高校数学C 放物線—定期テストで焦点と準線から等しい距離を式に直す｜武蔵野個別指導塾

焦点と準線までの距離を絶対値を用いて立式し、平行移動した放物線の頂点と開く方向を読み取れるようにします。

よくあるのは、定期テスト前に焦点までの距離を符号つきの座標差で置いてしまう場面です。点が焦点より左にあるか右にあるかで座標差の符号は変わりますが、距離は負になりません。準線までの距離も同じように考え、まず点から直線へ下ろした垂線の長さを使います。距離の等式から始めれば、右向きだけでなく左向きや平行移動した曲線も同じ考え方で扱えます。

要点（結論から）

• 焦点への距離は2点間の距離、準線への距離は垂線の長さです。
• 距離は0以上なので、座標差には必要に応じて絶対値を付けます。
• y² = 4pxは横向き、x² = 4pyは縦向きで、pの符号が向きを決めます。

何を手がかりに式を立てるか

出方の1つは、焦点と準線が与えられ、点P(x, y)の満たす方程式を求める問題です。焦点までの距離と準線までの距離をそれぞれ書き、等しいという条件を式にします。準線が縦の直線なら横の差、横の直線なら縦の差が直線までの距離です。

もう1つは、方程式から頂点、焦点、準線を読み取る問題です。平方のある側とない側を見て軸の向きを判断し、係数を4で割ると頂点から焦点までの符号つきの移動量が出ます。最後にその移動量を座標に足し、準線は反対側に置きます。

さらに、頂点や焦点が原点から移った場合には、頂点を基準にした座標の差を使います。平行移動の前後で焦点と準線の位置関係が保たれることを図にすると、符号を覚える負担を減らせます。ここでは軸が座標軸に平行な放物線を扱います。

距離が等しい点の集まり

放物線は、定点Fと、その点を通らない定直線lからの距離が等しい点の集まりです。Fを焦点、lを準線と呼びます。点Pから準線へ垂線を下ろした足をHとすると、条件はPF = PHです。PFは2点間の距離であり、PHは垂線の長さです。直線上の任意の点への距離ではないことに注意します。

図1のように、焦点F(2, 0)と準線x = -2を考えます。P(1, 2)から準線への垂線の足はH(-2, 2)です。PFは√((1-2)²+2²) = √5、PHは3ですから、このPは条件を満たしません。一方、Q(2, 4)では焦点への距離と準線への距離がともに4なので、Qは放物線上にあります。点をいくつか代入するときは、等しい場合と等しくない場合の両方で距離の測り方を点検できます。

図1の焦点と準線の中間にある原点は頂点です。焦点を通り準線に垂直な直線が軸で、この例ではx軸に当たります。軸の上下に対称な2点は焦点からの距離も準線からの距離もそれぞれ等しいため、曲線も軸について対称です。

一般に焦点がF(p, 0)、準線がx = -pのとき、pは0ではありません。P(x, y)について距離を等しくすると、√((x-p)²+y²) = |x+p|です。両辺は0以上なので2乗しても同値であり、整理するとy² = 4pxを得ます。逆にこの式を満たせば2乗した距離が等しく、距離自体も0以上なので元の等式が成り立ちます。pが正なら右向き、負なら左向きです。

同じ考えで、焦点F(0, p)、準線y = -pならx² = 4pyです。pが正なら上向き、負なら下向きです。平方のついた変数が軸の方向を示すのではなく、平方のない変数の方向に開くことを確認します。係数4pの符号を見て開く向きを決めます。

基本例題：距離から方程式へ

焦点F(2, 0)、準線x = -2の放物線について、方程式を求め、頂点と軸を答えてください。方程式は整数係数で、頂点は座標、軸は直線の方程式で表します。また、点A(8, 8)がこの放物線上にあるか、焦点と準線への距離をそれぞれ根号を使わずに求めて判定してください。

放物線上の点をP(x, y)とします。焦点との差は横がx-2、縦がyなので、2点間の距離は次のようになります。

PF = √((x-2)²+y²)

