中学受験理科の光の反射—鏡に垂直な線を基準に光の進む道筋を描く｜武蔵野個別指導塾

鏡の面と光の角が30度のとき、垂直な線から角を測り直して光の反射を描きます。

鏡に当たった光の道筋は、当たる点に鏡と垂直な線を引くと描けます。その線と入ってくる光との角を測り、線の反対側に同じ角を取るからです。光が進む向きも矢印で示すと、鏡へ向かう道と鏡から出る道を区別できます。

よくあるのは、小4のお子さまが鏡の面との角をそのまま反射角とする場面です。面との角が示されていても、反射角の基準は面ではありません。まず垂直な線との角へ直す一手を置きます。

問題には、鏡と光の角から反射後の角を求める型、光源と目の位置から鏡に当たる点を探す型、鏡の中に見える像（ぞう）の位置を考える型があります。どれも平らな鏡1枚を使い、光が直進して鏡で反射するものとして考えます。図を見て何を基準に測るかを決めることから始めましょう。

光が鏡に当たる点に線を引く

平面鏡（へいめんきょう）は、反射する面が平らな鏡です。光が鏡に当たる点を決め、そこを通って鏡の面に垂直（すいちょく）な線を引きます。垂直とは、交わる角が直角、つまり90度になることです。この線を法線（ほうせん）といいます。

図1のように、鏡へ向かう光と法線との角が入射角（にゅうしゃかく）、鏡から出ていく光と法線との角が反射角（はんしゃかく）です。角はどちらも鏡のある側ではなく、光が進む側で測ります。法線をはさんで両側の角が等しいことを反射の決まりとして使います。

図1では左上から光が入り、右上へ出ています。矢印を逆にたどっても、それぞれの角は同じです。光源と目を入れ替えても同じ道を通ることを、作図の確かめに使えます。ただし、図に引いた法線そのものが光の道になるわけではありません。

鏡の面と光の道のなす角も問題に出ます。鏡の面と法線との間は90度なので、面から測った角と法線から測った角を合わせると90度です。角の数字に名前を付けずに見比べると混同しやすいため、「面から」「法線から」を数字のそばに書き添えます。

光が法線に沿って鏡へ入ると、入射角は0度です。反射後の光は来た道を逆に戻り、反射角も0度です。図では行きと帰りの線が重なるので、矢印を両向きに書き分けます。面に平行な光は、そのままでは面に当たらないため、通常の反射点を作れません。

面から30度の光を追う

例題です。平らな鏡の面に向かって光が進み、当たる点で、入ってくる光の道と鏡の面との角が30度です。反射後の光について、法線から測る反射角と鏡の面から測る角を、それぞれ整数の度で答えましょう。鏡は光の当たる点の両側に十分な長さがあります。

図2のように、まず当たる点から法線を引きます。光と鏡面との30度は、法線を基準にした入射角ではありません。直角から引いて入射角を求め、反射角に移してから、必要なら鏡面との角へ戻します。

入射角は、90度 − 30度 = 60度です。

反射角は入射角に等しく、60度です。

反射後の光と鏡面との角は、90度 − 60度 = 30度です。

答えは、反射角が60度、鏡面との角が30度です。両方の答えに数字があるので、どちらが何との角かまで書きます。図2の線のように、入る光と出る光は法線の反対側にあり、それぞれが鏡より上にあります。鏡の向こう側に実線を伸ばすと、反射後に鏡を通り抜ける道になってしまいます。

角の値が合っていても、光の向きが逆なら道筋の答えとしては不十分です。入る矢印は鏡へ、出る矢印は鏡から離れる向きに付けます。分度器で描くときは、中心を当たる点に合わせ、法線を0度の基準にして反対側へ60度を取ります。最後に、鏡面から測った角も30度になっているか確かめると、角を取り違えたか見つけやすくなります。

