【小6算数】分数のかけ算を図解で総まとめ—分母どうし分子どうし・途中の約分・帯分数・逆数｜武蔵野個別指導塾

面積図で分数をかける意味を確かめ、途中の約分、帯分数と整数の計算、逆数まで順に学べます。例題と練習問題を通して、答えの大きさを見直す手がかりもつかめます。

よくあるのは、塾の玄関の傘立ての前で、迎えを待つお子さまがノートを開き、「2/3 × 3/4 は、かけ算なのにどうして 2/3 より小さくなるの」と手を止める場面です。分子どうし、分母どうしをかければ答えは出ます。それでも、整数のかけ算で持っていた「かけると増える」という感覚とは合わず、計算の決まりを信じてよいのか迷ってしまいます。

分数のかけ算では、計算の手順と、かける数が表す意味を一緒に確かめます。3/4 をかけるとは、もとの量を4等分したうちの3つ分を求めることです。そのため、もとの量が正の数なら、答えはもとの量より小さくなります。図でこの意味をつかむと、約分や帯分数の計算も、ただ数字を書き換える作業ではなくなります。

ここでは、分数どうしのかけ算から、整数や帯分数を含む計算、かけると1になる逆数までを扱います。ご家庭では速さを求める前に、「その答えは、もとの数より大きくなるかな」と問いかけてみてください。答えの見通しを持つことが、計算を自分で確かめる入口になります。

この単元で身につけること

• 分数をかける意味を説明します。たとえば 2/3 の 3/4 は、2/3 を4等分したうちの3つ分です。「何の、どれだけか」を言葉と図で結びます。
• 分母どうし、分子どうしをかけます。面積図の小さな区切りを数えて、なぜ分母にもかけ算が必要なのかを確かめます。
• 計算の途中で約分します。分子側の数と分母側の数を同じ数でわり、値を変えずに計算しやすくします。
• 整数や帯分数を分数に直します。整数は分母が1の分数に、帯分数は仮分数にすると、分数どうしと同じ手順で扱えます。
• 積の大きさと逆数を確かめます。かける数と1との大小関係を見て答えを予想し、積が1になる組を見つけます。

これまで学んだ分数の性質や約分が、この単元の土台になります。分子と分母を同じ数でわっても分数の大きさが変わらないことを思い出してから進めましょう。多くの教科書では小6で分数どうしのかけ算を学びますが、迷ったときに戻るのは学年の区切りではなく、「1を何等分した、いくつ分か」という分数の意味です。

基本の考え方

分数をかけるとは、もとの量のいくつ分を求めることです

1本が 2/3 m のリボンを考えます。その2本分なら 2/3 × 2 で、同じ長さを2つ集めることになります。一方、1本の 3/4 の長さを求めるときは、1本の長さを4等分し、そのうちの3つ分を取ります。式は 2/3 × 3/4 です。かける数が分数でも、「もとの量の何倍かを求める」というかけ算の意味は続いています。

ここで注意したいのは、3/4 m を求めているのではないことです。もとの長さが 2/3 m で、その 3/4 を求めています。「3/4」という数だけを見ず、何をもとにした 3/4 なのかを言葉にします。保護者の方からは、「このリボン全体を4つに分けて、その3つ分を使うよ」と伝えると、操作が具体的になります。

この関係を、図1のように1辺が 1 m の正方形で確かめます。横を3等分して左の2つ分を取り、その範囲の縦を4等分して上の3つ分を取ります。紺の枠の内側全体は 1 m²、赤い部分は横 2/3 m、縦 3/4 m の長方形です。淡い紺の部分は、横 2/3 m の範囲のうち、赤く取らなかった部分を示しています。

図1の小さな長方形は、同じ面積で横に3個、縦に4個並びます。全部で 3 × 4 = 12 個なので、1個の面積は 1/12 m² です。赤い部分には横に2個、縦に3個あり、2 × 3 = 6 個分を占めています。したがって面積は 6/12 m²、約分すると 1/2 m² になります。

「全体をいくつに分けたか」が分母の 3 × 4 に、「そのうちいくつあるか」が分子の 2 × 3 に対応します。この図から、2/3 × 3/4 = (2 × 3)/(3 × 4) = 6/12 = 1/2 と考えられます。分数のかけ算は、分母どうし、分子どうしをかけて求めます。分母と分子の位置を逆にしないよう、計算する前にそれぞれ指で確かめましょう。

通分と約分は、使う目的が違います

分数のたし算では、数える単位をそろえるために通分しました。1/2 と 1/3 は、そのままでは区切りの大きさが違うからです。かけ算では図1のように、横と縦の区切りを組み合わせて新しい小さな区切りを作ります。そのため、分母を同じ数にそろえる必要はありません。

