高校数学C 双曲線—定期テストで距離の差と漸近線から枝の向きを確かめる｜武蔵野個別指導塾

焦点からの距離の差を絶対値で表し、正の項と漸近線を根拠に双曲線の枝の方向を見定めます。

よくあるのは、定期テスト前に双曲線の式を見て、分母の大きいほうへ枝が開くと決めてしまう場面です。楕円で覚えた見方をそのまま持ち込むと、分母が大きくても負の項になっている座標の方向へ枝を描いてしまいます。双曲線では、まず正の項がどちらかを見ます。その後で頂点、焦点、漸近線を同じ座標に書き込み、式と図が互いに合うかを確かめましょう。

式から図へ、距離から式へ

出題の型には、標準形から頂点・焦点・漸近線を求めるものがあります。例えば x²/9 − y²/16 = 1 なら、正の項が x²/9 なので左右に開きます。16 が 9 より大きいことは上下に開く理由にはなりません。中心から頂点までの距離は 3、焦点までの距離は √(9 + 16) = 5 です。

別の型は、2焦点からの距離の差や頂点の位置から式を作るものです。差はどちらを先に引くかで符号が変わりますから、左右両方の枝を表す条件には絶対値を使います。焦点間の距離より差が小さいかも、式を作る前に点検します。

もう一つは中心が原点から移った式を読む型です。x や y をそのまま見ず、かっこの中身が 0 になる点を中心として、そこから頂点や漸近線を考えます。ここでは軸が座標軸に平行な双曲線を扱います。回転した軸の式には広げません。

焦点と枝を結ぶ距離の条件

2点 F、F′ から点 P までの距離をそれぞれ PF、PF′ とします。双曲線は、2点からの距離の差の絶対値が一定の正の数となる点 P の集まりです。焦点間の距離を 2c、距離の差の絶対値を 2a とすると、双曲線になるには 0 < a < c が必要です。2点への距離の差の絶対値は焦点間の距離を超えられず、等しい場合も通常の双曲線にはならないからです。

中心が原点、焦点が x 軸上にある標準形は x²/a² − y²/b² = 1 です。ここで a、b は正で、c² = a² + b² です。頂点は (a, 0)、(-a, 0)、焦点は (c, 0)、(-c, 0) です。焦点までの距離を決めるときは分母を引くのではなく、正の数 a² と b² を足します。

漸近線は y = (b/a)x と y = -(b/a)x です。枝は遠くへ進むほどこれらの直線に近づきますが、双曲線上の有限の点で漸近線と交わりません。図1のように、中心を通る長方形の半幅を a、半高さを b とすると、その対角線が漸近線に重なります。長方形は曲線そのものではなく、傾きと頂点の位置を描くための補助です。

図1では焦点を通る横の軸に頂点もあります。y²/a² − x²/b² = 1 なら正の項が y の側なので上下に開き、頂点と焦点も y 軸上です。この場合の漸近線は y = ±(a/b)x です。分母の文字の置き方を暗記するだけでなく、右辺を 0 にした関係 y²/a² = x²/b² から傾きを出すと混乱しにくくなります。

距離の差がなぜ 2a かも頂点で確認できます。右側の頂点 (a, 0) から左右の焦点までの距離は c − a と c + a なので、その差の絶対値は 2a です。左の頂点では大小が逆転しますが、絶対値は同じです。固定した順に距離を引いて 2a とすると片方の枝を落とすため、符号を含む条件と区別します。

基本例題：式から必要な点と直線を読む

次の双曲線について、中心、頂点、焦点の座標と漸近線の方程式を求め、枝の向きを答えてください。座標と係数は整数または既約分数で表します。

x²/9 − y²/16 = 1

まず、2つの項にかっこによる移動はないので中心は原点 (0, 0) です。正の項は x²/9 ですから、左右に枝が開きます。この判断に分母の大小は使いません。実際に y = 0 を代入すると x²/9 = 1 となりますが、x = 0 を代入すると -y²/16 = 1 となり、実数の y はありません。したがって曲線は x 軸と交わり、y 軸とは交わりません。

正の項の分母が 9 なので a² = 9、a は正より a = 3 です。負の項の分母から b² = 16、b = 4 です。頂点は x 軸上で中心から 3 離れた (3, 0)、(-3, 0) です。両方を元の式に入れると 9/9 − 0 = 1 となり、確かに曲線上にあります。

