高校数学III 無限大になる関数の極限—分母の符号表で左右の発散を判定する｜武蔵野個別指導塾

一次・二乗・三乗の分母を左右から0へ近づけ、因数の符号と商の絶対値から発散の向きを決めます。

よくあるのは、理系の高3が演習ノートで分母を0に近づけ、左右で符号が違っても答えを一括して無限大と書く場面です。分母が小さいことは商の絶対値が大きくなる理由ですが、それだけでは正負は決まりません。どちら側から近づくのかを先に決め、分子と分母の符号を別々に追うと、答えの向きを説明できます。

符号を調べる場面を見分ける

分数式でxをある数aに近づけるとき、分子が0でない数に近づき、分母が0に近づく場合を考えます。まず左右それぞれで分母が正か負かを調べます。分子も近くで正か負かを確認し、商の符号を決めます。そのうえで商の絶対値が限りなく大きくなることを述べます。

出方の1つは分母がx-aのような一次式の場合です。aの左では負、右では正なので、分子の符号が変わらなければ左右で商の符号が反転します。もう1つは(x-a)²のような偶数乗です。a以外では両側とも正なので、分子の符号が同じなら発散の向きも同じです。

分母が複数の因数の積なら、0に近づく因数だけでなく、残りの因数の符号も必要です。別の因数が負なら符号が反転するからです。分子も0に近づく場合はこの判断をそのまま使えません。因数分解などで式を調べ直す必要があります。

0への近づき方を記録する

x→a-はaより小さい値からaに近づくこと、x→a+はaより大きい値から近づくことです。記号のマイナスやプラスはx自体の符号ではありません。例えばaが負でも、aの右側のxが負であることはあります。

f(x)→+∞とは、xを指定された側から十分aに近づければ、f(x)がどんな正の数よりも大きくなることです。f(x)→-∞も同様に、どんな負の数よりも小さくなることを表します。どちらも有限の値に収束するという意味ではなく、発散の向きを表します。∞は実数ではないので、0で割った答えとして普通の数のように計算しません。

分子が0でない数cに近づくと、aの十分近くでは分子の絶対値は例えば|c|/2より大きく、符号はcと同じです。一方、分母の絶対値は0に近づきます。したがって商の絶対値はどこまでも大きくなり、商の正負は分子と分母の符号で決まります。符号と大きさの2つをそろえることが説明の要です。

図1のように、分母が一次の因数なら左右の符号が逆になり、その2乗なら両側で正です。点a自体ではどちらも分母が0なので、分数式は定義されません。極限では点の値ではなく、点を除いた近くの値を調べます。

図1の左右はaの近くに限った符号です。積の場合には、各因数について同じように正負を書き、最後に掛け合わせます。たとえ左右の答えが同じ符号の無限大でも、有限値に収束したとは言いません。

判定を使える範囲

分母が0に近づくという情報は、分母が実際に0になるという意味ではありません。極限を調べるときは、分母が0となる点を除き、その周りの定義域にある値を使います。片側の近くに定義域がなければ、その側からの値を並べて調べることはできません。左右を記す前に、両側で式が定義されるかを見る習慣が役立ちます。

分母が小さくても分子も一緒に小さくなると、商の絶対値が大きくなるとは限りません。たとえばxが0でないところでx/x = 1です。分子と分母はともに0に近づきますが、商は常に1です。一方、1/xでは分子が1のままなので、分母の絶対値が小さくなるにつれて商の絶対値は大きくなります。見た目が同じ「0に近い分母」でも、分子を調べることが結論の分かれ目です。

符号表は無限大になること自体の証明ではありません。正の値が並んでいても、それが1に近づく場合や0に近づく場合があります。正負を調べる作業と、絶対値が大きくなる作業を別に書けば、その取り違えを避けられます。分母が積なら、0に近づく因数以外が有限の0でない数へ向かうことも確かめます。

