高校数学C 複素数と図形—回転と距離の式から点の位置と軌跡を求める｜武蔵野個別指導塾

原点以外を中心とする回転や、分母が0になる点を除く軌跡を例題でたどり、位置関係を式に映す鍵は複素数と図形です。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が原点以外の点を中心に回転する問題で、中心を引き忘れてしまう場面です。複素数に i をかけると原点のまわりで回転することは覚えていても、中心が動くと式の意味を見失うことがあります。点の位置をそのまま回すのではなく、中心からの差を回すと考えると、図と式を対応させられます。

問題文から選ぶ二つの入口

点の回転を問う問題では、中心、回転前の点、回転後の点に対応する複素数を分けます。中心から見た矢印に倍率と回転を施し、最後に中心へ戻すのが基本です。回転角の正負も、反時計回りを正として図に記します。

もう一つの型は、条件を満たす点全体、つまり軌跡を求める問題です。2点からの距離が等しければ垂直二等分線、一定の点からの距離が一定なら円が候補です。商の実部や虚部が条件に出る場合も、実数と虚数に分ければ座標の式に直せます。ただし式の変形中に、もとの商の分母が0となる点を紛れ込ませないようにします。

どちらの型でも、式を出した時点で終わりではありません。得られた図形上の点が、もとの条件を満たすかまで戻って確かめます。特に分母が0になる点や、偏角を考えられない零の差は、図では見落としやすい境目です。

中心からの差が表す矢印

複素数平面で点 A、P、Q に対応する複素数をそれぞれ a、z、w とします。差 z-a は A から P への向きと長さを持つ複素数です。w-a も同様に A から Q への矢印です。点の座標そのものと、2点の差を混ぜないことが出発点です。

図1のように、A を中心に P を反時計回りに90度回して Q に移すと、矢印 AP に i をかけたものが矢印 AQ になります。したがって w-a=i(z-a) です。左辺にも a を引くのは、回転後も中心から見た差を表すためです。一般に倍率 r、回転角 θ のときは、差に r(cos θ+i sin θ) をかけます。

図1では2本の矢印が同じ長さで直角です。中心 A が原点なら a=0 となり、式は w=iz に簡単になります。a が0でなければ、この簡単な式をそのまま使うと原点のまわりの回転になってしまいます。逆に、a を引いてから回して a を足せば、中心そのものは動きません。

商 (z-a)/(b-a) は、a と b が異なるとき、矢印 AB に対する矢印 AP の倍率と向きの差を表します。商が実数なら2本は同一直線上にあります。商が純虚数で0でなければ2本は垂直です。z=a では商は0となり偏角を定められないので、垂直の角を使う条件では別に扱います。

距離は絶対値で表します。|z-a| は P と A の距離であり、負にはなりません。例えば |z-a|=|z-b| は A と B から等距離という条件です。a と b が異なればその軌跡は線分 AB の垂直二等分線です。a=b なら条件は平面のどの点でも成り立つため、点が異なるという前提を確かめます。

回転角と距離を別に読む

差にかける複素数の絶対値が1なら、中心からの距離は変わりません。絶対値が2なら距離は2倍、絶対値が1/2なら距離は半分です。角度だけを読んで倍率を忘れると、向きが正しくても点の位置は合いません。回転という指定では倍率が1であることを確認してから式を書きます。

反時計回りの90度には i、時計回りの90度には -i を使います。例えば差が u+vi なら、i 倍は -v+ui です。横成分と縦成分の入れ替えに加えて、もとの縦成分の符号が変わります。-i 倍なら v-ui となり、反対向きです。座標の矢印を小さく描くと、符号の取り違えを見つけられます。

中心と回転前の点が一致すると差は0です。この場合はどの角度で回しても中心にとどまります。一方、零ベクトルの向きや偏角を使って角度を判定することはできません。式で点を移す操作と、2本の矢印が作る角の判定では、零の差の扱いが違います。