焦点までの距離 c は c² = a² + b² = 9 + 16 = 25 です。距離なので正の値 c = 5 を取り、焦点は (5, 0)、(-5, 0) です。頂点 (3, 0) からの距離はそれぞれ 2 と 8 で、その差の絶対値は 6 = 2a です。求めた焦点が距離の条件にも合っています。

漸近線は、左辺の定数項を除いた x²/9 − y²/16 = 0 を解きます。x²/9 = y²/16 ですから、y/4 = ±x/3、つまり y = (4/3)x と y = -(4/3)x です。符号の異なる2本を忘れずに書きます。図2のように、中心から横に 3、縦に 4 の補助長方形を描くと、対角線の傾きも ±4/3 になります。

図2では焦点が頂点より外側にあることも読み取れます。例えば曲線上の点 (5, 16/3) を代入すると 25/9 − 16/9 = 1 です。この点で漸近線の高さは 20/3 なので、枝は対応する漸近線と一致しません。補助長方形の角を曲線が通ると決めてしまう誤りも、代入すれば防げます。

条件から移動した式を作る

2つの焦点が (2, 4)、(2, -6) で、2焦点からの距離の差の絶対値が 6 である点の軌跡を求めてください。方程式の係数は整数で表し、頂点と漸近線も整数または既約分数で答えます。

焦点の中点は (2, -1) なので、これが中心です。焦点は同じ x 座標を持つため、中心を通る縦の直線上に並びます。中心から焦点までの距離は c = 5、距離の差が 2a = 6 なので a = 3 です。a < c を満たし、双曲線になります。c² = a² + b² より b² = 25 − 9 = 16 です。

中心からの座標を X = x − 2、Y = y + 1 と見ると、焦点は縦方向ですから Y²/9 − X²/16 = 1 です。元に戻すと (y + 1)²/9 − (x − 2)²/16 = 1 となります。頂点は中心から縦に 3 動かし、(2, 2)、(2, -4) です。漸近線は Y = ±(3/4)X、すなわち y + 1 = ±(3/4)(x − 2) です。

頂点 (2, 2) から2焦点までの距離は 2 と 8 で、差の絶対値は 6 です。もう一方の頂点でも距離は 8 と 2 になり、同じ条件に戻ります。中心を引く座標と正の項の選択が正しいか、両方の頂点で確かめられます。

ここで分かれ目になるのは、差と焦点間距離の大小です。例えば同じ2焦点で差を 12 とすると、三角不等式により差の絶対値は焦点間距離 10 以下なので、条件を満たす点はありません。差を 10 とした場合は焦点を両端とする直線上の外側の2本の半直線になり、双曲線の式にはできません。差を 0 とした場合も双曲線ではなく、2焦点から等距離の垂直二等分線です。計算で b² が正にならないときは、平方根を無理に作らず、元の距離条件へ戻ります。

間違いを図と代入で直す

基本例題で「16 が 9 より大きいので上下に開く」と答えたとします。原因は、楕円の長い方向を分母から読む方法を、符号が異なる双曲線にもそのまま使ったことです。x = 0 を入れると -y²/16 = 1 となり、実数では成立しません。上下に頂点があると描いた図はこの時点で式に反します。

図3のように、正の項の座標軸上に頂点を置き直します。y = 0 から x = ±3 を得て、左右に枝を描くのが修正です。分母 16 は横向きの枝の傾きを決める b² であり、正の項を入れ替える指示ではありません。図の形と代入の両方で見直せば、たまたま正しい向きになった場合にも理由を説明できます。

距離の差についても似た取り落としがあります。例えば右側の頂点では左の焦点への距離から右の焦点への距離を引くと 6 ですが、左側の頂点では -6 です。差をその順序で 6 と固定すれば左の頂点は含まれません。両枝を表す条件は差の絶対値が 6 と書き、片側だけを求める条件とは分けます。

また、漸近線に右辺の 1 を残したまま直線と呼んでも、元の双曲線が残るだけです。右辺を 0 とした式を因数分解し、中心を通る2直線を得ます。平行移動がある場合は、原点ではなく移動後の中心を通るかを最後に代入して確かめます。