約分は、分数の表し方を簡単にする操作です。6/12 の分子と分母をともに6でわると 1/2 になります。ここでは色のついた広さが変わったのではなく、同じ広さを、より簡単な分数で表しています。答えを書いたあとには、分子と分母に1以外の共通の約数がないかを確かめます。

約分は、かけ終わってからだけでなく、途中でもできます。2/3 × 3/4 の分子側には2と3、分母側には3と4があります。分子側の3と分母側の3をともに3でわり、分子側の2と分母側の4をともに2でわれば、残る計算は (1 × 1)/(1 × 2) です。これは、6/12 を約分するのと同じ値になります。

ただし、数字が消えてなくなるわけではありません。3を3でわった結果は1です。途中の数字を線で消す書き方をするときも、残る1を小さく書き添えると、分子側や分母側が空になったときの混乱を防げます。慣れるまでは、大きな数をかける前に約分できる組を一組ずつ見つけましょう。

積の大きさと逆数を、1を基準に見ます

かけ算の答えを積といいます。もとの数が0より大きいとき、0より大きく1より小さい数をかけると、積はもとの数より小さくなります。1をかけると同じ大きさで、1より大きい数をかけると大きくなります。これは、もとの量の一部を取るのか、ちょうど全部を取るのか、全部より多く取るのかの違いです。

分子が分母より小さい分数を真分数、分子が分母以上の分数を仮分数といいます。3/4 は真分数で、4/3 は仮分数です。真分数をかけると小さくなると判断できますが、仮分数には 3/3 のように1と等しいものも含まれます。仮分数なら必ず大きくなるとせず、1と比べることが確実です。

2つの数をかけた積が1になるとき、一方の数をもう一方の数の逆数といいます。3/4 と 4/3 は、3/4 × 4/3 = 12/12 = 1 なので、互いに逆数です。0でない分数では、分子と分母を入れ替えると逆数になります。「上下を入れ替える」という操作だけでなく、「かけて1になる」という意味まで確かめましょう。

整数の5は 5/1 と表せるので、逆数は 1/5 です。1の逆数は1で、1 × 1 = 1 が成り立ちます。0はどの数をかけても0になるため、逆数がありません。逆数を考えるときの目印は、見た目の数字の並びではなく、積が1になることです。

例題で解き方を確かめる

例題1　分母どうし、分子どうしをかけます

3/5 × 2/7 を計算しましょう。まず、かける数の 2/7 は1より小さいので、答えは 3/5 より小さくなると見通します。見通しを持っても正確な答えはまだ決まりませんが、計算後に大きな間違いを見つける助けになります。

1. 分子どうしをかけ、3 × 2 = 6 とします。分子は、求める部分が小さな区切りの何個分になるかを表すためです。
2. 分母どうしをかけ、5 × 7 = 35 とします。分母は、新しい区切りで全体が何個に分かれるかを表すためです。
3. 6/35 を約分できるか確かめます。6と35には1以外の共通の約数がないので、このまま答えにします。

計算を1本につなぐと、3/5 × 2/7 = (3 × 2)/(5 × 7) = 6/35 です。3/5 を 21/35 と見直せば、6/35 のほうが小さいことも確かめられます。大小の確認のために通分することはできますが、積を求めるための通分とは区別しましょう。

答え：6/35

例題2　かける前に約分します

8/9 × 3/10 を計算しましょう。分母と分子をそのままかけても解けますが、計算の途中で約分すると、小さな数を使って答えを出せます。図2は、二つの分数を一つの分数の形にまとめたときの、分子側と分母側の数を示しています。

図2のように、上の段の8と下の段の10を同じ組、上の段の3と下の段の9を同じ組として見ます。約分の相手は、分子側と分母側から一つずつ選びます。横に並ぶ8と3を約分するのではありません。

1. 分子側の8と分母側の10を、ともに2でわります。8は4、10は5になり、分子側と分母側を同じ数でわるので分数の値は変わりません。
2. 分子側の3と分母側の9を、ともに3でわります。3は1、9は3になり、ここでも分子側と分母側に同じ操作をします。
3. 残った数で (4 × 1)/(3 × 5) = 4/15 と計算します。4と15には1以外の共通の約数がないため、約分は終わりです。

約分を終えた式は 4/3 × 1/5 と書くこともできます。途中に仮分数が現れても、積の値が変わっていなければ問題ありません。もとの二つの分数をそれぞれ同じ大きさのまま書き換えたのではなく、積全体の値を保つように約分しています。

かけてから求める方法では、8/9 × 3/10 = 24/90 = 4/15 になります。途中の約分と最後の約分で結果が一致することを確認できます。かける数が大きい問題ほど、先に小さくする利点がはっきりしますが、まずは両方の方法が同じ答えになることを大切にしましょう。