準線は縦の直線です。Pから横に進んだ足の座標は(-2, y)であり、横の座標差の絶対値が距離です。

PH = |x-(-2)| = |x+2|

定義からPF = PHです。両辺は距離なので0以上です。したがって両辺を2乗しても、余分な点は生じません。

(x-2)²+y² = (x+2)²

x²-4x+4+y² = x²+4x+4

y² = 8x

逆にy² = 8xを満たす点では、展開を戻すと2つの距離の2乗が等しくなります。どちらも負でないため距離も等しく、求めた式は放物線全体を表します。平方のないxの係数8が正なので、原点から右へ開きます。焦点と準線の中間が頂点(0, 0)、軸はy = 0です。

図2のように、A(8, 8)について焦点への横の差は6、縦の差は8です。よってAF = √(6²+8²) = 10です。準線までの距離も|8+2| = 10ですから、Aは放物線上にあります。式への代入でも8² = 8×8と一致します。式を満たすことと元の距離の条件を満たすことを別々に確かめられます。

図2では準線への線分が水平です。焦点への線分を水平距離と取り違えないよう、焦点と点の縦座標も比べてください。焦点の真上や真下にあるときだけ、焦点への距離は縦の座標差の絶対値になります。

頂点が移り、左へ開く場合

頂点がV(3, -1)、焦点がF(1, -1)の放物線を考えます。軸はx軸に平行です。準線と方程式を求め、方程式は整数係数で、準線は直線の方程式で答えてください。また点B(1, 3)について、焦点と準線への距離をそれぞれ整数で求め、曲線上にあるか判定してください。

頂点から焦点への移動は横に-2、縦に0です。準線は頂点から焦点と反対の方向へ同じ距離だけ移した位置にあり、x = 5です。P(x, y)とすると、距離の等式は次のようになります。

√((x-1)²+(y+1)²) = |x-5|

両辺は0以上なので2乗し、横の項を展開して整理します。

(x-1)²+(y+1)² = (x-5)²

x²-2x+1+(y+1)² = x²-10x+25

(y+1)² = -8x+24 = -8(x-3)

したがって方程式は(y+1)² = -8(x-3)です。逆にこの式から距離の2乗の等式に戻せ、両方の距離が0以上なので元の条件も満たします。頂点を基準とした横の座標をx-3、縦をy+1と見れば、原点を頂点とする形をそのまま移した式だと読めます。係数-8を4で割ると-2となり、焦点が頂点の左にあることと一致します。

B(1, 3)から焦点までの距離は4です。準線x = 5までの距離も|1-5| = 4なので、Bは曲線上です。式でも(3+1)² = 16、-8(1-3) = 16となります。焦点が左側にあるのに係数を正にした場合、この条件に戻す検算で誤りが見つかります。

縦向きの場合との分かれ目は準線の向きです。準線が縦なら横の座標差で距離を測り、式では縦の差が平方になります。準線が横なら縦の座標差で測り、横の差が平方になります。焦点と頂点のどちらの座標が変わっているかを見てから式を選ぶと、向きの取り違えを防げます。

負の値を距離にしてしまったら

焦点F(2, 0)、準線x = -2に対し、点C(0, 0)で焦点への距離をx-2 = -2とする答えは誤りです。原因は、横の符号つきの差と距離を同じものとしていることです。Cから焦点までの距離は|0-2| = 2、準線までの距離は|0+2| = 2です。Cは実際には定義を満たします。

図3のように、Cは焦点の左にあります。焦点からCへの横の差は-2ですが、矢印の向きと長さは別です。長さを問うなら絶対値を取り、縦の差もある一般の点では2点間の距離の式を使います。

別の誤りは、準線x = -2までの距離を常にx+2と置き、負になる点でも距離だと扱うことです。正しくは|x+2|です。今回の放物線上では結果としてxは0以上ですが、その結論を立式前の任意の点に使わず、まず絶対値を付けます。等式の両辺を2乗できる理由も、両方が距離で0以上だからです。符号を無視して2乗した式だけでは、元の等式への逆向きが保証されません。

平行移動では、(y+1)²の頂点の縦座標を1と読む誤りも起こります。平方の中が0になるのはy = -1です。頂点の座標を代入して両方の差が0になるか、さらに焦点が準線と反対側かを確かめると修正できます。

