大学入試数学 整数解の存在の示し方—条件から具体的な候補を組み立てて代入する｜武蔵野個別指導塾

条件を満たす整数を一つ決めて式に代入し、成り立つと示せば、その整数は確かに存在します。

よくあるのは、演習の解き直しで、いくつかの数を当てはめて合わなかったときに「存在しない」と書いてしまう場面です。その反対に、「どの数でも合わなかったが、存在しないとは言い切れないので存在する」と書いて止まる答案もあります。どちらも、整数解があると言うために何を書けばよいかが抜けたまま、探した回数で結論を決めています。ここでは、条件から候補を組み立て、式に戻して確かめるまでの手順を、計算を一行ずつ追いながら整理します。

1. 問われる形は三つに分かれる

整数の問題で「存在」が出てくるとき、問われ方は大きく三つに分かれます。一つ目は「〜を満たす整数が存在することを示しなさい」という形です。二つ目は「〜を満たす整数をすべて求めなさい」という形で、こちらは存在するものの一覧を答えます。三つ目は「〜を満たす整数は存在しないことを示しなさい」という形で、否定を証明します。同じ式が出てきても、この三つのどれかによって、答案に書く内容ははっきり変わります。

答案を書き始める前に見るのは、式の左辺がいつでも何の倍数になるかという整数条件です。たとえば 2x + 6y = 5 という式なら、左辺は 2(x + 3y) とまとめられ、x と y がどんな整数でも偶数になります。右辺の 5 は奇数ですから、この時点で解がないとわかります。反対に 7x + 11y = 1 なら、7 と 11 の共通因数は 1 だけなので、この種の障害はありません。まず係数の共通因数を見る、次に偶奇を見る、最後に小さい数で割った余りの可能性を見る、という順で式を観察します。この三つで候補が消えれば、その時点で答えが決まります。候補が残るときに、具体的な数を組み立てる作業へ進みます。

三つの形のうち、答案が止まりやすいのは一つ目と三つ目です。一覧を答える二つ目は、答えの形が決まっているので書き進めやすいのですが、存在を示す一つ目は「何を書けば証明になるのか」がわかりにくく、存在しないことを示す三つ目は「どこまで調べれば尽くしたことになるのか」がわかりにくいのです。次の節で、この二つの型に共通する考え方を整理します。

2. 存在を言う答案に必要な二つの段階

「〜を満たす整数が存在する」という命題を示すとき、数学では条件を満たす整数を実際に一つ作り、その数を式に代入して成り立つことを確かめます。この一つ分の整数を、ここでは証人と呼ぶことにします。証人を書かずに「条件に合う数はきっとある」と述べても、証明にはなりません。逆に、証人を一つ書き、代入の計算を見せれば、それだけで存在の証明は完成します。存在の証明は、作って見せる証明なのです。

答案は二つの段階に分かれます。第一段階は、解があるとしたらどんな形でなければならないかを決める作業です。これを必要条件と言います。2x + 6y = 5 なら、左辺はいつでも偶数、右辺は奇数なので、解があるための必要条件が満たされません。7x + 11y = 1 なら、係数が互いに素なので共通因数による障害はなく、候補は残ります。第二段階は、残った候補を実際に作り、式に代入して成り立つことを見せる作業です。これを十分条件と言います。7・(-3) + 11・2 = 1 という一行が、この段階の中心になります。

この二段階は、片方だけでは答案になりません。候補を絞っただけで「よって存在する」と書いた答案は、必要条件から結論を出してしまっています。証人を一組書いただけで「すべて求めた」と書いた答案は、十分条件の一例を全称の答えにすり替えています。存在を問う問題では、必要条件で候補を絞り、十分条件で証人を作る、という順序を意識します。絞る作業と作る作業は別物だと分けておくと、答案のどこが抜けているかも見えるようになります。

誤解の型は、大きく三つにまとまります。一つ目は、探して見つからなかったことを存在しない根拠にする型です。二つ目は、否定できないことを存在する根拠にする型です。三つ目は、候補を絞っただけで存在を結論する型です。どれも、整数全体ではなく、自分の行った計算だけを見て結論を出している点が共通しています。答案を書くときは、結論の直前に「作った数」か「尽くした表」のどちらがあるかを確かめると、この三つの型から離れられます。

