中2数学 平行四辺形になる条件—十分な組合せと条件不足の図を比較する｜武蔵野個別指導塾

平行と等長が同じ対辺の組にあるかを確かめ、台形の反例と対角線の二等分から、四角形を判定する根拠を選び直せます。

四角形の向かい合う辺を調べると、ABとCDが平行で、さらにBCとADの長さが等しいことがわかりました。平行な組と等しい組があるので、平行四辺形といえそうです。しかし、その2つは別々の組です。この情報だけで結論を出せるか、辺の対応を確かめます。

平行四辺形になる条件は、言葉を覚えるだけでは使いにくいものです。図に印をつけ、条件がどの辺や角にかかっているかを見ます。成り立たない例を探すことも、条件の意味を知る助けになります。

要点（結論から）

• 5つの条件のうち1つを満たせば、平行四辺形と判定できます。
• 平行と等長を組み合わせるときは、同じ1組の対辺であることが必要です。
• 対角線の条件では、2本とも交点で二等分されることを確かめます。

問題の形と出発点

問題には大きく3つの形があります。与えられた辺や角の情報から使える条件を選ぶ形、対角線の交点を使って条件を示す形、そして情報が足りるかを反例で判断する形です。証明では、仮定から直接使える事実と、これから示す結論を区別します。

四角形ABCDの頂点は周に沿ってA、B、C、Dの順に並ぶものとします。ABとCD、BCとADがそれぞれ対辺です。ACとBDは対角線です。ここで扱う四角形は、辺が交差しないものとします。平行四辺形は、2組の対辺がそれぞれ平行な四角形と定義します。

平行四辺形なら対辺が等しい、という性質と、対辺の情報から平行四辺形と判定する条件は、矢印の向きが異なります。結論から出発してはいけません。中2の図形の論証では、仮定から結論へ根拠をつなぐことを学びます。

5つの条件を辺と対角線に分ける

次のいずれか1つが四角形ABCDについて成り立てば、平行四辺形といえます。

1. 2組の対辺がそれぞれ平行です。
2. 2組の対辺がそれぞれ等しいです。
3. 2組の対角がそれぞれ等しいです。
4. 対角線がそれぞれの中点で交わります。
5. 1組の対辺が平行で、しかもその同じ組の長さが等しいです。

1は定義そのものです。2はAB = CDかつBC = AD、3は∠A = ∠Cかつ∠B = ∠Dという意味です。4で対角線の交点をOとすると、AO = COかつBO = DOです。一方だけを二等分する情報では足りません。5は、例えばAB ∥ CDかつAB = CDという組合せです。

図1のように、5ではABとCDの両方に平行と等長の印をつけます。AB ∥ CDとBC = ADなら、それぞれの情報は別の組にあります。どちらも対辺についての情報ですが、5の条件にはそのまま当てはまりません。

5が十分な理由を、対角線ACを引いて考えます。AB ∥ CDから、錯角が等しく∠BAC = ∠DCAです。またAB = CD、ACは共通です。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△BACと△DCAは合同です。対応する角∠BCAと∠DACが等しいため、錯角が等しいことからBC ∥ ADです。もともとAB ∥ CDなので、2組の対辺が平行になりました。合同を使うときは、対応の順をそろえることが大切です。

条件を使うと、必要な結論が必ず出ます。しかし、条件に当てはまらなければ、平行四辺形でないとすぐ決まるわけではありません。別の情報を加えれば判定できる場合があります。情報が足りないことと、結論が必ず偽であることは区別します。

基本例題：同じ組を見つける

四角形ABCDでAB ∥ CD、AB = CD、AB = 7 cmです。ABCDが平行四辺形であることを説明し、BC = 4 cmのときADの長さをcmで求めてください。

図2では、平行と等長の両方がABとCDに与えられています。四角形ABCDは、1組の対辺が平行でその長さも等しいので、平行四辺形です。平行四辺形の対辺は等しいため、AD = BC = 4 cmです。答えは4 cmです。

ここで7 cmという数は、ABとCDの長さを具体的に表します。平行四辺形と判定する際には、その数自体よりAB = CDという関係が必要です。数が書かれていても、どの2辺を比べるかを読み取ります。判定後に性質を使うと、ADとBCが対応することも確かめられます。