練習：条件と図を行き来する

次の3問はそれぞれ独立した自作問題です。座標と係数は整数または既約分数で表し、根号が必要なら根号を残してください。距離に単位は設けません。

1. 双曲線 y²/25 − x²/9 = 1 の頂点、焦点、漸近線を求め、枝の向きを答えてください。
2. 焦点が (-4, 0)、(4, 0) で、2焦点からの距離の差の絶対値が 4 となる点の軌跡の方程式と頂点を求めてください。
3. 双曲線 (x + 1)²/4 − (y − 3)²/5 = 1 について、中心、焦点、漸近線を求めてください。また、点 (1, 3) が曲線上にあるか答えてください。

解答と道筋

1. 正の項が y²/25 なので上下に開きます。a = 5、b = 3、c² = 25 + 9 = 34 より c = √34 です。頂点は (0, 5)、(0, -5)、焦点は (0, √34)、(0, -√34) です。漸近線は y = ±(5/3)x です。頂点を式に代入すると 25/25 − 0 = 1 です。また上の頂点から焦点への距離の差は (√34 + 5) − (√34 − 5) = 10 で、2a に戻ります。

2. 焦点の中点は原点、焦点は横に並びます。c = 4、2a = 4 より a = 2 です。b² = c² − a² = 16 − 4 = 12 なので、方程式は x²/4 − y²/12 = 1、頂点は (2, 0)、(-2, 0) です。右の頂点から焦点までの距離は 2 と 6 で差は 4、左でも順序が逆になるだけです。条件の絶対値を満たします。

3. かっこの中が同時に 0 となる中心は (-1, 3) です。正の項は x の側で、a² = 4、b² = 5 ですから c² = 9、c = 3 です。焦点は中心から横に 3 動かして (2, 3)、(-4, 3) です。漸近線は y − 3 = ±(√5/2)(x + 1) です。点 (1, 3) を代入すると (1 + 1)²/4 − 0 = 1 なので曲線上にあります。この点から2焦点までの距離は 1 と 5、その差は 4 = 2a です。中心を移した後の焦点も、元の距離条件に合います。

練習2では、焦点を変えずに距離の差を大きくすると、a は大きくなり、b² = c² − a² は小さくなります。差が焦点間距離に近づくほど、頂点は焦点に近づきます。ただし等しくなった時点では b = 0 となり、分母に 0 を置く式は使えません。境界を含めてよいかは、元の距離の条件で判断します。

練習3では、中心 (-1, 3) を原点と見直すと、点 (1, 3) は中心から横に 2、縦に 0 の位置です。この位置が頂点に当たるので、代入と焦点からの距離の2通りで条件を確かめられます。漸近線の2本についても x = -1 を入れるとどちらも y = 3 となり、求めた中心を通ります。傾きの分子と分母を逆にしても中心は通るので、補助長方形の横の半幅 2 と縦の半高さ √5 から傾きまで点検してください。

距離の差を使う問題では、条件を図に書いた後、焦点間距離と差を比較してから a と c を置くと手戻りが減ります。頂点が与えられた問題なら中心から頂点までの距離を a とし、焦点が与えられた問題なら中心から焦点までを c とします。どちらも線分の長さなので負にはなりません。最後に求めた頂点を元の式へ戻すと、移動の符号や分母の取り違えを見つけられます。

手元に残す要点

正の項が枝と焦点の並ぶ方向を示します。 距離の差は絶対値で 2a、焦点距離は c² = a² + b² です。 漸近線は中心を通り、右辺を 0 とした式から求めます。 移動後は中心からの座標に戻して考えます。

どの行で止まったかを見つける

中心を (h, k) とすると、y = k と x = h をそれぞれ代入し、中心を通るどちらの直線上に頂点があるかを調べます。原点が中心の場合には、y = 0 と x = 0 を使います。焦点の位置で止まるなら、a と b が分母そのものではなく、その正の平方根であることを確認します。漸近線が原点を通ってしまう場合は、中心の座標を直線に代入してみます。

個別指導で確かめるときも、完成した図だけでなく、正の項に印を付けた行、c² を求めた行、中心を戻した行を順に見ます。距離の差の符号で迷う場合は左右の頂点について2つの距離を実際に書き、絶対値を取る前後を比べます。条件に合わない数が与えられたときも、式を無理に完成させず、焦点間距離と差の大小から点の有無を判断できます。双曲線の枝は、式と距離の両方から確かめられます。