高校地学 太陽系の距離尺度—実際の距離と模型の縮尺を単位から組み立てる｜武蔵野個別指導塾

auとkmの換算、模型の直径と間隔、光の所要時間をつなぐ太陽系の尺度です。

よくあるのは、高校生が太陽系の模型を作り、惑星との間隔は一定の縮尺で置いたのに、太陽だけは見やすい大きさに拡大してしまう場面です。模型として見やすくする工夫と、実際の大きさや距離を同じ比で表すことは別です。何を測った長さなのかを確かめ、単位をそろえてから比を作れば、太陽の直径と天体間の距離を同じものさしで比べられます。光がその間隔を進む時間にも、距離の見方をつなげましょう。

距離の問題で問われる3つの判断

1つ目は単位の変換です。太陽系の距離をauで示した資料と、模型の長さをcmで示した条件が同時に出てきたら、数値だけを割ってはいけません。1 auをkmに直し、模型側も同じ長さの単位にそろえてから比を作ります。途中式の単位を残しておくと、どこで1000倍や100倍が必要なのかを追えます。

2つ目は図の読解です。太陽の中心から天体の中心までの間隔と、太陽の表面から天体までのすき間は異なります。さらに、中心から表面までの半径と、端から端までの直径も別の長さです。図が中心間距離を示すなら模型でも中心間を測ります。円の直径を半径のつもりで使うと、その天体だけ大きさが2倍になります。

3つ目は光の所要時間です。真空中を光が進む速さを与えられたら、距離を速さで割ります。模型の距離を使って実際の光の時間を出すのではなく、模型の縮尺から実際の距離へ戻して計算します。所要時間は距離についての情報ですが、天体が現在そこにあると直ちに断定する情報ではありません。光が届くまでに配置が変わる場合もあるからです。

同じ比で長さを移す

天文単位auは長さの単位です。定義は1 au = 149597870.7 kmです。これは地球と太陽の距離に近い尺度として使いやすい値ですが、地球と太陽のその瞬間の距離が常に厳密に1 auであるという意味ではありません。以下の計算で簡単な値を使う場合は、問題文に示す丸めた値を採用します。

縮尺は、模型の長さを実際の対応する長さで割った比です。実際の中心間距離をD、模型の中心間距離をdとすれば、長さの単位をそろえたとき縮尺はd/Dです。実際の直径をA、模型の直径をaとすれば、同じ縮尺の模型ではa/Aもd/Dに等しくなります。逆にこの2つが違えば、大きさと間隔を同時には忠実に表していません。

図1のように、中心間距離は円の中心どうしを結び、直径は1つの円の端から中心を通って反対側の端まで測ります。図1は関係を示す模式図で、実際の太陽系の縮尺ではありません。図に表れない奥行きもあるため、中心間距離を扱う条件ではその距離が与えられたものとして計算します。

直径は半径の2倍なので、実際の半径がRなら模型の直径は2Rに縮尺をかけます。表面間のすき間を求めるなら、中心間距離から両方の半径を引きます。ただし球が重ならず、中心を結ぶ直線上の最短の間隔を扱うことが条件です。中心間距離とすき間を混同しなければ、どの2点を測るかを式から確認できます。

距離と時間の関係は、一定の速さの運動の式から得られます。速さをc、時間をt、進んだ距離をLとするとL = c・tです。両辺をcで割り、t = L/cとします。真空中の光速は299792458 m/sで、計算で3.00 × 10⁸ m/sと指定すれば300000 km/sです。kmをkm/sで割れば秒が残り、分にするには60で割ります。光年は時間ではなく、光が1年に進む距離を表す単位です。

基本例題：直径を合わせた模型

自作問題です。実際の太陽の直径を1400000 km、ある天体と太陽の中心間距離を1.50 × 10⁸ kmと仮定します。太陽の模型の直径を14.0 cmにするとき、同じ縮尺で中心間距離を何mにすればよいでしょうか。有効数字3桁で答えます。これらは計算用の条件であり、実測値の表ではありません。

