大学入試数学 数学的帰納法と開始番号—成り立つ範囲を調べて証明の起点を決める｜武蔵野個別指導塾

2ⁿ と n² の大小が逆転する番号を代入で探し、推論の下限と突き合わせて、答案の一行目に書く開始番号を決める。最初に成り立つ番号が起点です。

よくあるのは、演習の解き直しで、n から n の次への式変形だけを書き写して答案を閉じる場面です。ノートの一行目に「n=1 のとき」とあるのに、その n=1 で式が成り立つかを計算した跡がありません。式変形そのものは合っているのに、どの番号から成り立つのかを決めていないので、答案は結論まで届きません。ここで問われているのは変形の技術ではなく、成り立つ番号の範囲を先に確定させる手順です。

問われることと出方

整数の指数式を扱う入試の問いでは、数学的帰納法が答案の骨格になります。ただし、帰納法を当てはめてよいかどうかを決めるのは、式変形の巧さではなく、成り立つ番号の範囲です。出方は大きく三つに分かれます。

第一は「すべての自然数 n について成り立つことを示せ」という形です。この形でも、n=1 では成り立たない命題は珍しくありません。全部成り立つと決めつけず、まず小さい番号を代入します。成り立たない番号が混ざっていれば、その番号を除いた範囲に問題を置き直すことになります。

第二は「成り立つ自然数 n をすべて求めよ」という形です。答えは番号の集合になります。1 から順に成り立つとは限らず、途中で切れて、あとからまた成り立つこともあります。帰納法は後半の範囲を担当し、前半の小さな番号は代入で片づけます。二つの担当を答案の上で分けるのが要点です。

第三は「最小の n を求め、その n 以上で成り立つことを示せ」という形です。起点を先に決め、その番号から先を帰納法で覆います。最小の n を求める計算と、その先を証明する計算は別物なので、答案でも二段に分けます。

三つの型に共通する最初の作業は、指数と多項式のどちらが大きいかを、番号の小さい側から確かめることです。番号が小さいうちは多項式が勝ち、指数は後から追い抜きます。追い抜く番号を特定しないまま式変形を始めると、仮定の使えない番号で推論を書くことになります。答案が途中で止まる原因の多くは、この順序を逆にしていることです。

用語と方針 — 帰納法が保証する範囲

数学的帰納法は、次の三段で一つの命題を証明します。

第一段は起点です。n=a のとき命題が真であることを、代入して示します。

第二段は推論です。k≥a を満たす任意の整数 k について命題が真だと仮定し、その仮定を使って k の次でも真になることを示します。仮定を使った行がどこなのかを、答案の中に残します。

第三段は結論です。n≥a を満たすすべての整数 n で命題は真である、と閉じます。

この三段が保証するのは、a 以上の番号だけです。a より小さい番号については、何も言っていません。だから「すべての自然数」を示すには a=1 から始める必要があり、a を 5 にするなら 1 から 4 までを別に調べなければなりません。ここを混同すると、証明した範囲と答案に書いた範囲がずれます。

起点の決め方は三手順です。

第一に、小さい番号を代入して、成り立つ番号と成り立たない番号の境目を探します。n=1、2、3 と書いて、左辺と右辺の値を並べます。この一覧が、あとで答案の根拠になります。頭の中だけで比べず、値を書きます。

第二に、推論で使う不等式が成り立つ k の範囲を求めます。仮定 2ᵏ>k² から 2ᵏ⁺¹>2k² を出したあと、2k²≥(k+1)² が要ります。この不等式を k の二次不等式として解くと下限が出ます。ここで出る下限は「仮定を使ってよい番号の下限」です。命題そのものが成り立つ範囲とは違います。

第三に、第一の境目と第二の下限を比べます。境目が下限以上なら、境目の番号を起点にできます。境目が下限より小さいなら、下限の番号では仮定そのものが偽なので、推論は動きません。この場合は境目を起点にします。

多くの答案が落ちるのは、第三の比較を飛ばすからです。第二の下限だけを見て「k≥3 だから n=3 から始めよう」と決めると、n=3 で命題が偽のときに、仮定が偽のまま推論を書くことになります。仮定が偽の命題からは何も導けません。下限は起点の候補を絞る道具であって、起点そのものではありません。