標準例題：対角線の交点を調べる

四角形EFGHの対角線EGとFHは点Oで交わります。EO = 2x + 1 cm、OG = 11 cm、FO = y + 2 cm、OH = 8 cmです。2本の対角線がそれぞれの中点で交わるとき、xとyを求め、EFGHが平行四辺形である理由を説明してください。

OがEGの中点なのでEO = OGです。したがって、次のように求めます。

2x + 1 = 11
2x = 10
x = 5

同様に、OがFHの中点なのでFO = OHです。

y + 2 = 8
y = 6

元の長さに戻すとEO = 2・5 + 1 = 11 cmでOGと等しく、FO = 6 + 2 = 8 cmでOHと等しくなります。2本の対角線がそれぞれの中点で交わるので、EFGHは平行四辺形です。答えはx = 5、y = 6です。

交点があるだけでは中点とは限りません。EO = OGだけなら、OがEGの中点であることは示せますが、FHの両側の長さは定まりません。2本について別々に等式を書き、どちらも満たすかを調べます。逆に、2本の対角線の長さが同じというだけでも、それぞれが中点で交わるとは限りません。

発展例題：別の組では判定できるか

四角形PQRSで、PQ ∥ SR、PS = QRとします。この情報だけでPQRSは必ず平行四辺形になりますか。ならない場合は、条件を満たす図の例を挙げて説明してください。

必ず平行四辺形になるとはいえません。例えば、方眼上にP(0, 0)、Q(6, 0)、R(5, 3)、S(1, 3)をとります。PQとSRはともに横向きで平行です。PSとQRは、それぞれ横に1、縦に3だけずれた線分であり、向きが逆になるように重ねると一致するので等しい長さです。

しかし、PQの長さは6、SRの長さは4です。平行四辺形なら対辺PQとSRは等しいはずなので、この四角形は平行四辺形ではありません。与えられた2つの情報を満たしながら結論を満たさない例が1つあれば、「必ず」という主張は成り立ちません。

この反例でPSとQRの長さが等しいことは、点SからPQに下ろした垂線の足をT、点RからPQに下ろした垂線の足をUとすれば、PT = QU = 1、ST = RU = 3であることからも確認できます。直角三角形PTSとQURは2組の辺とその間の角がそれぞれ等しく、合同です。よってPS = QRです。図の見た目だけに頼らず、与えた条件に戻して確かめます。

同じPQ ∥ SRのもとで、もしPQ = SRも与えられれば、平行と等長が同じ組にそろいます。そのときは5の条件で判定できます。元のPS = QRという情報は、この判定には使わなくてもよい情報です。使わない情報があっても問題はありませんが、与えられていないPQ = SRを勝手に追加してはいけません。

間違いから条件の不足を探す

誤答1は「AB ∥ CD、AD = BCだから、1組の対辺が平行で等しい」とするものです。平行な組と等しい組を混同しています。図3のようにABとCDには平行の印、ADとBCには等長の印をつけます。印の種類が同じ辺の組に重ならないため、この条件は使えません。

図3では上と下の辺が平行で、左右の斜めの辺が等しい一方、上と下の長さは異なります。条件を満たす反例があるので、元の情報だけからは判定できません。修正するときは、どの対辺の平行と等長が必要なのか、辺の名前を省略せずに書きます。

誤答2は「対角線の交点OでAO = COだから、平行四辺形」とするものです。この等式からわかるのはOがACの中点ということだけです。BO = DOも確認して初めて、対角線がそれぞれの中点で交わるという条件になります。たとえばA(0, 0)、C(4, 0)、B(2, 1)、D(2, -2)なら、O(2, 0)はACの中点ですがBDの中点ではありません。

誤答3は、判定前に「平行四辺形だから対辺が等しい」と書くものです。示したい結論を先に使っているため、理由が輪になります。与えられた等式や平行から出発し、条件を満たすことを示してから、平行四辺形の性質を使います。