図2のように、まず実際の直径と中心間距離を同じ単位で比べます。図2は長さの対応を表す模式図で、円の大きさや図中の間隔は縮尺どおりではありません。

中心間距離/太陽の直径 = 150000000 km/1400000 km
模型の中心間距離 = 14.0 cm・150000000/1400000
模型の中心間距離 = 1500 cm
1500 cm = 15.0 m

答えは15.0 mです。kmどうしの比には単位が残らず、14.0 cmを何倍するかが決まります。割り算を途中で丸めずに計算し、最後にmへ直しました。直径から作った縮尺を、中心間距離にも適用したことがポイントです。

別解では1 km = 100000 cmを使います。実際の太陽の直径は140000000000 cmなので、縮尺は14.0/140000000000 = 1/10000000000です。中心間距離150000000 kmもcmに直し、この縮尺をかけると1500 cmです。逆に模型の15.0 mを10000000000倍すると150000000 kmとなり、与えた中心間距離に戻ります。

見栄えのために太陽の模型を直径28.0 cmに取り替えるなら、そのまま15.0 mの間隔を残すと直径の縮尺は2倍になります。同じ縮尺に直したい場合は間隔も2倍の30.0 mにするか、太陽を14.0 cmに戻します。どちらか一方だけを変えた図も説明用には使えますが、その場合は大きさと間隔が異なる縮尺であることを明示します。

標準例題：auから光の時間へ

自作問題です。ある瞬間の2地点の中心間距離を2.40 auとします。1 au = 1.50 × 10⁸ km、真空中の光速を3.00 × 10⁵ km/sとして、この距離を光が進む時間を秒と分で求めてください。答えはそれぞれ有効数字3桁とし、光路は与えた直線距離、媒質による遅れはないものとします。

距離 = 2.40・1.50 × 10⁸ km
距離 = 3.60 × 10⁸ km
時間 = (3.60 × 10⁸ km)/(3.00 × 10⁵ km/s)
時間 = 1.20 × 10³ s
時間 = 1200/60 min
時間 = 20.0 min

答えは1.20 × 10³ s、20.0分です。計算に使った1 auは定義値を丸めた値ですから、その条件での答えになります。秒数に光速をかけると3.60 × 10⁸ kmとなり、さらに1.50 × 10⁸ kmで割れば2.40 auに戻ります。こうして時間から元の距離を再現すると、単位の取り違えに気づきやすくなります。

別の見方では、条件の値から1 auの光の所要時間を求めます。1.50 × 10⁸ kmを3.00 × 10⁵ km/sで割ると500 sです。同じ速さで距離が2.40倍なら時間も2.40倍なので、500・2.40 = 1200 sです。距離を2乗したり、時間の比に模型の直径を混ぜたりする必要はありません。

発展例題：置ける場所から縮尺を決める

自作問題です。実際の太陽の直径を1200000 km、太陽と天体Pの中心間距離を3.00 × 10⁸ kmと仮定します。模型を直線上に置き、太陽の中心からPの中心までを最大30.0 mに収めます。同じ縮尺で作るとき、太陽の模型の直径の最大値をcmで求め、有効数字3桁で答えてください。Pの模型は太陽と重ならず、その大きさは配置の制限に含めないものとします。

中心間距離をちょうど上限にすれば、縮尺が最大になります。長さの比が正なので、これより短い配置では模型の直径も比例して小さくなります。

太陽の模型の直径/30.0 m = 1200000 km/(3.00 × 10⁸ km)
太陽の模型の直径 = 30.0 m・1200000/300000000
太陽の模型の直径 = 0.120 m
太陽の模型の直径 = 12.0 cm

最大値は12.0 cmです。模型の直径12.0 cmを実際の直径1200000 kmに対応させると、模型の中心間距離30.0 mは300000000 kmに戻ります。中心間の上限に対して答えが成立していることも確かめられます。もし場所の制限が中心から中心ではなく、模型の端から端までなら、この式に天体Pの半径などが加わるため、同じ答えにはできません。