「すべての整数について」という形との違いも、ここで押さえます。全称命題では、一つの例は根拠になりません。n を 3k + 1 と置き、k がどんな整数でも成り立つ変形を最後まで示します。一方、存在命題では、条件を満たす一組で足ります。この違いを意識しないと、存在の答案に「すべての k について」を書き込んだり、全称の答案に一つの例だけを書いたりします。問題文が「存在する」と言っているのか「すべて」と言っているのかを、最初に読み分けることが出発点です。

存在しないことの示し方は、否定の証明になります。候補を全部尽くして、どれも条件を満たさないと示します。整数は無限にありますが、余りで分類すると有限個の場合に落とせます。n を 5 で割った余りで 5 通りに分ける、偶奇の 2 通りに分ける、4 で割った余りで 4 通りに分ける、といった具合です。分けた表の全行で条件が成り立たないことを確かめたとき、その表が根拠になります。試して見つからなかったという事実は、この表の代わりにはなりません。

論理の向きも確認しておきます。「反例が見つからない」は「存在する」の根拠になりません。「条件を満たす数が見つからない」も「存在しない」の根拠になりません。見つかったかどうかは、こちらの探し方の話であって、整数全体の話ではないからです。答案に書くのは、構成した数と代入の計算、または全候補を尽くした表です。この二つのどちらかを書けば、読み手は結論を受け入れられます。

図1のように、問いの形が決まれば、答案に書くものと確かめ方も決まります。存在を問われたら一例を書いて代入し、全称を問われたら文字で置いてくくり出し、存在しないことを問われたら余りを尽くして表で確認します。この対応を頭に入れておくと、問題文を読んだ時点で答案の骨格が決まります。

発展として、存在と一意性は別の命題だという点に触れておきます。存在を示しても、条件を満たす整数が一つだけとは限りません。一意性を問われたときは、二つの候補の差をとり、その差が 0 になる理由を示す別の作業が必要です。存在の答案に一意性の議論を混ぜると、どちらを示したのかわからない答案になります。まず存在、次に一意性、と分けて書くのが基本です。

3. 基本例題で構成の手順をつかむ

例題1（標準）: 7x + 11y = 1 を満たす整数 x, y を一組求め、代入して確かめなさい。

解き方の出発点は、左辺の形を見ることです。7 と 11 の共通因数は 1 だけなので、2x + 6y = 5 のときのような偶奇の障害はありません。候補は残っています。次に、1 を 7 と 11 の組み合わせで作ります。大きい 11 を 7 で割った形に直すところから始めます。

11 = 7 + 4

7 = 4 + 3

4 = 3 + 1

割り算の余りが 1 になったので、この 1 を下の行から順に戻します。戻すときは、余りを「割られる数から、割る数と商の積を引いた形」に書き換えます。

1 = 4 − 3

1 = 4 − (7 − 4) = 2・4 − 7

1 = 2・(11 − 7) − 7 = 2・11 − 3・7

最後の式は、11 を 2 個、7 を -3 個集めると 1 になるという意味です。つまり 7・(-3) + 11・2 = 1 です。よって x = -3, y = 2 が一組の答えです。

確かめの計算を書きます。7・(-3) + 11・2 = -21 + 22 = 1 となり、元の式が成り立ちます。答案は「x = -3, y = 2 とすると、7・(-3) + 11・2 = 1 が成り立つ。よって、この式を満たす整数の組は存在する」で完成です。証人と代入の一行がそろっているので、これ以上付け足す必要はありません。

図2のように、割り算の余りを下から戻していくと、1 を係数の組み合わせで表せます。この計算は、二つの数の最大公約数を求める互除法と同じ流れで、係数が大きくなっても使えます。余りが 1 になった行を見つけ、そこから上へ戻る、という順番を決めておくと、途中で迷いません。

別の組も確認しておきます。x を 11 増やし、y を 7 減らすと、7・11 + 11・(-7) = 77 − 77 = 0 なので左辺は変わりません。x = 8, y = -5 とすると 56 − 55 = 1 です。証人を一つ書けば足りますが、組が一つではないことも見えてきます。一般解を求めるのは別の問いであり、ここで確かめたいのは、一組を作れば存在を言えるという点です。

この構成が成り立つ背景には、7 と 11 が互いに素であることがあります。二つの整数が互いに素なら、その組み合わせで 1 を作れ、1 を作れば任意の整数を作れます。逆に共通因数が 2 以上あると、左辺はいつでもその倍数になり、1 のようにその倍数から外れた定数は作れません。2x + 6y = 5 で証人が見つからなかったのは、探し方が悪かったのではなく、共通因数 2 が障害になっていたからです。証人を作る前に、共通因数を確かめる理由がここにあります。