距離の条件を図に戻す

|z-a|=r では、r が正なら中心 a、半径 r の円です。r=0 なら中心の1点、r が負なら距離が負になれないので該当する点はありません。文字で半径が与えられた問題では、円と書く前にその符号を見る必要があります。

また、距離の等式を2乗するときは、両辺が距離であり0以上であることが根拠です。得られた座標の式から戻るときも、平方が等しい2つの距離がともに0以上なので元の距離は等しくなります。この往復を意識すると、計算で得た図形に余分な部分がないか判断できます。

商を図形で読む際は、分母の差がどの矢印かにも注意します。割る順番を逆にすると偏角の差の符号が逆になり、回転の向きも逆に読んでしまいます。基準となる矢印を先に図へ書き、その先を分子の矢印と比べると順番を保てます。実部や虚部を計算するときも、最初に分母が0でない条件を置いておけば、変形後の式を読み直せます。

基本例題：原点以外で90度回す

点 A に対応する複素数を 1+i、点 P に対応する複素数を 3+2i とします。P を A のまわりに反時計回りに90度回した点を Q とします。Q に対応する複素数を実部と虚部が整数の形で求めてください。

図2のように、最初に A から P への差を作ります。A は (1,1)、P は (3,2) ですから、右に2、上に1の矢印です。これを90度回すと左に1、上に2の矢印になり、Q は A からその矢印の先にあります。

Q に対応する複素数を w と置きます。中心を引いた差について、回転の条件は次の式です。

w-(1+i)=i{(3+2i)-(1+i)}

右辺の括弧を整理すると、回転前の矢印は 2+i です。i²=-1 を使って順に計算します。

i(2+i)=2i+i²=-1+2i

よって、中心を戻すと次のようになります。

w=1+i+(-1+2i)=3i

答えは 0+3i、すなわち 3i です。実部が0ですから Q は虚軸上の点 (0,3) です。図2の Q の位置と一致します。

答えを条件へ戻しましょう。Q から A を引くと -1+2i、P から A を引くと 2+i です。前者は後者の i 倍で、長さの2乗はどちらも5です。差の成分の積の和も 2×(-1)+1×2=0 なので垂直です。向きも (2,1) から (-1,2) へ反時計回りに90度であり、指定の回転に戻ります。

たとえば誤って w=i(3+2i) と計算すると -2+3i です。これは原点からの矢印を回した結果で、A から Q への長さは元の長さと合いません。回転の中心が式のどこに現れるかを見れば、この違いに気づけます。

条件が商になる軌跡

点 P に対応する複素数を z とします。商 (z-2)/(z+2) が純虚数になるとき、P の軌跡を円の中心と半径を用いて表し、除く点があれば明記してください。ここでは純虚数を、実部が0で虚部が0でない複素数とします。

まず分母から z≠-2 です。また商が0では純虚数という指定を満たさないので z≠2 も必要です。P を (x,y)、すなわち z=x+yi と置き、分母の共役複素数を上下にかけます。

(z-2)/(z+2) = {(x-2)+yi}{(x+2)-yi}/((x+2)²+y²)

分子の実部は (x-2)(x+2)+y²=x²+y²-4、虚部は 4y です。分母は z≠-2 のもとで正です。したがって実部が0という条件は x²+y²-4=0、つまり x²+y²=4 となります。

この式は原点を中心とする半径2の円です。ただし円と実軸の交点のうち、(-2,0) はもとの分母を0にします。(2,0) は商を0にします。答えは原点中心、半径2の円からこの2点を除いた図形です。

逆向きも確かめます。この円上で2点を除けば分母は0でなく、実部は0です。さらに円上で y=0 となるのは除いた2点なので、虚部 4y/((x+2)²+y²) は0ではありません。よって残った点は問題の条件を満たします。例えば z=2i では商は i となり、確かに純虚数です。

分かれ目は「実部が0」と「0でない純虚数」を同じ条件として扱わないことです。問題によって純虚数に0を含める約束の場合は、z=2 を残します。また、商の偏角が90度という表現なら商が0でないことが必要です。分母の除外と分子の零を別々に点検すると、端点の扱いを説明できます。

