高校情報I 画像の画素数—縦横の細かさと表示寸法を分けて情報量を考える｜武蔵野個別指導塾

タイル模様の縦横の積と表示倍率を追います。拡大しても戻らない形を考える鍵は画素数です。

よくあるのは、高校生が小さく記録したタイル模様を画面いっぱいに拡大し、画素も増えたと考える場面です。画面上の一つひとつの四角が大きくなっても、元の記録にある区画の数は変わりません。細い線が記録の段階で消えていたなら、表示を大きくする操作だけでは、その線が元にあったかどうかも決められません。

どんな問いで区別が必要か

画素数を尋ねる問題では、横に並ぶ画素の数と縦に並ぶ画素の数から、全体の画素数を求めます。横と縦を足すのではなく、1行の個数が何行あるかを考えます。答えには画素という単位を添え、縦横の両方が与えられているかを先に確認します。

別の問いでは、同じ記録を大きく表示したとき、記録された画素数と画面上の寸法のどちらが変わるかを説明します。表示寸法が変わることと、元の画像に新しい細部が記録されることは別です。表示方法によって境界をなめらかに見せる処理が加わる場合もありますが、元の記録にない形を正確に取り戻した証拠にはなりません。

さらに、少ない画素で細い模様を記録したときの欠落を考える問題もあります。どの情報が残り、何が判断できなくなるかを具体的な模様に戻して述べます。単に「画質が悪い」と答えるより、線がつながって見えるのか、線自体が区別できないのかを説明すると理由が伝わります。

画素と表示の役割を分ける

ラスタ画像は、縦横に並んだ画素それぞれの色情報などで表す画像です。画素は画像を構成する小さな単位で、タイルの位置に対応する記録の区画と考えられます。1行に横の数だけ画素があり、それが縦の数だけ並ぶので、総画素数は横の画素数と縦の画素数の積です。横と縦を入れ替えても積は同じですが、画像の向きや縦横の形は同じとは限りません。

図1のように、記録の格子と表示される大きさを別々に考えます。左の格子を右のように大きく見せても、同じ区画を広く表示しただけなら区画の数は変わりません。1つの画素を表示する面積は増えても、記録された色の区別の数が自動的に増えるわけではありません。

図1の矢印は、同じ記録を大きく表示する関係です。実際の画面では装置の表示用の点と画像の画素が必ず1対1で対応するとは限りません。画像の画素数を尋ねられたら、画面に表示される点の数ではなく、画像データの縦横の数に注目します。

画素数が多ければ、同じ範囲をより細かい区画に分けて記録できます。ただし、それだけで元の対象を忠実に記録できたと断定はできません。元の画像がぼやけていたり、細部がすでに失われていたりすれば、区画を増やした後も元の細部は決まりません。色をどれだけ細かく表すかや圧縮の条件も、記録の内容に関係します。

ラスタ画像と対比されるベクトル画像は、線や図形の位置、形などを用いて表します。表示する大きさに合わせて図形を描き直せるという考え方です。ただし、どの形式でも元の形の情報が不足していれば、失われた形を確実に復元できるとは限りません。ここでは両者の表し方の違いにとどめ、ファイル形式ごとの機能には踏み込みません。

情報量をビット数で求める場合、画素数だけでなく1画素に何ビットを割り当てるかが必要です。同じ画素数でも割当てが異なれば量は変わります。付加情報や圧縮の有無によってもファイル全体の大きさは変わるため、条件のない画素数から保存容量を断定しません。

基本例題：模様の区画を数える

展示用の自作タイル模様を、横4画素、縦3画素のラスタ画像として記録しました。1画素は1区画に対応します。横方向にも縦方向にも表示の長さを2倍にして見せますが、画像データは変更しません。元の総画素数を画素単位の整数で求め、拡大後にその数がどうなるか答えてください。

図2のように、1行には4画素あります。その行が3行あるので、4 × 3 = 12画素です。拡大後も画像データは変更していないため、記録された総画素数は12画素のままです。横と縦の表示の長さはそれぞれ2倍ですが、画面上で各画素が占める面積が大きくなることと、画素の記録数が増えることは異なります。