逆に、模型の太陽を直径18.0 cmに固定した場合を考えます。12.0 cmの1.5倍なので、同じ縮尺を守るには中心間距離も30.0 mの1.5倍、45.0 mが必要です。30.0 mしかない場合、見やすさを優先して太陽を大きく描く選択はできますが、同縮尺という条件は満たせません。制約が模型の作り方にどう影響するかを、比で説明できます。

模型を作る計画では、先に中心位置を印し、円の半径をそこから両側へ取ります。印や目盛りの幅がある場合、どの位置を中心として読んだかを統一します。模型の実測は学校の指導の下で行い、同じ位置を複数回測って読み取りのばらつきを比べます。1回の測定が上限に近ければ、目盛りの読みや模型の中心の定め方を考慮し、上限を満たすと断定する前に測り直します。

模型の測定から確かめられる範囲

模型を作る前に、距離の種類と精度を表に整理すると条件の不足も見つけやすくなります。長い間隔の両端を先に決め、中心の印と円の外形を別々に記録します。もし直径しか与えられていなければ半径はその半分にできますが、相手の球の大きさが与えられていないと、中心間距離から表面間の距離を数値で決めることはできません。必要な量を補わずに計算を進めると、見た目の図から勝手に大きさを読み取ることになります。

縮尺の確認では、模型の2種類以上の長さを実際の対応する長さで割ります。たとえば太陽の直径から作った縮尺と中心間距離から作った縮尺が一致しても、それ以外の天体の直径も同じ比だとは限りません。それぞれの対応を測り、比の違いが測定のばらつきの範囲で説明できるかを考えます。説明用にサイズを変えた箇所があれば、何を何倍に拡大したかを図に添えます。

計測の誤差は、小さな模型の直径で特に目立ちます。模型の直径が短いとき、同じ幅の目盛りによる読みのずれが、直径に対して占める割合は大きくなるからです。中心が太い印で示されている場合は、印の左端と右端のどちらを採るかで中心間距離も変わります。別の人が再測定できるよう、使った印の位置と測り方を残し、測定値を計算上の正確な条件と区別します。

太陽から2天体までの距離がそれぞれ与えられても、その2天体どうしの距離は配置によって変わります。両者が太陽から同じ方向の一直線上にある場合は距離の差、反対方向の一直線上にある場合は距離の和です。途中の角度なら図に三角形ができます。距離の値だけから勝手に差や和を採らず、図や問題文の配置を確かめてください。光の時間に使う距離も、実際に光が進む2地点間の距離です。

誤答をほどく：どの長さを比べたか

図3は、基本例題の条件で起こりやすい間違いを並べた模式図です。円や間隔は実際の縮尺で描いていません。図3では模型の直径14.0 cmに対し、対応する実際の長さが直径1400000 kmであることに注目します。

誤答の例は、14.0 cmを太陽の半径700000 kmに対応させる計算です。この場合、模型の14.0 cmは半径として扱われるため、実際に直径14.0 cmの模型を用意した条件と食い違います。比から出した中心間距離も正しい15.0 mの2倍、30.0 mになります。直すときは模型と実際の両方に「直径」と書き添え、14.0 cmと1400000 kmを対応させます。

別の誤りは、15.0 mを求めた後に、太陽の表面から天体の表面までのすき間だと読むことです。計算に入れた150000000 kmは中心間距離なので、模型で対応するのも中心間距離です。すき間を求めるには両方の模型の半径を引きますが、基本例題では相手の天体の直径が与えられていないため、数値としては決まりません。図の線の端点に中心か表面かを記してから式に入れると防げます。

単位を落とす誤りもあります。14.0 cmを1400000 kmで割った数をそのまま無次元の縮尺として使うと、cmとkmの換算が抜けます。長さの比で約分する前に両方を同じ単位に直すか、基本例題のように実際のkmどうしの比を先に取ります。結果を逆向きに換算して条件の長さに戻らない場合は、値の桁と単位を再点検します。