誤答から中心を探し直す

先ほどの回転で、誤答を w=i(3+2i)=-2+3i とします。図3のように、この点は原点を中心に P を回した位置です。求めたい Q は A を中心に回した位置なので、回転の出発点が違います。

図3の2つの点を比べると、誤答は A からの距離を保っていません。原因は z の位置を直接 i 倍したことです。修正するには w-a=i(z-a) に戻し、右側で中心を引き、左側でも中心からの差を表します。最後に a を足すまでを1組の操作として書きます。

軌跡にも似た失敗があります。分母を払って得た円の式に代入できるからといって、分母が0の点を答えに含めることはできません。分母を払う前に除外条件を記し、最後に円と照合してください。計算結果が円の式になっても、もとの式に入れられない点は条件を満たしません。

手を動かす問題

次の4問は独立した問題です。複素数は実部と虚部を整数または正確な分数で表し、軌跡は図形の名前と必要な除外点で答えてください。

1. A に対応する複素数は 2-i、P に対応する複素数は 3+2i です。P を A のまわりに反時計回りに90度回した Q の複素数を求めてください。
2. A は -1+2i、P は 2+3i に対応します。P を A のまわりに180度回した Q の複素数を求めてください。
3. P に対応する複素数を z とします。|z-(1+2i)|=|z-(5+2i)| を満たす P の軌跡を、直線の方程式で答えてください。
4. P に対応する複素数を z とします。(z-1)/(z+1) が実数となる P の軌跡を、直線と除外点で答えてください。0は実数に含めます。

問題の解答と戻しての確認

1. 中心からの差は (3+2i)-(2-i)=1+3i です。これを i 倍すると -3+i なので、中心を戻して Q は (2-i)+(-3+i)=-1 です。Q から A を引けば -3+i となり、元の差 1+3i の i 倍です。長さの2乗は両方10で、回転の条件に戻ります。

2. 180度回転は差を -1 倍します。P から A への差ではなく、A から P への差は (2+3i)-(-1+2i)=3+i です。よって Q は (-1+2i)-(3+i)=-4+i です。Q と A の差は -3-i であり、元の差と長さが等しく向きが反対です。A は P と Q の中点にもなるので条件に戻ります。

3. z=x+yi と置くと、距離の等式の両辺は0以上です。両辺を2乗して (x-1)²+(y-2)²=(x-5)²+(y-2)² を得ます。共通項を消して -2x+1=-10x+25、したがって x=3 です。逆に x=3 なら2点までの横の差はそれぞれ2と-2で、縦の差は共通です。距離は等しいので、軌跡は直線 x=3 です。

4. 分母から z≠-1 です。z=x+yi として共役複素数をかけると、商の虚部は 2y/((x+1)²+y²) です。分母は正ですから、商が実数となる条件は y=0 です。逆に実軸上で z≠-1 なら分子と分母は実数で、商も実数です。答えは実軸から点 (-1,0) を除いたものです。z=1 では商が0となり、0は実数なので残します。

要点を短く

回転は中心からの差に回転の複素数をかけ、最後に中心を戻します。 距離は絶対値、方向の差は商で読みます。 商の分母が0となる点と、偏角が定まらない点を調べます。 軌跡は逆向きにも確かめ、除外点を明記します。

どこで止まったかを見分ける

式の最初で止まるなら、図に A、P、Q を置き、AP と AQ がどの差に対応するかを確認します。計算は進むのに位置がずれるなら、回転後の差に中心を足したか、回転角の向きが合っているかを図に戻して調べます。

円や直線までは出せるのに答えが合わない場合は、もとの分母と分子に除外点を代入します。個別指導で確かめる際も、完成した答えだけでなく、どの行で条件を使ったかを本人の言葉でたどると、計算の誤りと条件の読み落としを区別できます。中心からの矢印と、もとの式に戻す確認が点の位置を支えます。