図2では、横4個の区画が縦に3段あります。数え直すと4個ずつの3組であり、答えの12画素が問題の配置に戻ります。大きい図でも同じ色の位置関係を保っており、区画の数が変わっていません。大きい図を見て横8個、縦6個と数え直す操作は、表示の長さに付いた倍率を記録の個数に移してしまう誤りです。

この問題では元のデータを変更しないと決めています。もし別の画像として横8画素、縦6画素に作り直すなら、別の記録の画素数は48画素です。それでも、元の12画素に記録されていなかった模様を正しく再現できるとは限りません。新しい区画の色を近くの色から決めても、それは元の対象を再測定した結果ではないためです。

標準例題：同じ数でも形は違う

案内札の模様を保存する候補として、画像Aは横6画素、縦4画素、画像Bは横8画素、縦3画素とします。どちらも1画素につき同じ8ビットを使い、付加情報と圧縮はないものとします。総画素数をそれぞれ画素単位の整数で求め、データ量をビット単位の整数で比べてください。また、同じ総画素数なら同じ形の模様を同じ配置で表せると言い切れるか答えてください。

Aは6 × 4 = 24画素、Bは8 × 3 = 24画素です。各画素に8ビットを使うので、どちらも24 × 8 = 192ビットです。付加情報と圧縮を除くという条件があるため、この比較ができます。192を8で割れば24に戻り、各候補の縦横の積とも一致します。

それでもAは6列4行、Bは8列3行です。横長の程度や、縦に配置できる区画数が異なります。例えば縦4段を区別する模様をそのままの区画配置で置きたいとき、Bには縦3段しかありません。総数が等しいという結果は、配置や縦横比まで等しいという証拠にはなりません。

表示の縦横の長さも、この条件からは決まりません。画素数が同じでも、表示する場所や1画素の見せ方を変えれば寸法は変えられます。逆に、同じ表示寸法で並べる場合も、画像AとBをそのまま収めるのか、余白を設けるのかによって見え方は変わります。

発展例題：小さく記録した後に何が残るか

自作の模様は白と黒だけで構成され、横12区画、縦8区画です。各2列と2行をまとめた4区画を、それぞれ1画素として記録することにします。各まとまりの中にある色のうち、最も多い色をその画素の色にします。同数の場合は白を選びます。付加情報や圧縮を考えず、画素数を整数で求めてください。さらに、黒い区画がまとまりの中で1つだけだった場合、白い区画が4つの場合と記録を区別できるか説明してください。

横は12を2で割って6画素、縦は8を2で割って4画素です。したがって6 × 4 = 24画素になります。元の区画に戻して確認すると、横6組は12列、縦4組は8行に対応します。24個の各画素に4区画ずつ対応するので、元の96区画も過不足なく含まれます。

黒1区画と白3区画のまとまりでは、多い白が記録されます。白4区画でも白が記録されるので、この1画素の記録だけでは両者を区別できません。小さく記録した後で拡大しても、白い画素が広く表示されるだけでは黒い区画があったか判断できません。黒1区画の位置も同じように失われます。

これは条件として決めた多数決の例です。実際の縮小方法は一通りではなく、色の決め方によって結果が変わります。それでも、複数の元の状態が同じ記録に対応する場合、その記録だけから元の状態を一意に決められないという考え方は共通です。保存前の原図が残っていれば参照できますが、縮小後の画像だけで必ず元に戻せるわけではありません。

誤答をたどって直す

基本例題で「表示の縦横を2倍にしたので、記録も8画素 × 6画素で48画素」と答える誤りを考えます。原因は、表示の長さにかけた倍率を、記録の列数と行数にもそのままかけたことです。問題では画像データを変更しないと決めています。元の列数と行数をそれぞれ4と3に戻し、積をとれば12画素です。

