください。

解答。まず両端の値は、

h(-2) = 1/(-2)
      = -1/2 < 0

h(2) = 1/2
     > 0

確かに両端は異符号です。しかし h は x = 0 で定義されません。0 は閉区間 [-2, 2] に含まれるので、h はこの閉区間全体で連続ではありません。中間値の定理をこの区間へ適用するための条件が欠けています。

さらに、解の有無を元の方程式で直接調べます。もし 1/x = 0 を満たす実数 x があれば、定義域より x ≠ 0 です。両辺に x を掛けると、

1/x = 0
1 = 0・x
1 = 0

これは成り立ちません。したがって、この方程式に実数解はなく、特に指定された開区間にも解はありません。条件不足なので定理を使えない、という判断に加え、元の式に戻して解がないことまで示しました。

ここで区別したいのは、連続性が欠けたら必ず解がない、というわけでもない点です。連続性が欠ける場合は定理の保証が使えず、その関数ごとに別の方法で調べます。この h では分子が常に1であるため、実際に0をとりません。一般的な条件の不足と、この例の具体的な結論を分けて書きます。

誤答をどこで直すか

誤答として、発展例題に対し「h(-2) < 0、h(2) > 0。よって中間値の定理から -2 < x < 2 に 1/x = 0 の解がある」と書いたとします。端の値の計算は正しくても、最後の推論は正しくありません。0 で関数が定義されず、閉区間全体の連続性が成り立たないためです。

図3のように、グラフは x = 0 を境に左右の枝へ分かれます。左の枝は横軸の下、右の枝は横軸の上にあり、どちらも横軸と交わりません。図3に見える縦軸は関数の値を示す線ではなく、関数が定義されない x = 0 の位置です。無理に左右を線で結ぶと、存在しない交点を描くことになります。

修正するときは、まず「[-2, 2] に x = 0 があり、そこで h は未定義」と記します。次に、中間値の定理はその閉区間には適用できないと説明します。最後に、1/x = 0 なら 1 = 0 となる矛盾を示します。定理を使えない理由と、実際に解がない理由の2つを埋めて初めて、誤答が修正されます。

逆に、穴がないことを図で見たつもりでも、式に分母や対数が含まれているなら定義域を調べます。定義されない点が端にあれば、そこでの関数値自体を定理の端の値として使えません。端の値、途中の連続性、結論として求められた区間の3箇所を順に点検すると、符号だけで判断する誤りを避けられます。

練習問題

次の5問は、いずれも存在や適用条件を答えてください。存在を示す問題では、閉区間の連続性と端の値を示し、必要以上に解の個数を主張しないことにします。

1. 方程式 x³ + 2x − 7 = 0 が (1, 2) に少なくとも1つの実数解をもつことを示してください。
2. 自然対数を log とします。方程式 log x + x − 2 = 0 が (1, 2) に少なくとも1つの実数解をもつことを示してください。log 2 > 0 を用いてよいものとします。
3. f(x) = x² − 6x + 8 とします。中間値の定理を区間 [1, 5] に適用できるか、端の異符号から f(x) = 0 の存在を示せるか、実際の解があるかをそれぞれ答えてください。
4. p(x) = (x + 1)/(x − 1) とします。p(0)、p(2) の符号を求め、[0, 2] で端の異符号から中間値の定理を使えるか判定してください。さらに p(x) = 0 の解が (0, 2) にあるか答えてください。
5. q(x) = x² + x とします。q(x) = 10 の解が (2, 3) に少なくとも1つあることを、求める値10を用いた中間値の定理で示してください。

練習問題の答えと考え方

1. 多項式の両端を代入する

F(x) = x³ + 2x − 7 は多項式なので、[1, 2] 全体で連続です。端の値は次のとおりです。

F(1) = 1³ + 2・1 - 7
     = 1 + 2 - 7
     = -4 < 0

F(2) = 2³ + 2・2 - 7
     = 8 + 4 - 7
     = 5 > 0

中間値の定理により 1 < c < 2 で F(c) = 0 となる c が存在します。F(c) = 0 を元へ戻すと c³ + 2c − 7 = 0 です。端のどちらも0ではないので、得られる解は開区間の内側にあります。

2. 対数の真数と符号を確認する

G(x) = log x + x − 2 は、正の数からなる [1, 2] 全体で連続です。端での値は、

G(1) = log 1 + 1 - 2
     = -1 < 0

G(2) = log 2 + 2 - 2
     = log 2 > 0

よって中間値の定理により、1 < c < 2 で G(c) = 0 となる c が存在します。この c は正なので log c は定義され、元の方程式 log c + c − 2 = 0 の解です。区間全体が定義域内にあることも条件に含めています。

3. 同符号と解の不存在を混同しない

f は多項式なので [1, 5] 全体で連続であり、中間値の定理自体は適用できます。ところが端の値は同符号です。

f(1) = 1² - 6・1 + 8
     = 3 > 0

f(5) = 5² - 6・5 + 8
     = 3 > 0

0 は両端の値の間にはないので、この両端の異符号を使う方法で解の存在を示すことはできません。実際には因数分解から、

f(x) = (x - 2)(x - 4)
f(x) = 0 の解は x = 2 または x = 4

どちらも (1, 5) にあり、元の式に代入するとそれぞれ 4 − 12 + 8 = 0、16 − 24 + 8 = 0 です。異符号でないことは、解がないことの証明にはなりません。

4. 不連続点と方程式の解を別々に調べる

両端の値は、

p(0) = (0 + 1)/(0 - 1)
     = -1 < 0

p(2) = (2 + 1)/(2 - 1)
     = 3 > 0

しかし x = 1 で分母が0になり、p は [0, 2] 全体で連続ではありません。この閉区間に端の異符号を根拠とする定理を適用できません。

方程式 p(x) = 0 では、定義域の x ≠ 1 で分子が0になる必要があります。

x + 1 = 0
x = -1
p(-1) = (-1 + 1)/(-1 - 1)
      = 0/(-2)
      = 0

解 -1 は (0, 2) の外です。したがって、求める開区間内に解はありません。端の符号の計算は正しくても、途中の未定義点によって推論が成立しない例です。

5. 0以外の中間値を使う

q は多項式なので [2, 3] 全体で連続です。端の値を比較すると、

q(2) = 2² + 2
     = 6

q(3) = 3² + 3
     = 12

6 < 10 < 12

中間値の定理より、2 < c < 3 で q(c) = 10 となる c が存在します。q の定義に戻せば c² + c = 10 です。端の値6と12の間に求める値10があるため、解は開区間内にあります。q(x) − 10 の両端の符号を調べても同じ結論になります。

要点

連続性は、選んだ閉区間の端から端まで確認します。 端の値が異符号なら、その間で0をとる点が少なくとも1つあります。 端が同符号でも解がないとは限らず、定義されない点を挟めば定理を適用できません。 存在の証明と個数の判定を分け、求めた点を元の条件に戻します。

ノートのどこを見るか

途中式を見直すときは、最初に「連続」と書いた直後の区間を丸で囲みます。次に、分母の0や対数の真数を調べた行と、端点の代入行がその区間に対応しているかを確かめます。開区間の解を求めているのに、端点で0になったことを内側の解の証明にしていないかも確認します。

個別指導で確認するなら、まず端の符号だけを書いた答案に対し、連続性が欠けると何が起こるかを逆数のグラフで説明できるかを見ます。次に、同符号でも解をもつ練習3を使い、定理の条件と結論の逆を区別できるかを確かめます。最後に、定理が保証した点を元の方程式と指定された区間へ戻せれば、存在を示す答案の根拠がつながります。