基本例題：一次の分母

次の関数について、x→1-とx→1+の極限をそれぞれ求め、発散の向きを答えてください。

f(x) = 2/(x-1)

分母が0になるx = 1では定義されません。分子2は正で、0には近づきません。まず左側ではx < 1なので、x-1 < 0です。右側ではx > 1なので、x-1 > 0です。

x→1- のとき  x-1→0、x-1 < 0
2/(x-1) < 0
|2/(x-1)| = 2/|x-1| → +∞
したがって lim[x→1-] 2/(x-1) = -∞

x→1+ のとき  x-1→0、x-1 > 0
2/(x-1) > 0
|2/(x-1)| = 2/|x-1| → +∞
したがって lim[x→1+] 2/(x-1) = +∞

図2のように、左の枝は下へ、右の枝は上へ伸びます。例えばx = 0では値が-2、x = 2では値が2です。さらに1に近づけば分母の絶対値は小さくなり、それぞれ負と正のまま絶対値が大きくなります。両側の向きが異なるため、左右をまとめて同じ無限大への発散とは書けません。

図2の縦の線はx = 1の位置を示します。枝がその線を横切るという意味ではありません。元の式でx = 1を代入すると分母が0になることと、左右の枝が別々に伸びることが対応します。

標準例題：2乗で符号がそろう場合

次の関数のx→-2-とx→-2+の極限を、発散の向きで答えてください。

g(x) = -3/(x+2)²

分母が0になるx = -2を除き、(x+2)²は正です。近づく方向でx+2の符号は変わりますが、2乗するとどちらも正になります。分子は負の定数ですから、商は両側で負です。

x→-2- のとき  x+2 < 0
(x+2)² > 0、(x+2)²→0
-3/(x+2)² < 0
|-3/(x+2)²| = 3/(x+2)² → +∞
lim[x→-2-] -3/(x+2)² = -∞

x→-2+ のとき  x+2 > 0
(x+2)² > 0、(x+2)²→0
-3/(x+2)² < 0
|-3/(x+2)²| = 3/(x+2)² → +∞
lim[x→-2+] -3/(x+2)² = -∞

例えば-2からの距離が1の2点、x = -3とx = -1では、どちらも値は-3です。距離が1/2なら分母は両側とも1/4になり、値は-12です。元の式に戻しても、左右とも下向きに大きくなる結論と一致します。左右が同じだからといって有限の極限値があるわけではありません。

発展例題：他の因数の符号も使う

次の関数について、x→-1-、x→-1+、x→2-、x→2+の極限をそれぞれ発散の向きで答えてください。

h(x) = (x+4)/((x-2)(x+1))

定義されない点はx = -1とx = 2です。分子はそれぞれの点で3、6になるので、両点の十分近くで正です。分母の因数は点をまたぐたびに符号が変わります。区間ごとに、元の因数をそれぞれ調べます。

x < -1 では  x-2 < 0、x+1 < 0
(x-2)(x+1) > 0
-1 < x < 2 では  x-2 < 0、x+1 > 0
(x-2)(x+1) < 0
2 < x では  x-2 > 0、x+1 > 0
(x-2)(x+1) > 0

x→-1ではx+1が0に近づき、x-2は-3に近づきます。分母全体は0に近づき、上の符号は左で正、右で負です。分子は3に近づくので商の絶対値は限りなく大きくなります。

lim[x→-1-] (x+4)/((x-2)(x+1)) = +∞
lim[x→-1+] (x+4)/((x-2)(x+1)) = -∞

x→2ではx-2が0に近づき、x+1は3に近づきます。分母の符号は左で負、右で正です。分子は6に近づくので、こちらでも商の絶対値は限りなく大きくなります。

lim[x→2-] (x+4)/((x-2)(x+1)) = -∞
lim[x→2+] (x+4)/((x-2)(x+1)) = +∞

符号表は区間全体で分母の符号を表していますが、分子が正という説明は2点の近くで用いました。例えばx = -2、0、3を代入した分母はそれぞれ4、-2、4で、表と一致します。各指定点でゼロにならない因数まで確認したので、4つの向きを元の式に戻して区別できます。