図3のように、最初に「何を変えたか」を分けます。表示だけが変わった場合は記録の縦横を使います。別の画像へ再作成した場合は、その新しい縦横の数を使います。再作成した画素数が増えても、元の対象の細部が増えたという結論は別途確かめる必要があります。

別の誤りは、画素数とデータ量を同じ数として扱うことです。画素は区画の数、ビットは情報の量の単位です。標準例題なら24画素と192ビットを区別します。1画素当たりのビット数が不明なら、画素数を正しく求めてもビット数の答えは出せません。

また、縮小後に白く見える箇所を「元も白一色だった」と決めるのも危険です。発展例題の規則では、白4区画と黒1区画を含むまとまりが同じ白に記録されました。元の候補を2通り書き出し、同じ結果になるかを比較すると、復元できない理由を説明できます。

練習問題

次の5問は互いに独立した自作の条件です。計算結果は指定された単位の整数で答えてください。

1. 横9画素、縦5画素の模様があります。総画素数を求めてください。画像データを変えずに縦横の表示の長さを3倍にした後の記録画素数も答えてください。
2. 横7画素の画像があり、総画素数は56画素です。縦の画素数を求め、答えを元の総画素数に戻して確かめてください。
3. 横10画素、縦6画素の画像で、1画素を4ビットで記録します。付加情報と圧縮はありません。総画素数とデータ量をそれぞれ求めてください。
4. 横15区画、縦9区画の模様を、横3区画、縦3区画ずつのまとまりごとに1画素へ記録します。総画素数を求め、元の区画数との対応を示してください。
5. 横4区画、縦2区画の模様を、横2区画、縦2区画ごとに1画素へ記録します。各まとまりで黒が3区画以上なら黒、それ以外なら白を記録します。あるまとまりに黒が1区画の場合と2区画の場合は、記録だけから区別できますか。記録後の画像を拡大する場合も考えて理由を述べてください。

練習の答えと解き方

1. 9 × 5 = 45画素です。表示の長さを3倍にしてもデータは変わらないので、記録画素数は45画素です。9個の行が5行あることに戻して確かめます。表示の面積が変わっても、画素の記録数とは別です。
2. 56 ÷ 7 = 8画素です。横7画素の行が8行なら7 × 8 = 56画素となり、条件に戻ります。56から7を引くのではなく、7個ずつの行が何行あるかを求めます。
3. 10 × 6 = 60画素、60 × 4 = 240ビットです。240ビットを1画素当たりの4ビットで割ると60画素に戻り、10列6行の積と一致します。付加情報と圧縮についての条件がなければ、ファイル全体の量はこの計算だけでは決まりません。
4. 横は15 ÷ 3 = 5画素、縦は9 ÷ 3 = 3画素なので、5 × 3 = 15画素です。1画素に元の9区画が対応し、15 × 9 = 135区画です。これは15 × 9の元の区画数に一致します。横と縦のまとまりを別々に数えると対応を追えます。
5. 区別できません。黒が1区画でも2区画でも、指定された条件では白が記録されます。1画素に同じ白が残るため、拡大後も記録だけから元の黒の個数を決められません。元の配置を保存した別の記録があれば、その情報を使って確認できます。

要点

画素数は画像の横の画素数と縦の画素数の積です。 表示の寸法を変えても、データを変えなければ記録画素数は変わりません。 画素数だけでは色の細かさやファイル全体の容量は決まりません。 同じ記録に複数の元の模様が対応すると、記録だけでは元を一意に決められません。

どこで迷ったかを確かめる

個別指導では、まず本人が描いた格子に横の個数と縦の個数を記し、行の数え方と積が対応しているかを確かめます。正しい積でも、表示倍率を記録の列数に移していれば、元の格子と拡大図の対応を指でたどります。逆に計算が合っていて説明に迷うときは、異なる元の模様が同じ画素に記録される例を2つ作り、拡大後にどちらを選べるかを尋ねます。画素の数と失われた形を分けて言葉にできれば、表示の大きさに引きずられず判断できます。