図1のように、2ⁿ>n² が成り立つ番号は1と5以降で、2から4は成り立ちません。起点を5に置けば、帰納法は5以降を覆います。1は代入で真を確かめ、2から4は偽であることを一つずつ書きます。この三種類の番号を混ぜないことが、答案の骨格になります。

もう一つの誤解の型は、指数の方が常に強いと思い込むことです。番号が小さいうちは n² や n³ の方が大きく、指数が逆転するのはある程度先です。逆転する番号は式によって変わるので、毎回代入して探します。1桁や2桁の暗算で足りる範囲から始め、必要なら3桁まで書きます。

基本例題（標準）— 2ⁿ > n² が成り立つ番号

問題（標準）: n を自然数とする。2ⁿ>n² が成り立つ n をすべて求めよ。また、n≥5 を満たすすべての n で成り立つことを数学的帰納法で示せ。

解答は四段で書きます。第一段は、小さい番号を代入して境目を探す段です。

n=1: 左辺 2, 右辺 1, 2>1 で真
n=2: 左辺 4, 右辺 4, 4>4 は偽
n=3: 左辺 8, 右辺 9, 8>9 は偽
n=4: 左辺 16, 右辺 16, 16>16 は偽
n=5: 左辺 32, 右辺 25, 32>25 で真

第二段、推論の不等式を作ります。k≥5 として 2ᵏ>k² を仮定します。

2ᵏ⁺¹ = 2・2ᵏ
      > 2k²          （仮定 2ᵏ>k² より）

ここで 2k²≥(k+1)² であれば、2ᵏ⁺¹>(k+1)² となります。差を取って確かめます。

2k² - (k+1)² = 2k² - (k²+2k+1)
             = k² - 2k - 1
             = (k-1)² - 2

k≥5 のとき (k-1)²≥16 なので、(k-1)²-2≥14>0 です。よって 2k²>(k+1)² が成り立ちます。

第三段、起点を決めます。第一段で真になる最小の番号は5です。第二段の不等式は k≥5 で使えるので、起点は5でかみ合っています。

ここで一つ確かめておきます。第二段の不等式 2k²≥(k+1)² は、実は k≥3 でも成り立ちます。k=3 のとき (k-1)²-2=4-2=2>0 です。しかし n=3 では命題そのものが偽なので、k=3 を起点にはできません。下限が3だからといって起点を3にすると、偽の仮定の上に推論を積むことになります。下限と起点は別の番号です。

第四段、帰納法を閉じます。

n=5 のとき 2⁵=32, 5²=25, 32>25 で真。
k≥5 の整数 k について 2ᵏ>k² と仮定する。
2ᵏ⁺¹ = 2・2ᵏ > 2k² > (k+1)²。
よって n=k+1 でも 2ⁿ>n² が成り立つ。
したがって n≥5 のすべての整数 n で 2ⁿ>n² が成り立つ。

結論は、成り立つ n が n=1 と n≥5、成り立たない n が2、3、4です。n=1 は帰納法の範囲の外にあるので、代入で真を書きます。ここを書かないと「n=1 も5以降も成り立つ」という答えの根拠が片方だけになります。

図2のように、仮定 2ᵏ>k² から 2ᵏ⁺¹>2k² を出し、2k²≥(k+1)² を k≥3 で確かめて、最後に起点5を置きます。図の左から右へ進む流れが、そのまま答案の行の順序になります。不等式が成り立つ k の下限と、命題が成り立つ最小の番号を、図の中でも別の位置に置いてあるのは、この二つを混ぜないためです。

例題2（やや難）— 2ⁿ > n³ の起点は10

問題（やや難）: 2ⁿ>n³ を満たす自然数 n をすべて求めよ。

同じ形の問いでも、指数の相手が n³ になると、逆転する番号は大きく動きます。まず代入します。

n=1: 2>1 で真
n=2: 4<8 で偽
n=3: 8<27 で偽
n=4: 16<64 で偽
n=5: 32<125 で偽
n=6: 64<216 で偽
n=7: 128<343 で偽
n=8: 256<512 で偽
n=9: 512<729 で偽
n=10: 1024>1000 で真

n=9 のとき 512 と 729 で、まだ負けています。n=10 で 1024 と 1000 になり、初めて勝ちます。差は24しかありません。この24を見落とすと、起点を9や8に置いてしまいます。

