高校数学C 楕円—定期テストで二つの焦点からの距離の和で式と形を読む｜武蔵野個別指導塾

分母の平方根から半軸を読み、焦点の位置と平行移動を図でたどる楕円の手順です。

よくあるのは、定期テスト前に楕円の式を見た高校生が、分母に書かれた数をそのまま半軸の長さにしてしまう場面です。x²/25 + y²/9 = 1 なら、横に25、縦に9進んで点を打ちたくなるかもしれません。しかし右端ではyが0なので、x²/25 = 1からxは5または-5です。分母は長さそのものではなく、その平方です。軸との交点に戻って、この違いを確かめましょう。

式と条件のどちらから読むか

楕円の問題には、まず式から形を読む型があります。中心、長軸と短軸の長さ、2つの焦点を求め、座標平面に概形を描く問題です。分母の大きい方向が長軸ですが、長軸の長さは半軸の2倍です。焦点の距離には分母の差の平方根を使います。

次に、焦点と距離の和から式を作る型があります。2つの焦点の中点が中心で、距離の和の半分が長半径です。焦点の並ぶ向きと長半径を先に決めると、残る短半径を計算できます。焦点間の距離より距離の和が大きいことも必要です。

さらに、中心が原点からずれた式を読む型があります。平方の中の引き算から中心を取り出し、その中心を基準に半軸や焦点を配置します。ここで扱うのは座標軸に平行な軸を持つ楕円です。式の移動と形を結ぶ練習に絞ります。

距離の和と半軸の関係

2点F、F’からの距離の和が一定である点Pの集まりを考えます。2点の中点をOとし、OF = OF’ = c、距離の和を2aとします。ただし a > c > 0 です。焦点を結ぶ直線上の両端はOからそれぞれaの距離にあります。この2端を結ぶ線分が長軸で、その長さは2aです。

図1のように、中心を通り長軸に垂直な方向の端をBとし、OB = bとします。対称性からBFとBF’は等しく、その和が2aなので各距離はaです。直角三角形OBFに三平方の定理を使うと、a² = b² + c²です。したがって b² = a² − c² となり、焦点を中心に寄せるほど、同じ長半径に対して短半径は大きくなります。

図1のように、aは焦点から端Bまでの距離でもありますが、長軸の端までの中心からの距離でもあります。焦点までの距離cと混ぜずに、直角三角形のどの辺を表すかを指で追うと関係式を作れます。

中心が原点で長軸がx軸上にある楕円は、x²/a² + y²/b² = 1 と表せます。横の端は (±a, 0)、縦の端は (0, ±b)、焦点は (±c, 0) です。a > b > 0 で、c² = a² − b² です。逆に長軸がy軸上なら、x²/b² + y²/a² = 1 となり、焦点は (0, ±c) です。どちらも大きい分母が長軸の方向を示します。

平方根を取る前後で名前を分けることが大切です。たとえば分母が16なら半軸は4、軸全体の長さは8です。焦点までの距離を出すときも、16からもう一方の分母を引いた結果はc²であり、焦点の座標に置くcはその正の平方根です。

基本例題：式から焦点を置く

中心が原点の楕円 x²/36 + y²/20 = 1 について、長軸と短軸の長さを整数または根号で求め、焦点の座標を整数で表してください。図2を使い、式から順に点を置きます。

図2のように、36は20より大きいので長軸はx軸上です。x軸との交点ではy = 0ですから、式に代入すると

x²/36 = 1
x² = 36
x = ±6

となります。中心から端までの長半径は6です。同様にy軸との交点ではx = 0なので、

y²/20 = 1
y² = 20
y = ±2√5

です。短半径は2√5ですから、長軸の長さは12、短軸の長さは4√5です。短軸の長さは根号のまま正確に表します。

焦点までの距離をcとすると、c² = 36 − 20 = 16です。距離は正なのでc = 4となり、焦点は (-4, 0)、(4, 0) です。36と20の差16をそのまま焦点の座標にすると楕円の外へ出てしまいます。平方根を取る段階を一行残してください。