5問で試す

次の5問は自作です。実在の天体の観測値ではなく、各問に与えた条件を使います。近似値を使う問題では途中の丸めを避け、指定された桁で最後に丸めてください。

1. ある区間の長さを0.80 auとします。1 au = 1.50 × 10⁸ kmとして、長さをkmで有効数字2桁に直してください。
2. 実際の中心間距離が60000000 kmの2天体を、中心間12.0 mに置きます。一方の実際の直径が900000 kmのとき、同じ縮尺の模型の直径をcmで有効数字3桁にしてください。
3. 実際の半径が400000 kmの球を、直径8.0 cmの模型にします。実際の中心間距離が20000000 kmの位置は、この球の中心から模型上で何mですか。有効数字2桁で答えてください。
4. 真空中の光速を3.00 × 10⁵ km/sとします。光が自作の直線距離90000000 kmを進む時間を、秒と分でそれぞれ有効数字3桁にしてください。
5. 球Aと球Bの実際の中心間距離は8000000 km、半径はそれぞれ600000 kmと400000 kmです。中心間を模型で40.0 cmにしたとき、球の表面間の最短距離をcmで有効数字3桁にしてください。2つの球は重ならず、同じ縮尺です。

解答と戻して確かめる方法

1. 0.80・1.50 × 10⁸ = 1.20 × 10⁸ kmです。指定の有効数字2桁では1.2 × 10⁸ kmです。戻すと1.2 × 10⁸/(1.50 × 10⁸) = 0.80 auとなります。小数点以下の桁数ではなく、有効数字の個数をそろえます。

2. 直径と中心間距離の比は900000/60000000 = 0.015です。12.0 m・0.015 = 0.180 m = 18.0 cmです。逆に模型の18.0 cmと12.0 mを同じ単位で比べると0.015となり、与えた実際の長さの比を再現します。模型の長さを先にcmにそろえて1200・0.015としても同じです。

3. 実際の直径は400000 km・2 = 800000 kmです。中心間距離は直径の20000000/800000 = 25倍なので、模型では8.0 cm・25 = 200 cm = 2.0 mです。2.0 mを8.0 cmで割ると25となり、実際の比に戻ります。半径をそのまま模型の直径と対応させると2倍の誤差になります。

4. 90000000 km/(3.00 × 10⁵ km/s) = 300 sです。有効数字3桁で3.00 × 10² s、これを60で割って5.00分です。3.00 × 10² sに3.00 × 10⁵ km/sをかければ90000000 kmへ戻ります。速さは秒速なので、分へ変えるのは秒数を求めた後です。

5. 実際の表面間の最短距離は8000000 − 600000 − 400000 = 7000000 kmです。中心間距離との比は7000000/8000000 = 0.875で、模型のすき間は40.0 cm・0.875 = 35.0 cmです。模型の半径はそれぞれ3.00 cmと2.00 cmなので、35.0 + 3.00 + 2.00 = 40.0 cmとなり、中心間の条件へ戻ります。引くのは直径ではなく、それぞれ中心から表面までの半径です。

手元に残す要点

• auは長さの単位で、kmへの換算値を問題の条件に合わせます。
• 直径、半径、中心間距離、表面間距離を区別します。
• 同じ縮尺では、対応する模型と実際の長さの比が等しくなります。
• 光の時間は、実際の距離を真空中の光速で割って求めます。
• 答えを逆換算して、与えられた距離や比へ戻します。

答案のどこで止まったかを見る

式が書けないときは、実際と模型の図に中心を打ち、直径と中心間距離に別の印を付けます。比の分子が模型、分母が実際でそろっているかを見ると、縮尺を逆にしたのか、対応する長さを取り違えたのかを切り分けられます。途中の単位が消えない場合は、cmとkmのどちらをそろえるかを先に決めます。

個別指導では、求めた値を元の条件へ戻す説明を口頭でも確かめます。正答でも、半径と直径が偶然相殺されていないか、光の時間を模型上の距離から出していないかを確認します。距離を表す線の両端と比の向きが一致すれば、模型の大きさを変えた条件にも対応できます。