次に推論の下限を求めます。k≥10 として 2ᵏ>k³ を仮定します。

2ᵏ⁺¹ = 2・2ᵏ
      > 2k³          （仮定 2ᵏ>k³ より）

2k³≥(k+1)³ が要ります。差を取ります。

2k³ - (k+1)³ = 2k³ - (k³+3k²+3k+1)
             = k³ - 3k² - 3k - 1

このままでは下限が見えないので、k≥1 を使って式を下から押さえます。

k³ - 3k² - 3k - 1 ≥ k³ - 3k² - 3k - k
                  = k³ - 3k² - 4k
                  = k(k² - 3k - 4)
                  = k(k-4)(k+1)

k≥4 なら k(k-4)(k+1)≥0 です。よって k≥4 で 2k³≥(k+1)³ が成り立ちます。

ここで下限は4、実際の起点は10です。下限4は起点の候補の下限にすぎません。k=4 では仮定 2⁴>4³ が偽なので、4から帰納法を始めることはできません。起点は代入で真になった10です。

n=10 のとき 2¹⁰=1024, 10³=1000, 1024>1000 で真。
k≥10 の整数 k について 2ᵏ>k³ と仮定する。
2ᵏ⁺¹ = 2・2ᵏ > 2k³ ≥ (k+1)³。
よって n=k+1 でも真。
したがって n≥10 のすべての整数 n で 2ⁿ>n³ が成り立つ。

結論は n=1 または n≥10 です。n=2 から n=9 までの8個は成り立ちません。この8個を答案に書くかどうかで、答えの確かさが変わります。書かないと、10未満を調べた形跡が残りません。

この例題の教訓は、下限の計算と起点の探索を別々に行うことです。下限を求めただけで起点が決まったと思うと、4から9までの6個を飛ばします。飛ばした番号の中に成り立つ番号が混ざっていればよし、成り立たない番号が混ざっていれば証明が崩れます。実際、4から9はすべて成り立たないので、起点を10にしなければなりません。

別解として、比を取る方法もあります。2ᵏ⁺¹/(k+1)³ を 2ᵏ/k³ と比べ、比が1より大きいことを示せば、番号を1つ進めるたびに左辺が右辺より速く伸びると言えます。ただし比の計算でも「比が1を超える番号」と「実際に大小が逆転する番号」は別なので、最後は代入で確かめます。この問題では、比が1を超えるのは k≥4 ですが、2⁴<4³ なので、やはり起点は10です。

一方、底をそろえて両辺を 2ⁿ で割る方法は、右辺が n³/2ⁿ という分数になり、整数のままでは扱えません。指数の式を整数の範囲で評価する問題では、割り算で形を崩すより、差を取って因数分解する方が答案に残せます。二項定理で (1+1)ᵏ を展開する方法も、k が小さいうちは項が多く、起点を探す用途には向きません。

例題3（難）— n! > 3ⁿ と小さい6つの番号

問題（難）: n を自然数とする。n!>3ⁿ を満たす n をすべて求めよ。ただし n! は1から n までの整数の積とします。

指数と積の比較では、途中の番号で値がほとんど並ぶことがあります。まず代入します。

n=1: 1! = 1, 3¹ = 3, 1<3 で偽
n=2: 2! = 2, 3² = 9, 2<9 で偽
n=3: 3! = 6, 3³ = 27, 6<27 で偽
n=4: 4! = 24, 3⁴ = 81, 24<81 で偽
n=5: 5! = 120, 3⁵ = 243, 120<243 で偽
n=6: 6! = 720, 3⁶ = 729, 720<729 で偽
n=7: 7! = 5040, 3⁷ = 2187, 5040>2187 で真

n=6 の 720 と 729 の差は9です。n=5 の差は123、n=4 の差は57なので、n=6 がいちばん際どい番号です。ここを飛ばして「7くらいから成り立つ」と決めると、6を確かめずに起点を7にした答案になります。6が偽である以上、起点7は正しいのですが、確かめた形跡が残りません。

