高校数学B 仮説検定—帰無仮説と棄却域から結論の範囲を判断する｜武蔵野個別指導塾

標準化した観測値を両側の棄却域と比べ、仮説を棄却できないときにどこまで結論を書けるかを練習します。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が、帰無仮説を棄却できなかった計算の後に「仮説が正しいと証明された」と書く場面です。棄却域の外に観測値が入ったことと、仮説そのものの真偽が確定したことは別です。どこまで言えるかを、計算の前に決めた判断の基準からたどります。

標本の結果が予想した値から離れて見えても、標本を取り直せば平均や比率は変わります。検定では、その揺れを考慮して、仮に基準となる値が正しいとしたとき、今回程度に離れた結果がどの程度起こりにくいかを調べます。ここでは母標準偏差が既知の母平均と、大きな標本を使う母比率の両側検定を扱います。

問題文から拾う3つの型

1つ目は母平均の検定です。母平均が指定値と異なるかを、無作為標本の平均と既知の母標準偏差から判断します。標本平均の標準偏差は母標準偏差そのものではなく、標本数の平方根で割った値です。観測された平均を母平均と呼ばないよう、記号にも役割を付けます。

2つ目は母比率の検定です。ある性質を持つ割合について基準値を仮定し、標本中の割合がそこからどれだけ離れたかを見ます。標準化の分母には、帰無仮説の下で計算した標準偏差を使います。十分大きい標本で正規分布による近似を使うことが条件です。

3つ目は、計算後の文章を選ぶ型です。棄却域に入れば、設定した有意水準で帰無仮説を棄却します。入らなければ、その水準では棄却できません。後者は「差がないと証明された」という意味ではなく、今回のデータから差があると判断する根拠が足りなかったという意味です。

仮定から判定までの道筋

帰無仮説を H₀、対立仮説を H₁ と書きます。例えば基準となる母平均を μ₀ とする両側検定では、H₀ は「母平均 μ = μ₀」、H₁ は「μ ≠ μ₀」です。大きい方向と小さい方向のどちらのずれも、H₀ に反する証拠として扱います。問題が問う方向と仮説の向きを最初に合わせます。

有意水準は、H₀ が正しいときに、それを誤って棄却する確率をどの程度に抑えるかという、判定前に決める基準です。5%の両側検定なら、標準正規分布の左右それぞれに確率 0.025 を割り当てます。境界を小数第2位で 1.96 とすれば、棄却域は Z ≦ -1.96 または Z ≧ 1.96 です。境界値を含める決め方をここでは使います。

図1のように、中央は棄却域の外、両端は棄却域です。図の左右の幅は値の位置を表し、面積の正確な比を表すものではありません。標準正規分布表が 0 から正の値までの面積を載せる形式なら、1.96 に対応する約 0.4750 を読み、片側の面積を 0.5 − 0.4750 = 0.0250 と求めます。表の形式が累積確率の場合は 0.9750 に対応する値を読みます。

標本平均を X̄、観測された平均を x̄、既知の母標準偏差を σ、標本数を n とします。母集団が正規分布に従い、独立に無作為抽出するとき、H₀ の下で Z = (X̄ − μ₀) / (σ / √n) は標準正規分布に従います。母集団が正規分布でなくても標本が十分大きい場合には、条件に応じて近似を使います。観測値 x̄ を代入した値を、あらかじめ決めた棄却域と比べます。

比率の場合は標本比率を P̂、帰無仮説で仮定する母比率を p₀ とし、Z = (P̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n) を使います。独立な同じ確率の試行で、np₀ と n(1 − p₀) がともに十分大きければ、H₀ の下でこの分布を標準正規分布で近似します。観測された比率は標本から計算した値であり、仮定した母比率とは区別します。

基本例題：平均が基準から離れたとき

ある測定値の母集団は正規分布に従い、母標準偏差は 12 です。独立に無作為抽出した 36 個の測定値の平均は 104.4 でした。母平均が 100 と異なるか、有意水準 5% の両側検定で調べます。標準正規分布の境界を ±1.96 とし、標準化した値は小数第1位、判断は文章で答えてください。測定値は単位のない数値とします。