目に届く光と鏡の中の像

少し難しい例題です。平面鏡を横向きの直線として描き、鏡の前に点Aと目Eがあります。Aは鏡に当たる点Oの左側、Eは右側です。AとEはそれぞれ鏡から6 cm離れ、Aから鏡へ垂直に下ろした点と、Eから鏡へ垂直に下ろした点の間は16 cmです。Oはその2点の真ん中にあります。鏡はOの両側に十分な長さがあります。Aから出てOで反射した光がEへ届くかを判断し、Aの像が鏡から何cmの位置に見えるか整数で答えましょう。

Aから鏡に下ろした点をB、Eから下ろした点をCとします。BからOまでとOからCまでは、それぞれ16 ÷ 2 = 8 cmです。AとEの鏡からの距離はどちらも6 cmなので、Oを通る法線を折り目にすると、三角形ABOと三角形ECOは重なります。したがって、AOと法線の角と、OEと法線の角は等しくなります。

AからOへ向かう光は、Oで反射してEに届きます。像は鏡の面に対してAと対称（たいしょう）の位置です。Aから鏡まで垂直に測った距離と、鏡から像まで垂直に測った距離は等しいので、答えは鏡の奥に6 cmです。像の位置をAと同じ鏡の前側に描かないようにします。

ここで2本の線の役割が分かれます。実際の光の道はAからO、OからEへと鏡の前側を進みます。一方、Eに届いた光を鏡の奥へ直線で延長すると、像の位置から来たように見えます。延長部分は実際に光が鏡の奥を進んだ道ではないので、点線で区別します。

別の位置にOを取れば、同じように届くとは限りません。まずAからOへ、OからEへ線を引き、Oの法線を基準に角が等しいか調べます。鏡の長さが足りず、必要な点が鏡の外にある場合も、その点では反射できません。像の位置を描けても、指定された鏡を使って目に届くかどうかは別に確かめる必要があります。

角の取り違えを直す

図3のように、鏡面との角30度をそのまま反射角30度とする答えは、基準線の取り違えです。30度という数字自体は条件どおりですが、鏡面から測った角に「反射角」という名前を付けてしまっています。法線を描き足して90度から引けば、入射角は60度、反射角も60度に直せます。

図3の右側では、鏡面との角と法線との角を別の場所に書いています。図中の数だけを足し引きするのではなく、どの2本の線にはさまれた角かを指でたどってください。入る光と出る光の間の角は、入射角や反射角そのものではありません。法線がその間にある場合には、2つの角を合わせたものです。

もう1つの誤りは、像と反射点を同じ場所に置くことです。反射点は実際の光が鏡面に当たる場所、像は鏡の奥に見える位置です。像から目へ線を引いて鏡と交わる点を探す作図でも、像から鏡までの部分は延長線です。鏡の前の物からその交点、交点から目までが実際の道になります。

作図が途中で行き詰まったら、線を消す前に、鏡面、反射点、法線、矢印を順に点検します。角の印が法線をはさんで反対側にない場合や、鏡の外に反射点を置いた場合は、そこから描き直します。図が小さく角を測りにくいときは、条件を変えずに大きく描き直し、測る角の両辺を延長します。図の見た目だけで値を決めず、与えられた数値を優先します。

図から反射点を探す手順

物と目の位置だけが先に示され、鏡のどこで反射するかを問う問題もあります。その場合は、物の位置から鏡に垂直な線を引き、鏡の奥に同じ距離の像を取ります。次に像と目を直線で結び、その線と鏡面が交わる点を探します。この交点が、光が目に届くための反射点です。

なぜその点を使えるのでしょうか。像は物と鏡面について対称なので、物から反射点へ向かう線と、像から反射点へ向かう線は鏡面について対称です。また、像から目への線は反射点で一直線です。この関係から、反射点に引いた法線を基準に、入射角と反射角が等しくなります。像と目を結んだ線のうち、鏡の奥の部分は補助の点線、鏡から目までの部分は実際の光の道として描きます。