練習：5つの判定

次の四角形の頂点は、それぞれ書かれた順に周を回ります。必要な理由も書いてください。

1. 四角形JKLMでJK = LM、KL = MJです。平行四辺形といえるか答えてください。
2. 四角形ABCDでAB ∥ CD、AB = CD、BC = 9 cmです。ADの長さをcmで求めてください。
3. 四角形EFGHの対角線の交点をOとし、EO = 3x − 2 cm、OG = 13 cm、FO = 6 cm、OH = 6 cmとします。EFGHが平行四辺形になるときのxを求め、対角線の条件を用いてその理由を書いてください。
4. 四角形PQRSで∠P = ∠R = 70°、∠Q = ∠S = 110°です。平行四辺形といえるか、使う条件を挙げてください。
5. 四角形ABCDでAB ∥ CD、AD = BCです。必ず平行四辺形といえるか、座標を使った反例を1つ示してください。

練習の答えと確かめ方

1. 平行四辺形といえます。JKとLM、KLとMJはそれぞれ対辺です。2組の対辺がそれぞれ等しいという条件を満たします。辺の並びを図に書いてから組を選ぶと、隣り合う辺との取り違えを防げます。

2. AD = 9 cmです。ABとCDが平行で等しいため、1組の対辺が平行でその長さも等しい条件からABCDは平行四辺形です。対辺ADとBCが等しいのでAD = 9 cmです。与えられたBCに戻して、求めたADが同じ長さになることを確かめます。

3. OがEGの中点となる条件EO = OGから、次のように計算します。

3x - 2 = 13
3x = 15
x = 5

x = 5を戻すとEO = 3・5 − 2 = 13 cmで、OGと一致します。またFO = OH = 6 cmです。2本の対角線がそれぞれの中点で交わるので、EFGHは平行四辺形です。答えはx = 5です。

4. 平行四辺形といえます。∠Pと∠R、∠Qと∠Sはそれぞれ対角であり、2組の対角がそれぞれ等しいという条件を満たします。70°と110°の組を隣の角として比べるのではなく、向かい合う角の組で照合します。

5. 必ずとはいえません。例えばA(0, 0)、B(8, 0)、C(6, 2)、D(2, 2)です。ABとCDは横向きで平行です。左右の斜めの辺は、横に2、縦に2のずれを持つので、重ねると一致しAD = BCです。一方、ABは8、CDは4なので、対辺の長さが等しくありません。この図は与えられた情報を満たす反例です。

要点

• 5つの条件のうち1つを満たせば、平行四辺形と判定できます。
• 平行と等長を組み合わせるときは、同じ1組の対辺であることが必要です。
• 対角線の条件では、2本とも交点で二等分されることを確かめます。
• 条件不足の主張は、仮定を満たして結論を満たさない反例で検討できます。

どこで止まったかを見分ける

条件を暗記していても、図の対辺を選べなければ正しく使えません。まず頂点を順にたどり、向かい合う2組を声に出して挙げます。次に、問題文の平行と等長を別の印で図に移し、同じ組に印がそろっているかを見ます。対角線の場合は、交点をはさんだ4つの線分の名前を書いて、2つの等式を確かめます。

個別指導で説明を確かめるときは、「なぜその条件を選んだか」「反例は与えられた情報をすべて満たすか」を一つずつ尋ねると、暗記の不足と対応の読み違いを区別できます。結論を先に使った場合は、その直前に戻り、仮定からいえることだけを並べ直します。印と辺の名前が一致すると、証明の道筋が見えてきます。

条件の確認では、図がたまたま平行四辺形らしく見えるかどうかも判断材料にしません。図は条件を整理するための手がかりですが、描き方によって長さや角度が正確でないことがあります。例えば、対角線が真ん中で交わるように見えても、線分の等しさが仮定や計算で示されていなければ、中点と断定できません。

反例を作るときは、まず与えられた情報を全部書き出します。次に、結論の平行四辺形なら必ず成り立つ性質を1つ選び、それが成り立たない図を考えます。最後に、作った図が元の情報に反していないか、辺ごとに点検します。元の条件を1つでも満たさない図では、反例として使えません。この順に調べると、条件が足りない理由を他の人にも説明できます。