推論の下限を求めます。k≥7 として k!>3ᵏ を仮定します。

(k+1)! = (k+1)・k!
       > (k+1)・3ᵏ      （仮定 k!>3ᵏ より）

(k+1)・3ᵏ≥3ᵏ⁺¹ が要ります。両辺を 3ᵏ で割ります。

(k+1)・3ᵏ ≥ 3・3ᵏ
⟺ k+1 ≥ 3
⟺ k ≥ 2

下限は2です。しかし n=2 では 2<9 で命題が偽なので、2を起点にはできません。起点は代入で真になった7です。

n=7 のとき 7!=5040, 3⁷=2187, 5040>2187 で真。
k≥7 の整数 k について k!>3ᵏ と仮定する。
(k+1)! = (k+1)・k! > (k+1)・3ᵏ ≥ 3・3ᵏ = 3ᵏ⁺¹。
よって n=k+1 でも真。
したがって n≥7 のすべての整数 n で n!>3ⁿ が成り立つ。

結論は n≥7 です。n=1 から n=6 までは成り立ちません。

この例題で覚えておきたいのは、下限が小さいことは起点が小さいことを意味しないという点です。下限2は「仮定を使う不等式が k≥2 で成り立つ」というだけの情報です。命題そのものが2で成り立つかは、代入して別に調べます。三つの例題はどれも、下限の番号と起点の番号が一致しません。

誤答を直す — 仮定の番号を書かない答案

実際に多い誤答は、次のような答案です。

n=1 のとき 2>1 で成り立つ。
n=k のとき 2ᵏ>k² と仮定すると、
2ᵏ⁺¹ = 2・2ᵏ > 2k² ≥ (k+1)²。
よってすべての自然数 n で 2ⁿ>n² が成り立つ。

この答案には四つの欠陥があります。

第一に、2k²≥(k+1)² の行が k≥3 でしか成り立ちません。k=1 では 2k²=2、(k+1)²=4 で、2≥4 は偽です。k=2 でも 8≥9 で偽です。不等式を書いた行の直前に、k の範囲を書いていないので、どこで成り立つ不等式なのかが読み取れません。

第二に、起点の n=1 から推論を続けていますが、k=1 と k=2 で推論が壊れています。起点が1でも、推論が k≥3 でしか動かないなら、n=1 から n=2 へ進めません。起点と推論の下限がかみ合っていないのです。

第三に、n=2、3、4 が偽であることを確かめていません。実際には 4>4、8>9、16>16 で、どれも成り立ちません。「すべての自然数」という結論は、この3個で崩れます。

第四に、2k²≥(k+1)² を確かめずに、そのまま結論へ進んでいます。この不等式が成り立つのは k が十分大きいときだけで、k の小さい範囲では成り立ちません。差を因数分解して下限を出せば、この行がどこから使えるかが自分でもわかります。

直し方は、図3のように、まず k=1 を代入して不等式が崩れることを確かめ、次に差を因数分解して k≥3 を出し、最後に代入で真になる最小の番号5を起点に置きます。

図3の左側が、k=1 で 2<4 となり不等式が成り立たない場面です。右側が、k≥3 なら成り立つことを確かめたうえで、起点を5に置いた場面です。同じ不等式でも、使える番号の範囲を書くかどうかで答案の意味が変わります。

練習問題（5問）

問題1（標準）: 3ⁿ>n²+2 を満たす自然数 n をすべて求めよ。

問題2（標準）: 2ⁿ≥n²+2n+2 を満たす自然数 n をすべて求めよ。

問題3（やや難）: 3ⁿ>2n³ を満たす自然数 n をすべて求めよ。

問題4（標準）: 4ⁿ>n³+3n² を満たす自然数 n をすべて求めよ。

問題5（やや難）: 2ⁿ>n²+n を満たす自然数 n をすべて求めよ。

解答と解き方

解答1。まず代入します。n=1 のとき 3 と 3 で、3>3 は偽です。n=2 のとき 9 と 6 で真です。n=3 のとき 27 と 11 で真です。推論の下限を求めます。k≥2 として 3ᵏ>k²+2 を仮定すると、3ᵏ⁺¹=3・3ᵏ>3(k²+2) です。差を取ります。

3(k²+2) - ((k+1)²+2) = 3k²+6 - (k²+2k+3)
                     = 2k² - 2k + 3
                     = 2(k - 1/2)² + 5/2