誤答を符号から直す

基本例題で「x→1なら分母は0だから、2/(x-1)→+∞」とする答案を考えます。分母が0に近づくことから商の絶対値が大きくなる点は合っています。しかし、分母が正の側から近づくか負の側から近づくかが抜けています。

図3のように、x = 1の左でx-1は負、右で正です。分子2は両側で正なので、左の商は負、右の商は正です。よって左は-∞、右は+∞と直します。分母を単に0と置き、2/0という数を計算したわけではありません。

図3の分岐を答案に書くときは、符号だけでなく絶対値が限りなく大きくなる理由も添えます。なお分子が0に近づく式では、この分岐だけで結論を出せません。例えば分子と分母が同じ一次因数なら、定義域で約分した後の値を調べる必要があります。

符号表を作る際は、まず分母を0にする点を小さい順に並べます。各区間で試しの値を1つ選ぶ方法もありますが、因数ごとの正負を残すと、なぜ符号が変わるかを説明できます。因数が2乗ならその点を挟んでも符号は変わらず、3乗なら変わります。試しの値の代入は、作った表の確認にも使えます。点の近くで分子の符号が変わらないことも、表を使う前に別に確かめます。

練習問題

各問は、指定された片側の極限を求め、有限値なら分数または整数で、発散するなら正負の向きで答えてください。

1. x→3-、x→3+における5/(x-3)。
2. x→4-、x→4+における7/(x-4)²。
3. x→-3-、x→-3+における-4/(x+3)³。
4. x→1-、x→1+における(x+2)/((x-1)(x+5))。
5. x→-2-、x→-2+における(x+2)/(x+2)²。

解答とたどり方

1. 分子5は正で、分母は左で負、右で正です。絶対値は両側で限りなく大きくなるため、答えは順に-∞、+∞です。x = 3を除く元の式では分母の符号がそのまま商の符号を決めます。

2. 分母は4以外で正、分子も正です。分母が0に近づくので答えは順に+∞、+∞です。左右でx-4の符号は異なりますが、2乗した元の分母はどちらも正です。

3. x+3の3乗はx+3と同じ符号です。分子は負なので左の商は正、右の商は負です。分母の絶対値が0に近づくため、答えは順に+∞、-∞です。元の3乗を偶数乗と取り違えないようにします。

4. x = 1の近くではx+2とx+5はいずれも正で、x-1の符号は左が負、右が正です。分子は3、x+5は6に近づくので、商の絶対値は大きくなります。答えは順に-∞、+∞です。元の分母の残る因数x+5も正であることを使っています。

5. 分子も分母も0に近づくため、最初から非ゼロを0で割る型にはできません。x ≠ -2で約分すると1/(x+2)です。左で負、右で正となり、答えは順に-∞、+∞です。約分前の式もx = -2では定義されず、近くの各点では約分後と等しいことを確認します。

手元に残す要点

分子が0でない値に近づくことを確認します。
分母の各因数について左右の符号を調べます。
商の符号と、絶対値が限りなく大きくなる理由を合わせます。
分子も0に近づくときは式を整理してから判定します。

途中式のどこを見るか

符号を反対に書いたときは、答えの行から戻って、どの因数の符号を決めたかを確認します。特に負の点の右側では、xが正とは限りません。点との差が正という事実とx自体の正負を別に書くと、混同した箇所が見えます。

個別指導では、分母の因数ごとに左右の符号を書いてもらい、その後で分子の近づく値と商の絶対値を説明してもらいます。2乗と3乗を比べる問い、分子も0になる問いを続ければ、符号の計算と適用条件のどちらで止まっているかを区別できます。左右の符号を追う一行が、発散の向きを決めます。