練習：条件と答えを往復する

次の3問では、方程式は整数係数、座標と距離は整数または正確な分数で答えてください。近似は使いません。

1. 焦点(0, 3)、準線y = -3の放物線の方程式、頂点、軸を求めてください。点(6, 3)が曲線上にあるか、焦点と準線への距離をそれぞれ求めて判定してください。
2. 方程式(x-2)² = -12(y+4)で表される放物線の頂点、焦点、準線を求めてください。点(8, -7)が定義を満たすか、焦点と準線への距離をそれぞれ求めて判定してください。
3. 焦点(-1, 2)、準線x = 2の放物線の頂点と方程式を求めてください。点(-1, 5)について、焦点と準線への距離をそれぞれ求め、曲線上にあるか判定してください。

解答と確認

1. P(x, y)とおくと、焦点への距離は√(x²+(y-3)²)、準線への距離は|y+3|です。等しいとして2乗するとx²+(y-3)² = (y+3)²、展開してx² = 12yです。頂点は(0, 0)、軸はx = 0です。(6, 3)から焦点までの距離は6、準線までの距離は|3+3| = 6です。条件に戻しても等しいので曲線上にあります。式にも36 = 12×3と代入できます。

2. 平方の中を0にする座標はx = 2、y = -4なので頂点は(2, -4)です。係数-12を4で割ると-3ですから、焦点は頂点から下へ3進んだ(2, -7)、準線は上へ3進んだy = -1です。点(8, -7)から焦点までの距離は6、準線までの距離は|-7+1| = 6です。2つが等しいので定義を満たします。式に戻しても(8-2)² = 36、-12(-7+4) = 36です。係数を-3ではなく-12のまま移動量にすると、この距離の照合が合わなくなります。

3. 焦点の横座標-1と準線の横座標2の中間は1/2です。頂点は(1/2, 2)で、そこから焦点への横の移動量は-3/2です。したがって4倍した係数は-6となり、方程式は(y-2)² = -6(x-1/2)、すなわち(y-2)² = -6x+3です。距離からも√((x+1)²+(y-2)²) = |x-2|を2乗して同じ式を得ます。点(-1, 5)の焦点への距離は3、準線までの距離は|-1-2| = 3ですから曲線上にあります。式の両辺も9になります。頂点から準線まで3/2、焦点まで3/2と元の条件に戻せます。

練習3では頂点が整数座標でない点にも注意します。焦点と準線の間の横の距離は3なので、その半分は3/2です。左へ3/2進む操作と、左に開く式の係数が負になることを対応させます。焦点と準線の中間という条件は、頂点が整数であることを要求しません。分数のまま計算すれば、途中で丸めたために距離が食い違うことも避けられます。

また、式から焦点を読むときは、まず平方の部分の係数を1に整えます。その後で平方のない変数の係数を4で割ります。頂点の座標をその移動量と混同せず、頂点から焦点へ足す量として使うことが必要です。準線の位置は同じ量を反対向きに使い、最後に頂点からの距離を照合します。

要点を手元に残す

• 焦点への距離は2点間の距離、準線への距離は垂線の長さです。
• 距離は0以上なので、座標差には必要に応じて絶対値を付けます。
• y² = 4pxは横向き、x² = 4pyは縦向きで、pの符号が向きを決めます。
• 頂点を移した式では、平方の中が0になる座標を読みます。
• 答えは焦点と準線への距離に戻して確かめます。

どこで止まったかを見分ける

距離の式が書けないときは、点から準線へ垂線を描き、その足の座標を先に書いてみます。図は描けるのに符号が合わないときは、座標差とその絶対値を別の行に置きます。2乗後の整理で止まる場合は、両辺の平方を一度展開し、共通する項を消す順に進めます。

個別指導で確かめるなら、例えば左向きの問題で頂点から焦点への移動を矢印で示し、それを式の係数に変えられるかを見ます。式を読めた後も、焦点と準線を使って具体的な点の2つの距離を測り直します。距離の定義に戻る一手が、放物線の式と図を結びます。