この値はすべての k で正です。よって下限は k≥1 ですが、n=1 は偽なので起点は2になります。n=2 で真、k≥2 で推論が動くので、n≥2 のすべてで成り立ちます。答えは n≥2 です。

解答2。代入します。n=1 から n=5 までは 2、4、8、16、32 に対して 5、10、17、26、37 で、すべて偽です。n=6 で 64≥50 となり真です。推論は、k≥6 として 2ᵏ≥k²+2k+2 を仮定すると 2ᵏ⁺¹≥2(k²+2k+2) です。差を取ります。

2(k²+2k+2) - ((k+1)²+2(k+1)+2) = 2k²+4k+4 - (k²+4k+5)
                                = k² - 1

k≥1 で k²-1≥0 なので下限は1です。n=1 から n=5 は偽なので起点は6です。答えは n≥6 です。

解答3。代入します。n=1 のとき 3>2 で真です。n=2 のとき 9<16 で偽、n=3 のとき 27<54 で偽、n=4 のとき 81<128 で偽、n=5 のとき 243<250 で偽です。n=6 のとき 729>432 で真です。推論は、k≥6 として 3ᵏ>2k³ を仮定すると 3ᵏ⁺¹>6k³ です。差を取ります。

6k³ - 2(k+1)³ = 6k³ - (2k³+6k²+6k+2)
              = 4k³ - 6k² - 6k - 2
              = 2(2k³ - 3k² - 3k - 1)

k≥3 のとき、2k³-3k²-3k-1≥2k³-3k²-4k=k(2k²-3k-4)>0 です。よって下限は3ですが、n=2 から5は偽なので起点は6です。n=1 は別に真です。答えは n=1 または n≥6 です。

解答4。代入します。n=1 のとき 4 と 4 で 4>4 は偽です。n=2 のとき 16<20 で偽です。n=3 のとき 64>54 で真です。推論は、k≥3 として 4ᵏ>k³+3k² を仮定すると 4ᵏ⁺¹>4(k³+3k²) です。差を取ります。

4(k³+3k²) - ((k+1)³+3(k+1)²) = 4k³+12k² - (k³+6k²+9k+4)
                              = 3k³+6k²-9k-4

k≥2 のとき 3k³+6k²-9k-4≥12k²-9k-4>0 です。下限は2ですが、n=2 は偽なので起点は3です。答えは n≥3 です。

解答5。代入します。n=1 のとき 2 と 2 で偽、n=2 のとき 4<6 で偽、n=3 のとき 8<12 で偽、n=4 のとき 16<20 で偽です。n=5 のとき 32>30 で真です。推論は、k≥5 として 2ᵏ>k²+k を仮定すると 2ᵏ⁺¹>2(k²+k) です。差を取ります。

2(k²+k) - ((k+1)²+(k+1)) = 2k²+2k - (k²+3k+2)
                         = k² - k - 2
                         = (k-2)(k+1)

k≥2 で (k-2)(k+1)≥0 なので下限は2です。n=2 から4は偽なので起点は5です。答えは n≥5 です。

覚えておくこと

• 帰納法が保証するのは、起点以上の番号だけです。起点より小さい番号は、代入で別に調べます。
• 起点は、代入して真になる最小の番号です。式変形からは決まりません。
• 推論の不等式から出る下限は、起点の候補の下限であって、起点そのものではありません。
• 差を因数分解して k の条件を出してから、仮定の番号の範囲を答案に書きます。
• 「すべて」と書く前に、起点より小さい番号を一つずつ確かめます。

つまずきの見分け方

答案を見るときは、三つの番号を指で追います。一つ目は、代入で真を確かめた最小の番号です。二つ目は、推論の不等式が成り立つ k の下限です。三つ目は、結論で「すべて」と言い切った範囲の始まりです。この三つが同じ番号なら、答案はかみ合っています。ずれているなら、どこかで仮定を偽のまま使っているか、確かめていない番号を飛ばしています。

指導の場では、まず小さい番号の代入を3個書かせ、次に差の因数分解を書かせ、最後に起点を決めさせます。式変形より先に番号を並べる順序を体で覚えると、答案の一行目が変わります。

答案の最初に置くべきなのは、記号の操作ではなく、成り立つ番号を一つずつ並べた短い計算です。