答えを条件に戻します。長軸の右端 (6, 0) から2つの焦点までの距離はそれぞれ2と10で、和は12です。上端 (0, 2√5) から各焦点までの距離は √(16 + 20) = 6 なので、和は同じく12です。両端とも元の式にも代入でき、距離の和が長軸の長さに一致します。

中心がずれた焦点から式を作る

2つの焦点が (2, -1)、(2, 5) で、楕円上の点からそれぞれの焦点までの距離の和が10です。楕円の方程式を、分母が整数の形で求めてください。

焦点の中点は (2, 2) です。2つの点は同じx座標を持つため、長軸はこの中心を通る縦の直線にあります。焦点間の距離は6なので、中心から焦点までの距離はc = 3です。距離の和が10だから 2a = 10、よってa = 5です。焦点間の距離6より和10が大きいので、幅のある楕円になります。

次に b² = a² − c² = 25 − 9 = 16 です。縦の分母に25、横の分母に16を置き、中心を (2, 2) に移すと、求める式は

(x − 2)²/16 + (y − 2)²/25 = 1

です。中心が (2, 2) だから、両方の平方の中で2を引きます。縦長という条件を、分母の置き場所で表していることも確認してください。

式の端 (2, 7) を元の条件へ戻すと、焦点までの距離は8と2で、和は10です。横の端 (6, 2) では、それぞれ √(4² + 3²) = 5 で、やはり和は10です。中心を戻し忘れた式なら、この2点の確認で食い違います。

条件によっては式を作る前に止まる必要があります。異なる2焦点の距離の和は焦点間の距離より小さくなれません。等しい場合も点の集合は2焦点を結ぶ線分となり、短半径が0で、上の分母を持つ楕円にはなりません。たとえば焦点間が6で和が6なら、b² = 0です。0を分母に入れるのではなく、条件が通常の楕円を定めないと判断します。

間違えた端点を式へ戻す

図3のように、x²/25 + y²/9 = 1 の横の端を (25, 0) と書く誤答を考えます。原因は、x²の分母25を長さとして直接読んだことです。x = 25、y = 0を左辺に入れると 625/25 = 25 となり、右辺の1と一致しません。

図3のように、正しい端は (5, 0) です。実際に代入すると25/25 = 1です。負の側も (-5, 0) となります。図の横方向の半軸を5と置き直してから、縦方向の半軸を3と読みます。

もう一つの誤りは焦点を (±4, 0) でなく (±16, 0) とすることです。25 − 9 = 16 はc²であり、c = 4です。焦点 (4, 0) は中心と端 (5, 0) の間にあります。焦点が楕円の端の外に出たら、平方根を取ったか、半軸と軸全体を混ぜていないかを調べてください。

平行移動でも符号に注意します。(x + 3)² は中心のx座標が-3であることを表します。中心で平方の中が0になると考えれば、式に書かれた符号をそのまま座標に移す誤りを防げます。端点を元の式へ代入する確認と、焦点の中点が中心になる確認を組み合わせると、式と図のずれを見つけやすくなります。

式を作る前に点を整理する

焦点から式を作るとき、いきなり分母を埋めようとすると、焦点の座標と中心からの距離を取り違えがちです。まず2つの焦点の中点を書き、そこから各焦点までの移動を見ます。たとえば焦点が横に並ぶ場合、中心のx座標と焦点のx座標の差の絶対値がcです。原点以外では、焦点のx座標そのものがcとは限りません。

次に距離の和を2で割り、長半径aを決めます。距離の和は楕円上の点から両方の焦点までを足した値であり、片方への距離とは限りません。長軸の端では2つの距離が一般に異なりますが、その和は2aです。短軸の端では対称性によって両距離が等しくなり、それぞれaになります。この2種類の端点を使うと、計算結果を異なる見方で確かめられます。

最後にa²からc²を引いてb²を求めます。式の分母として必要なのはb²なので、短半径の値自体を問われていなければ、そこで無理に平方根を計算する必要はありません。一方、短軸の長さを問われた場合はbの2倍です。何を求められたかに応じて、平方、半径、軸全体の間を移ります。