つまずきやすいのは、戻す順番です。余りが 1 になった行から上へ戻さず、途中の行を飛ばすと、1 が係数の組み合わせで表せません。また、商を掛け忘れて 4 − 3 を 4 − 1 と書いてしまう答案も見かけます。割り算の各行を「割られる数 = 割る数・商 + 余り」の形で書き直してから戻すと、この種の計算違いを防げます。

4. 標準・やや難・難の例題で型を分けて使う

例題2（標準）: n を 3 で割ると 1 余る整数とする。n² + 2 は 3 の倍数であることを示しなさい。

「3 で割ると 1 余る整数」は、n = 3k + 1（k は整数）と一つの文字で書けます。この形に置くと、当てはまる n を一度にすべて扱えます。文字で置くことが、全称の命題を証明するための第一歩です。

n² + 2 = (3k + 1)² + 2 = 9k² + 6k + 1 + 2 = 9k² + 6k + 3 = 3(3k² + 2k + 1)

3 でくくれたので、k がどんな整数でも n² + 2 は 3 の倍数です。k = 0 なら n = 1 で n² + 2 = 3、k = 1 なら n = 4 で 18、k = 2 なら n = 7 で 51 です。代入の確認は、変形が正しいかを見るために行います。

ここでの分かれ目は、一例で済ませないことです。n = 4 を試して 18 が 3 の倍数だった、という一例だけでは「3 で割って 1 余るすべての n」を説明できません。文字で置いて、k のまま最後まで変形するのが全称の型です。一方、例題1 のように「ある整数が存在する」を問われたら、一組で足ります。問題文が「存在する」と言っているのか「すべて」と言っているのかを、最初に読み分けます。

例題3（やや難）: n² + n + 1 が 5 の倍数となる整数 n は存在するか。存在するなら一組示し、存在しないなら理由を示しなさい。

まず小さい数を試します。n = 0 で 1、n = 1 で 3、n = 2 で 7、n = 3 で 13、n = 4 で 21 です。5 の倍数は出てきません。しかし、ここで「存在しない」と決めるのは早すぎます。試した範囲の外に解があるかもしれないからです。

5 の倍数かどうかは、n を 5 で割った余りだけで決まります。n = 5k + r（r = 0, 1, 2, 3, 4）と置いて、r の 5 通りを調べます。

r = 0 のとき、n² + n + 1 = 25k² + 5k + 1 = 5(5k² + k) + 1

r = 1 のとき、n² + n + 1 = 25k² + 15k + 3 = 5(5k² + 3k) + 3

r = 2 のとき、n² + n + 1 = 25k² + 25k + 7 = 5(5k² + 5k + 1) + 2

r = 3 のとき、n² + n + 1 = 25k² + 35k + 13 = 5(5k² + 7k + 2) + 3

r = 4 のとき、n² + n + 1 = 25k² + 45k + 21 = 5(5k² + 9k + 4) + 1

余りは 1, 3, 2, 3, 1 のどれかで、0 は現れません。整数は必ずこの 5 通りのどれかに当てはまるので、どの整数 n でも n² + n + 1 は 5 の倍数になりません。よって、条件を満たす整数 n は存在しません。

ここでの分かれ目は、根拠の置き場所です。存在しないことの根拠は「試して見つからない」ではなく「全候補を尽くした」です。余りで分類すると、無限個の整数が有限個の場合に変わります。表の全行を確認したという事実が、証明になります。

別の見方も確認します。n² + n = n(n + 1) は連続する二つの整数の積なので必ず偶数で、n² + n + 1 は奇数です。これで 2 の倍数でないことはわかりますが、5 の倍数でないことはわかりません。偶奇の議論は、5 の倍数の否定には届きません。どの法で見るかを決めるのは、式の形と、排除したい倍数の種類です。

例題4（難）: a² − 4b = 5 を満たす整数の組 (a, b) をすべて求めなさい。

二段階で進めます。まず、解があるとしたら a はどんな数かを絞ります。次に、その形の a に対して b を実際に作ります。絞る作業と作る作業を分けて書くと、答案のどこまでが必要条件で、どこからが十分条件かが読み手に伝わります。