交点が鏡の端より外に出た場合は注意が必要です。鏡面を延長した線とは交わっていても、その場所に鏡がなければそこで反射できません。無理に端を反射点にして目へ線を結ぶと、法線から測った2つの角が等しくならないことがあります。鏡の長さを読み、交点が実際の面の上にあるかまで調べます。

像を作る段階で、物から鏡の端まで斜めに測った距離を使う誤りもあります。鏡に最も近い向き、つまり面に垂直な向きの距離を使ってください。物と像を結ぶ線は鏡面と直角に交わり、その交点から物までと像までが同じ長さです。鏡が斜めに描かれていても、紙の上下方向ではなく鏡に対する垂直方向で考えます。

反射点が指定されている問題では、先に像を描かなくても角を調べられます。指定点で法線を引き、物からその点へ向かう線と、そこから目へ向かう線の角を比べる方法です。点が指定されていない問題では像を使うと候補を探せます。問題に何が与えられているかで入口を選び、最後は反射の決まりで照合します。

鏡に垂直に向かう光では、反射点と像を結ぶ線も法線上にあります。線が重なるため、図が1本に見えても、行きと帰りを区別して考えましょう。矢印の向きが、その違いを示します。

自分で確かめる4問

次の問題では、特に断りがなければ平面鏡は反射点の両側に十分な長さがあります。角度は整数の度、長さは整数のcmで答えます。図が必要な問題は、鏡を直線で表し、矢印を付けて考えましょう。

1. 光が鏡に当たり、入射角が25度でした。反射角と、反射した光と鏡面との角はそれぞれ何度ですか。
2. 入ってくる光と鏡面との角が40度でした。入射角と反射角はそれぞれ何度ですか。
3. 点Pは鏡の前にあり、鏡から垂直に9 cm離れています。Pの像は鏡の奥のどこに見えますか。鏡からの距離と方向を答えましょう。
4. 目に向かって鏡から出る光を、鏡の奥へ点線で延長しました。この点線の部分を実際の光の道と考えてよいですか。理由も答えましょう。

答えと道筋

1. 反射角は25度、鏡面との角は65度です。法線からの角は入射角と同じ25度です。鏡面からは、90度 − 25度 = 65度となります。最初の25度を鏡面との角として引かないように、問題の「入射角」を法線に結び付けます。

2. 入射角は50度、反射角も50度です。面から法線までが90度なので、90度 − 40度 = 50度です。反射後は法線の反対側に同じ角を取り、鏡へ向かう矢印と鏡から離れる矢印を付けます。

3. 鏡の奥に9 cmです。Pから鏡への垂線を鏡の奥に延ばし、面から同じ距離の点を取ります。鏡に沿って9 cm進むのではなく、鏡に垂直な向きで測る点が重要です。像は実際のPの位置ではなく、光がそこから来たように見える位置です。

4. 実際の光の道とは考えません。目に届く光を後ろへ延長して、どこから来たように見えるかを示す線だからです。鏡の前にある物から鏡の反射点を通り、目へ届く部分を実際の道として実線で描きます。点線と実線が鏡面でつながる位置も確かめます。

覚えておきたい線

鏡に当たる点で、面に垂直な法線を引きます。
入射角と反射角は法線から測り、等しくなります。
鏡面からの角は法線からの角と合わせて90度です。
像は物と鏡面について対称で、鏡の奥への延長線は実際の光路ではありません。

お子さまと図を見直すとき

角の答えが違ったときは、すぐに計算だけを直す前に、お子さまがどの2本の線の間を見たか尋ねてみてください。鏡面を指していたら、当たる点に法線を引き、直角を2つの角に分けて数字を書き込みます。角が合っていても光が目に届くか迷う場合は、物から鏡、鏡から目へ矢印をたどります。

像の問題で鏡の奥まで実線を引いたときは、その線が「光が来たように見える向き」を表すと確認します。説明を全部先に伝えるより、実線と点線をそれぞれ何に使ったかをお子さま自身の言葉で示してもらうと、次に直す場所が見えます。鏡面と法線の役割を分けると、反射の道筋がはっきりします。