答え：4/15

例題3　帯分数と整数を含む文章題です

1 m の重さが 1 と 1/4 kg の棒があります。この棒 3 m の重さの 2/5 にあたる重さを求めましょう。棒はどこでも同じ太さと材質で、長さに比例して重さが増えるものとします。まず 3 m 全体の重さを求め、続いてその 2/5 を取るので、式は 1 と 1/4 × 3 × 2/5 です。

1. 帯分数を仮分数に直します。1は 4/4 なので、1 と 1/4 = (1 × 4 + 1)/4 = 5/4 となり、全体を 1/4 のいくつ分かで表せます。
2. 整数の3を 3/1 と書きます。分母を1とすれば値を変えずに、5/4 × 3/1 × 2/5 という分数どうしの積にそろえられます。
3. 分子側の5と分母側の5をともに5でわり、分子側の2と分母側の4をともに2でわります。3つの分数でも、すべてかけ算でつながっていれば、離れた分子側と分母側の数で約分できます。
4. 残った数をかけ、(1 × 3 × 1)/(2 × 1 × 1) = 3/2 とします。重さを帯分数で示すと 1 と 1/2 kg です。

途中の量も確かめます。3 m 全体では 5/4 × 3 = 15/4 kg、つまり 3 と 3/4 kg です。その 2/5 なので、答えが 3 と 3/4 kg より小さいことは自然です。求めるものが重さなので、最後の答えに kg を付けます。計算だけを追わず、どの段階の重さを求めているかを言葉にすると、3や 2/5 をかける理由が見えてきます。

答え：1 と 1/2 kg

例題4　帯分数の逆数を求めます

1 と 2/3 の逆数を求めましょう。逆数は、もとの数とかけると1になる数です。帯分数の整数部分をそのまま残して分数部分だけをひっくり返すと、この条件を満たさなくなります。

1. 帯分数を仮分数に直します。1 と 2/3 = (1 × 3 + 2)/3 = 5/3 として、一つの分数で数全体を表すためです。
2. 5/3 の分子と分母を入れ替え、3/5 とします。分子側と分母側に同じ数が現れる組を作ると、積を1にできます。
3. 5/3 × 3/5 = 15/15 = 1 と確かめます。逆数の意味に戻って検算することで、入れ替えた答えが正しいか判断できます。

もとの数は1より大きいので、その逆数は1より小さくなります。1より大きい量を1まで小さくするためには、1より小さい数をかける必要があるからです。「かけて1になるか」と「大小の関係は自然か」の両方を確認すると、帯分数の直し忘れに気づきやすくなります。

答え：3/5

つまずきやすいところと直し方

誤り1　かけ算でも分母をそのまま残してしまいます

誤った書き方は、2/5 × 3/5 = 6/5 です。分子だけをかけ、同じ分母だから5を残すという、たし算の手順が混ざっています。しかし、かけ算では 2/5 のさらに 3/5 を求めるので、区切りの大きさも変わります。

正しい書き方は、2/5 × 3/5 = (2 × 3)/(5 × 5) = 6/25 です。分母がもともと同じでも、分母どうしをかけます。「同じ分母だからどうするか」より前に、「今の計算の記号は何か」を確認するようにしましょう。

図3では、上の帯全体を1として、その 2/5 を紺で示しています。下の帯も同じ長さを1とし、紺の長さをさらに5等分したうちの3つ分を赤で示しています。赤い長さは全体の 6/25 で、もとの 2/5 より短くなっています。

図3のように答えが小さくなるはずだと見通せば、1を超える 6/5 はおかしいと気づけます。ただし、小さい答えならすべて正しいわけではありません。見通しで違和感を見つけ、そのあとで分母と分子の計算を確かめる順に使います。

誤り2　分子どうしを約分してしまいます

誤った書き方は、2/3 × 4/5 = 1/3 × 2/5 = 2/15 です。分子の2と4を同じ2でわっていますが、分母側には何もしていません。分数の値を保つ約分にはなっていないため、もとの積とは違う数になります。

正しい書き方は、2/3 × 4/5 = 8/15 です。この問題では分子側の2、4と、分母側の3、5との間に、1以外の共通の約数はありません。約分できる組がなければ、そのままかけてかまいません。

途中の約分は「斜めなら消せる」という見た目の決まりではありません。一つの分数にまとめたときの上と下を、同じ数でわる操作です。迷ったら (2 × 4)/(3 × 5) と書き、分子側と分母側を指で分けてから、共通の約数を探しましょう。