必要性の段階では、式を 4 で割った余りを見ます。a² = 5 + 4b なので、a² を 4 で割った余りは、5 を 4 で割った余りと同じ 1 です。整数 a を 4 で割った余りで分けると、a = 4m, 4m + 1, 4m + 2, 4m + 3 の 4 通りがあり、a² の余りはそれぞれ 0, 1, 0, 1 です。余りが 1 になるのは a が奇数のときだけです。よって、解があるなら a は奇数です。

十分性の段階では、a = 2k + 1（k は整数）と置いて b を作ります。

a² − 5 = (2k + 1)² − 5 = 4k² + 4k + 1 − 5 = 4k² + 4k − 4 = 4(k² + k − 1)

この変形から、b = k² + k − 1 とすれば b は整数で、a² − 4b = 5 が成り立ちます。k = -1 なら (a, b) = (-1, -1)、k = 0 なら (1, -1)、k = 1 なら (3, 1)、k = 2 なら (5, 5) です。代入すると 1 − 4・(-1) = 5、9 − 4・1 = 5、25 − 4・5 = 5 で、いずれも成り立ちます。

答えは (a, b) = (2k + 1, k² + k − 1)（k は整数）です。

ここでの分かれ目は、必要性だけで止めないことです。「a が奇数」まで言えても、それだけでは b の形は決まりません。b を文字で作り、代入して成り立つと示したときに、初めてすべての組を書いたことになります。逆に、b = (a² − 5)/4 と書くだけでは、a が奇数のときにこの分数が整数になる理由が抜けます。4 でくくる変形が、その理由になります。

別解との比較もしておきます。b から先に考えると、a² = 5 + 4b が平方数になる b を探す形になります。b = k² + k − 1 を見つけるより、a から b を作る方が速いです。適用できない方法として、a² の 4 での余りを調べずに「a はどんな整数でもよい」と置くと、b が整数にならない場合を答えに混ぜてしまいます。余りで候補を絞る作業を飛ばすと、十分性の計算が合わない組が残ります。

発展として、右辺を 8 に変えた a² − 4b = 8 を考えます。同じように 4 で割った余りを見ると、a² を 4 で割った余りが 0 になる必要があるので、a は偶数です。a = 2k と置くと、a² − 8 = 4k² − 8 = 4(k² − 2) となり、b = k² − 2 が整数です。k = 2 なら (a, b) = (4, 2) で 16 − 8 = 8、k = 3 なら (6, 7) で 36 − 28 = 8 です。右辺の値が 4 で割って 1 余るか 0 で割り切れるかで、a の偶奇のどちらが残るかが変わります。

5. 見つからないだけで「存在する」と書いた答案を直す

問題: 2x + 6y = 5 を満たす整数の組 (x, y) は存在するか。

誤答の例を挙げます。「x = 1 のとき 6y = 3 で y = 1/2、x = 2 のとき 6y = 1 で y = 1/6、x = 3 のとき 6y = -1 で y = -1/6 となり、どれも整数にならない。しかし、x をもっと大きくすればいつか整数になると考えられる。見つからないだけで存在しないとは言えないので、存在する。」という答案です。

原因は二つあります。一つは、探して見つからなかったことを「存在する」の根拠にしている点です。論理の向きが逆で、見つからないことは何も支えていません。もう一つは、左辺の形を見ていない点です。2x + 6y は 2(x + 3y) とまとめられ、x と y がどんな整数でも偶数です。右辺の 5 は奇数なので、等式は一度も成り立ちません。

直し方は、文字のまま左辺をまとめ、両辺の偶奇を比べることに尽きます。2x + 6y = 2(x + 3y) は偶数です。右辺の 5 は奇数です。偶数と奇数が等しくなることはありません。よって、この式を満たす整数の組は存在しません。

図3のように、誤答は「見つからない」から「存在する」へ進み、正しい答案は「左辺の形」から「偶数と奇数で矛盾」へ進みます。同じ式を見ていても、出発点が違うと結論の向きが逆になります。左辺を文字でまとめる一行を、最初に書く習慣をつけます。

対比として、定数が 4 の場合を考えます。2x + 6y = 4 は x = 2, y = 0 で成り立ちます。左辺が 2 の倍数なので右辺も 2 の倍数でなければならず、4 はこの条件を満たします。同じ左辺でも、定数が左辺の倍数かどうかで結論が変わります。答案では、この「左辺の形」を最初に書くと、場合分けの必要がない問題だと見えます。