まず、母平均を μ として仮説を書きます。

H₀: μ = 100

H₁: μ ≠ 100

「異なるか」と問われているので、正と負の両方のずれを調べます。帰無仮説が正しいとして標本平均の分布を考え、観測された平均をその分布の上で評価します。最初から 104.4 を母平均に置くと、仮に成り立つとした基準と観測結果が混ざります。

標本平均の標準偏差を計算します。

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2

帰無仮説の下での平均 100 から、観測平均は 4.4 離れています。これを標本平均の標準偏差 2 で割ると、次の値です。

z = (104.4 − 100) / 2

z = 4.4 / 2 = 2.2

図2のように 2.2 は右側の境界 1.96 を超え、棄却域に入ります。したがって有意水準 5% で H₀ を棄却し、母平均は 100 と異なると判断します。結論には有意水準と、何が何と異なるのかを添えます。

元の平均の尺度でも確かめます。境界は 100 ± 1.96 × 2、すなわち 96.08 と 103.92 です。104.4 は上側の境界より大きいので同じ判断です。また 100 + 2.2 × 2 = 104.4 と戻り、標準化に使った観測平均と一致します。単に大きいという印象ではなく、揺れの大きさに対するずれを比べた結果です。

境界の近くと母比率の分かれ目

次の設定は測定値ではなく、二択の結果についての自作モデルです。独立な各試行である印が出る確率を母比率 p とします。400 回の試行で印が 220 回出ました。p が 0.5 と異なるか、有意水準 5% の両側検定で調べてください。正規近似を用い、境界は ±1.96、標準化した値は小数第1位、結論は文章で答えます。

H₀: p = 0.5、H₁: p ≠ 0.5 と置きます。標本比率の観測値は 220 / 400 = 0.55 です。H₀ の下では np₀ = 200、n(1 − p₀) = 200 で、どちらも十分大きいので、この設定では正規近似を使います。

帰無仮説の下で標本比率の標準偏差を求めます。

√(0.5 × 0.5 / 400) = √(0.000625) = 0.025

z = (0.55 − 0.5) / 0.025 = 0.05 / 0.025 = 2.0

2.0 は 1.96 以上なので棄却域に入り、5% の水準で H₀ を棄却します。母比率は 0.5 と異なると判断します。逆算すると 0.5 + 2.0 × 0.025 = 0.55、さらに 0.55 × 400 = 220 となり、観測された回数に戻ります。

この問題で印が 219 回だった場合も比較します。標本比率は 219 / 400 = 0.5475、z = (0.5475 − 0.5) / 0.025 = 1.9 です。1.9 は棄却域の外なので、同じ水準では H₀ を棄却できません。0.5 が正しいと証明されたのではなく、差があると判断するには観測されたずれが境界に届かなかったという結論です。0.5 + 1.9 × 0.025 = 0.5475、これに 400 を掛けると 219 に戻ります。

220 回と 219 回は隣り合う回数ですが、あらかじめ決めた境界を挟むため判定が変わります。境界の近くでは、計算を途中で丸めすぎず、最後に条件で指定された桁に整えます。境界値 1.96 自体も表に基づく近似ですから、精度が必要な問題では与えられた値と判定規則に従います。

誤答をほどく：棄却できない後の一文

先ほどの 219 回の設定で、z = 1.9 と求めた後に「1.9 は棄却域の外だから p = 0.5 が正しい」と書いたとします。計算と領域の比較は合っていますが、結論が飛躍しています。棄却域の外に入ることは、p = 0.5 以外の値では今回の結果が起こらないことを意味しません。

図3のように、直す文章は「有意水準 5% では、p = 0.5 を棄却できない」です。その上で「p が 0.5 と異なると判断する根拠は得られなかった」と書けば、対立仮説についても判断の範囲が伝わります。差の存在を断定できないことと、差が存在しないと断定できることは同じではありません。

別の誤りは、z = 2.0 から「H₀ が正しい確率は 5% 未満」とすることです。ここで使う確率は H₀ を正しいと仮定した下で標本結果が変動する確率です。仮説自体に確率を割り当てて計算したものではありません。また有意水準 5% は、今回の仮説が誤っている確率を直接示す数字でもありません。