誤り3　帯分数の分数部分だけにかけてしまいます

誤った書き方は、1 と 1/2 × 2/3 = 1 と 1/3 です。1を残したまま、1/2 の部分だけに 2/3 をかけています。しかし、もとの量は1と 1/2 を合わせた全体なので、その全体に 2/3 をかける必要があります。

正しい書き方は、1 と 1/2 × 2/3 = 3/2 × 2/3 = 1 です。帯分数を仮分数に直してから計算すると、整数部分のかけ忘れを防げます。1 と 1/2 は 1/2 が3つ分という意味なので、分子の3は整数部分も含めた数です。

整数部分と分数部分に分けて考えるなら、1 × 2/3 と 1/2 × 2/3 の両方を計算し、最後に合わせなければなりません。その場合も 2/3 + 1/3 = 1 です。分ける方法が間違いなのではなく、片方だけにかけることが誤りだと確かめると、仮分数に直す理由が納得しやすくなります。

練習問題

計算する前に、答えがもとの数より大きくなるか、小さくなるかを考えましょう。逆数の問題では、求めた数ともとの数をかけて1になるかを確認します。すべて暗算で済ませず、約分した相手と残った数が読み取れるように書いてみてください。

練習1

4/7 × 5/6 を計算しましょう。先に約分できる組を一つ見つけ、その組をどの数でわったかも説明しましょう。

練習2

2 と 1/3 × 3/7 を計算しましょう。帯分数を仮分数に直す式を書き、そのあとで約分しましょう。

練習3

長さが 5/6 m のテープがあります。その長さの 3/5 を使いました。使ったテープの長さは何 m ですか。もとのテープより長くなるか、短くなるかも確かめましょう。

練習4

整数の4と、帯分数の 2 と 1/4 の逆数を、それぞれ求めましょう。答えを見つけたら、もとの数との積を書いて確かめましょう。

答えと解説

練習1の答えは 10/21 です。分子側の4と分母側の6をともに2でわると、2/7 × 5/3 = 10/21 になります。かけてから約分すると 20/42 = 10/21 です。5/6 は1より小さいので、積はもとの 4/7 より小さくなっています。

練習2の答えは1です。2 と 1/3 = (2 × 3 + 1)/3 = 7/3 と直し、7/3 × 3/7 = 21/21 = 1 と計算します。7/3 と 3/7 は互いに逆数です。答えが整数になる場合は、分母と分子が同じ分数のままにせず、1と書きます。

練習3の答えは 1/2 m です。式は 5/6 × 3/5 で、分子側と分母側の5を約分し、さらに3と6を3でわると 1/2 になります。3/5 はもとの長さのどれだけを使うかを表すので、3/5 自体に m は付きません。もとの 5/6 m の一部を使ったため、答えはそれより短くなります。

練習4の答えは、4の逆数が 1/4、2 と 1/4 の逆数が 4/9 です。4は 4/1、2 と 1/4 は (2 × 4 + 1)/4 = 9/4 と直します。確認の計算は 4 × 1/4 = 1、9/4 × 4/9 = 36/36 = 1 です。どちらももとの数が1より大きいので、逆数は1より小さくなります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

分数のかけ算は、分数で表された辺の長さから面積を求めたり、ある量の何倍かを求めたりするときに使います。逆数の意味は、次に学ぶ分数のわり算にもつながります。今は、かけ算の途中で勝手に分数を裏返さず、逆数を求める問題との違いをはっきりさせておきましょう。

家庭での確認は、次の二つを合わせて5分ほどに区切れます。一つ目は、紙に同じ長さの帯を2本かき、一方に 1/2、もう一方にその 1/2 を示すことです。「半分の、さらに半分」を見て、1/2 × 1/2 = 1/4 と説明してもらいます。数字を先に書かず、どの長さを1とするか決めてから色を付けると、もとにする量も確認できます。

二つ目は、3/4 と、その逆数を書いたカードを一組作ることです。裏面に 3/4 × 4/3 = 1 と書き、表の二つの数から確認の式を言ってもらいます。計算が合ったかだけでなく、「なぜ逆数と呼べるのか」を一言で答えられれば十分です。

個別指導で約分に迷う場合は、分子と分母を同じ数でわる分数の性質まで戻って確かめます。帯分数で止まる場合は、1を分母に合わせた分数で表せるかを見てから、もとの計算へ戻します。

まとめ

ノートに正しい答えがあっても、「なぜ小さくなったのか」を話せなければ、図に戻る余地があります。逆に計算で一度間違えても、「3/4 をかけたのだから、もとの数より小さいはず」と気づければ、自分で直す手がかりを持っています。お子さまの説明を聞くときは、途中の数字だけでなく、何を1とし、どの部分を求めたのかにも耳を傾けてみましょう。

分数の積は、小さくなった理由まで説明できてこそ、自分で確かめられる答えになります。