図を描く順番で確かめる

方程式から概形を描くなら、中心を打ち、横と縦の端点をそれぞれ2点ずつ置きます。それから4点を滑らかに結ぶと、中心に対して対称な形が見えます。焦点は長軸上の内側に置き、曲線上の端点と区別します。焦点は楕円の輪郭上の点ではありません。

横と縦の分母が近い場合も、数の大小から長軸の向きを判断できます。差が小さければc²も小さく、焦点は中心に近づきます。逆に短い側の分母が小さければ焦点は長軸の端に近づき、細長い形になります。数値で端点と焦点を決めてから描けば、見た目の印象だけで向きを決めずに済みます。

2つの分母が等しい場合は円になり、焦点は中心に重なります。異なる焦点を持つ問題として焦点間距離を使うときは、a > c > 0 の条件に戻って考えます。分母が0や負になった式は、ここで使う正の半軸を持つ標準形ではありません。条件に戻って、与えられた距離の大小を確認してください。

練習：条件を図へ移す

次の3問は先にまとめて解き、後の解答で途中を照合してください。座標は正確な整数または根号で表し、長さも正確な値で答えます。

1. 楕円 x²/49 + y²/24 = 1 の長軸と短軸の長さ、および2つの焦点の座標を求めてください。
2. 中心が原点で焦点が (0, ±4)、長軸の長さが10の楕円の方程式を、分母が整数の形で求めてください。
3. 楕円 (x + 1)²/9 + (y − 3)²/25 = 1 の中心、2つの焦点、長軸の両端の座標を求めてください。

練習の解答と照合

1. 49 > 24 なので長軸は横向きです。長半径は7、短半径は √24 = 2√6 です。したがって長軸の長さは14、短軸の長さは4√6です。c² = 49 − 24 = 25 よりc = 5で、焦点は (-5, 0)、(5, 0) です。右端 (7, 0) から焦点までの距離の和は12 + 2 = 14です。上端 (0, 2√6) からは各距離が √(25 + 24) = 7 となり、和14に戻ります。

2. 焦点が縦に並び、長半径は10/2 = 5です。c = 4 なので b² = 25 − 16 = 9 です。縦の分母を25として、x²/9 + y²/25 = 1 となります。上端 (0, 5) から焦点への距離は1と9で、和は指定の10です。横の端 (3, 0) から各焦点までは5であり、こちらも和は10です。

3. 平方の中がともに0になる中心は (-1, 3) です。縦の分母25が大きいので、長半径5、短半径3、c² = 25 − 9 = 16、c = 4です。焦点は中心から縦に4動いた (-1, -1)、(-1, 7) です。長軸の両端は (-1, -2)、(-1, 8) です。上端から焦点までの距離は9と1で、和は10です。右端 (2, 3) から各焦点までの距離も5となり、式が表す距離の和と一致します。

練習の各式では、端点を1組だけでなく、長軸側と短軸側の両方で確認しました。長軸側の距離は足し算で扱いやすく、短軸側では直角三角形を使います。どちらか一方の計算が合っても、中心や向きの取り違えを見逃すことがあります。2種類の点に戻すと、式の形と焦点の配置を別々に点検できます。途中で負の長さが出た場合は、そのまま座標へ入れず、平方根と中心からの向きを分けて書き直してください。

手元に残す要点

分母は半軸の長さの平方です。
大きい分母の方向が長軸で、軸の長さは半径の2倍です。
焦点までの距離cは c² = a² − b² から求めます。
平行移動後は、中心から端点と焦点までの距離を数えます。

どこで止まったかを見分ける

端点が合わないときは、まずその点を式に代入します。左辺が1にならなければ、分母を平方根に直すところか、中心からの移動の符号に戻ります。端点は合うのに焦点が合わなければ、2つの分母の差をc²として書けているか、そこから正の平方根を取ったかを調べます。

個別指導で確かめる際は、図に中心、端点、焦点を順に書いてもらい、それぞれの距離が式のどの数に対応するかを尋ねます。式を作る問題なら、焦点間距離と距離の和を比べ、幅のある楕円ができる条件も確認します。代入と距離の和が同じ形へ戻ることが、描いた楕円を支えます。