この誤答には、必要条件と十分条件を入れ替えているという見方もできます。「x を大きくすればいつか合う」という文は、候補を広げているだけで、候補を作ったことになっていません。候補が広がるほど、存在するという結論は遠くなります。存在を言うためには、候補の広さではなく、一つの具体的な数と代入の計算が要ります。誤答を直すときは、探した数の列を消し、左辺をまとめた式と偶奇の比較に置き換えると、答案の筋が通ります。

6. 練習問題

練習1（標準）: 4x + 9y = 1 を満たす整数 x, y を一組求め、代入して確かめなさい。

練習2（標準）: n を 9 で割ると 4 余る整数とする。n² + 2 は 9 の倍数であることを示しなさい。

練習3（やや難）: a² − 3b = 2 を満たす整数の組 (a, b) は存在するか。理由をつけて答えなさい。

練習4（やや難）: n² + n + 2 が 4 の倍数となる整数 n を、4 で割った余りで分類してすべて求めなさい。

練習5（難）: n² − n が 6 の倍数となる整数 n をすべて求めなさい。

答えと解き方

練習1: 9 を 4 で割ると 9 = 4・2 + 1 です。余りが 1 なので、1 = 9 − 2・4 と戻せます。つまり 4・(-2) + 9・1 = -8 + 9 = 1 で、x = -2, y = 1 が一組です。確かめは元の式に代入して 4・(-2) + 9・1 = 1 です。x を 9 増やし y を 4 減らすと、x = 7, y = -3 でも 28 − 27 = 1 になります。

練習2: n = 9k + 4（k は整数）と置きます。n² + 2 = 81k² + 72k + 16 + 2 = 81k² + 72k + 18 = 9(9k² + 8k + 2) となり、9 でくくれます。よって 9 の倍数です。k = 1 なら n = 13 で 171 = 9・19、k = 2 なら n = 22 で 486 = 9・54 です。

練習3: 存在しません。a を 3 で割った余りで分けると、a = 3m, 3m + 1, 3m + 2 の 3 通りで、a² の余りはそれぞれ 0, 1, 1 です。一方、a² = 2 + 3b の右辺は、2 を 3 で割った余りが 2 なので、a² の余りが 2 でなければなりません。0 と 1 しか出ないので、どの整数 a でも成り立ちません。よって組は存在しません。

練習4: n = 4k + r（r = 0, 1, 2, 3）と置きます。n² + n + 2 を 4 で割った余りは、r = 0 で 2、r = 1 で 0、r = 2 で 0、r = 3 で 2 です。よって、n を 4 で割った余りが 1 または 2 のときに限り 4 の倍数になります。確認すると、n = 1 で 4、n = 2 で 8、n = 5 で 32、n = 6 で 44 です。

練習5: n = 3k + r（r = 0, 1, 2）と置きます。n² − n を 3 で割った余りは、r = 0 で 0、r = 1 で 0、r = 2 で 2 です。また n² − n = n(n − 1) は連続する二つの整数の積なので必ず偶数です。2 でも 3 でも割り切れるのは r = 0, 1 のときなので、n = 3k または n = 3k + 1（k は整数）です。確認すると、n = 4 で 12、n = 6 で 30、n = 7 で 42 が 6 の倍数です。n = 5 は 20 で、6 の倍数ではありません。

7. 覚えておくこと

• 存在を言うには、条件を満たす整数を一つ作り、代入して確かめる。
• 「すべて」を問われたら、文字で置いて全パラメータで変形する。
• 存在しないことを言うには、余りなどで全候補を尽くす。
• 候補を絞るのは必要条件、作って代入するのが十分条件。
• 見つからないことも、否定できないことも、根拠にはならない。

8. つまずきの見分け方

答案を見るときは、結論の文ではなく、その直前の一行を見ます。「存在する」の直前に代入の計算があるか。「存在しない」の直前に全候補の表があるか。「すべて」の答えに文字 k が残っているか。この三つで、多くのつまずきは場所がわかります。個別の確認では、答案の各行に「何を代入したか」を指させ、余りで分類した表の全行を声に出して読ませます。読み飛ばした行があれば、そこが抜けた候補です。最後に、作った数を元の式へ戻す一行を書かせると、構成と確認が一続きになります。

答案に残るのは、作った数と、その数を式に戻した一行です。