符号を見落とす失敗にも注意します。両側検定では -2.2 も左側の棄却域に入ります。正の境界だけと比べて「-2.2 は 1.96 より小さいから棄却できない」とすると、左側を見落とします。左右の境界を別々に比較するか、絶対値を 1.96 と比較してから、元の符号が示す方向を確認します。

自分で試す4問

各問は独立に無作為抽出する自作の設定です。測定値は単位のない数値とします。5% の両側検定を行い、境界は ±1.96 を使います。標準化した値は小数第1位、結論は文章で答えてください。比率の問題では正規近似を使います。

1. 母集団は正規分布に従い、母標準偏差は 15 です。25 個の標本の平均が 56.6 のとき、母平均が 50 と異なるか調べてください。
2. 母集団は正規分布に従い、母標準偏差は 8 です。16 個の標本の平均が 77.0 のとき、母平均が 80 と異なるか調べてください。
3. 独立な試行 900 回で印が 483 回出ました。印の母比率が 0.5 と異なるか調べてください。
4. 独立な試行 100 回で印が 46 回出ました。印の母比率が 0.5 と異なるか調べてください。

解答と戻して確かめる計算

1. H₀ を母平均 50、H₁ を母平均が 50 と異なることとします。標本平均の標準偏差は 15 / √25 = 3 です。z = (56.6 − 50) / 3 = 2.2 なので、右側の棄却域に入ります。5% の水準で H₀ を棄却し、母平均は 50 と異なると判断します。50 + 2.2 × 3 = 56.6 と観測平均に戻ります。平均の境界は 50 ± 1.96 × 3、つまり 44.12 と 55.88 であり、56.6 は上側を超えています。

2. H₀ を母平均 80、H₁ を母平均が 80 と異なることとします。標本平均の標準偏差は 8 / √16 = 2、z = (77.0 − 80) / 2 = -1.5 です。-1.96 より大きく 1.96 より小さいため棄却域の外です。5% の水準で H₀ は棄却できず、母平均が 80 と異なるとは判断できません。80 + (-1.5) × 2 = 77.0 と観測平均に戻ります。仮説が正しいという証明ではないことも結論に残します。

3. H₀: p = 0.5、H₁: p ≠ 0.5 とします。仮説の下で期待される印と印以外の回数はともに 450 で、正規近似を使います。標本比率は 483 / 900 です。標準偏差は √(0.5 × 0.5 / 900) = 1 / 60 なので、z = (483 / 900 − 1 / 2) / (1 / 60) = 2.2 です。右側の棄却域に入り、5% の水準で H₀ を棄却します。母比率は 0.5 と異なると判断します。1 / 2 + 2.2 / 60 = 161 / 300 で、900 を掛けると 483 回に戻ります。

4. H₀: p = 0.5、H₁: p ≠ 0.5 とします。仮説の下の印と印以外の期待回数はともに 50 で、この設定では正規近似を使います。標本比率は 46 / 100 = 0.46、標準偏差は √(0.5 × 0.5 / 100) = 0.05 です。z = (0.46 − 0.5) / 0.05 = -0.8 となります。左右の境界の内側なので、5% の水準では H₀ を棄却できず、母比率が 0.5 と異なるとは判断できません。0.5 + (-0.8) × 0.05 = 0.46、0.46 × 100 = 46 回と戻ります。

判定前に残すメモ

仮説と有意水準を先に決めます。 標本平均または標本比率を、H₀ の下の標準偏差で標準化します。 両側の棄却域と比較し、棄却できない場合は証明と混同しません。

計算が止まった場所を見ると、次に確かめることが絞れます。仮説を書けない場合は、問題の「異なる」が母平均と母比率のどちらにかかるかに線を引きます。分母が作れない場合は、母標準偏差と標本平均の標準偏差を別の行に書いて、標本数の平方根をどこで使うか見直します。

個別指導で確かめるなら、正負どちらの標準化値も数直線に置き、境界との位置を本人の言葉で説明してもらいます。計算が合っていて文章が強すぎる場合は、棄却できなかった例で「別の母比率でも同じ標本結果は起こりうるか」を問い直します。判断の境界と、そこから言える結論の範囲がつながれば、仮説検定の答案は締まります。