中2数学 直角三角形の合同—斜辺を特定して二つの特別な条件を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

垂線でできる三角形を例に、直角の向かいの辺と対応をたどり、証明の根拠を選ぶ直角三角形の合同です。

よくあるのは、直角をはさむ辺を斜辺と取り違え、その長さを合同の根拠にしてしまう場面です。図に印がたくさん付くほど、辺の名前を目で拾うだけでは対応を間違えやすくなります。まず直角を見つけ、その向かいにある辺を指でたどります。どの三角形について考えているかを決めてから探すことが出発点です。

要点（結論から）

• 斜辺は、直角の向かいにある辺です。
• 直角三角形どうしなら、斜辺と他の1辺、または斜辺と1つの鋭角で合同を示せます。
• 垂線の足で直角を確認し、共通な辺も根拠に使います。

何を手がかりに比べるか

直角三角形の合同では、主に次のような問いがあります。2つの三角形について斜辺ともう1組の辺が等しいことから合同を示す問い、斜辺と1組の鋭角が等しいことから合同を示す問い、垂線の足を使ってできた2つの三角形を取り出す問いです。最後の型では、等しい辺や角が図に直接書かれていなくても、共通な辺や垂直という仮定から見つかることがあります。

中2の図形の論証では、仮定から順に根拠をつないで結論を導きます。図の見た目が似ていることは根拠にはなりません。向きが違う三角形でも、対応する頂点を順に並べれば、どの辺と角を比べているかが明確になります。

直角の向かいにある辺を探す

図1のように、三角形ABCで∠Bが直角なら、その向かいの辺ACが斜辺です。辺ABと辺BCは直角をはさみます。辺の長さが数字で与えられていなくても、直角の位置だけで斜辺を特定できます。紙を回して図の向きが変わっても、頂点Bの向かいは辺ACのままです。

図1では斜辺に色を付けています。斜辺は、直角に接していない唯一の辺です。直角の印に触れる辺を選ぶと、斜辺とは別の辺を選んでしまいます。三角形が重なっている図では、全体からいきなり探すのではなく、対象の3頂点を決めてその三角形の直角を見ることが必要です。

直角三角形には、次の2つの合同条件があります。

• 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
• 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。

どちらも、比べる2つが直角三角形であることが前提です。「斜辺と他の1辺」は、斜辺同士と、直角をはさむ辺同士を対応させます。「斜辺と1つの鋭角」は、斜辺同士と、それぞれ90°より小さい角同士を対応させます。斜辺以外の辺と鋭角の組をそのまま「斜辺と1つの鋭角」と呼ぶことはできません。

なぜ鋭角の条件で形が決まるのでしょうか。三角形の内角の和は180°なので、1つが直角なら残りの2つの和は90°です。一方の鋭角が等しければ、もう一方も等しくなります。斜辺は2つの鋭角にはさまれた辺なので、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいことになります。

斜辺と他の1辺の条件も、直角であることを使います。直角をはさむ辺を対応させて2つの直角三角形を重ねると、もう一方の頂点は共通の垂線上にあり、共通の斜辺の長さで決まります。直角の位置をそろえて裏返しも許して重ねるため、向きが反対でも合同です。この説明を使う前に、等しい辺が本当に両方の斜辺なのか確かめます。

基本：斜辺と他の1辺

例題1。△ABCと△DEFはそれぞれ∠B = ∠E = 90°です。AC = DF、AB = DEのとき、△ABCと△DEFが合同であることを証明し、対応する辺BCとEFの関係を答えましょう。図2の印は与えられた等しさを表します。

図2ではBとEが直角なので、斜辺はACとDFです。ABとDEはどちらも直角をはさむ辺です。AにD、BにE、CにFを対応させて書きます。

証明。△ABCと△DEFにおいて、仮定より∠B = ∠E = 90°です。したがって、どちらも直角三角形です。仮定より、斜辺AC = DF、またAB = DEです。直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、△ABC ≡ △DEFです。合同な図形の対応する辺は等しいので、BC = EFです。

この順番なら、結論のBC = EFを合同の前提として使う循環を避けられます。合同を示す前に使ったのはACとDF、ABとDEの等しさです。合同の後でBCとEFの等しさを取り出しました。頂点の順を変えずに書くと、BCに対応するのがEFであることを追えます。

標準：鋭角と斜辺から残りの角へ

例題2。△PQRと△STUは∠Q = ∠T = 90°、PR = SU、∠P = ∠S = 38°です。2つの三角形が合同であることを証明し、∠Rと∠Uをそれぞれ度で答えましょう。

∠Qと∠Tが直角なので、PRとSUは斜辺です。38°は90°より小さいので、∠Pと∠Sは鋭角です。仮定のPR = SUと∠P = ∠Sから、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しく、△PQR ≡ △STUです。

角の大きさは内角の和から求めます。

∠R = 180° - 90° - 38°
∠R = 52°
∠U = 180° - 90° - 38°
∠U = 52°

答えは∠R = 52°、∠U = 52°です。元の三角形に戻すと、どちらも90°、38°、52°の和が180°で、与えられた直角と鋭角を満たします。別の説明として、まず残りの角が等しいと出し、斜辺の両端の角を対応させることもできます。いずれもPRとSUを斜辺と確認してから進めます。

発展：垂線が作る三角形を取り出す

例題3。線分AB上に点Hがあり、HはA、Bのどちらとも異なります。点Cは直線AB上になく、CHはABに垂直です。さらにCA = CBです。△CHAと△CHBが合同であることを証明し、AHとBHの関係を答えましょう。

まず垂直という仮定から、∠CHA = ∠CHB = 90°です。HがAとBの間にあるので、HAとHBは同じ直線上の反対向きの半直線ですが、どちらもHCに垂直です。考える三角形は△CHAと△CHBで、それぞれHが直角です。したがって斜辺はCAとCBです。

証明。△CHAと△CHBにおいて、CHはABに垂直なので、∠CHA = ∠CHB = 90°です。仮定より斜辺CA = CBです。また、CHは共通なのでCH = CHです。直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、△CHA ≡ △CHBです。対応する辺は等しいから、AH = BHです。

共通なCHは2つの三角形に現れますが、2本の別々の線分を新たに仮定したわけではありません。同じ線分を両方で使っているため、その長さが等しいといえます。合同の順番をCHAとCHBにしたので、CはC、HはH、AはBに対応します。この対応から角ACHと角BCHも等しいと取り出せます。

条件の分かれ目は垂直です。CA = CBとCHが共通という情報だけでは、HがAB上でもCHが垂直とは限りません。垂直がなければ2つを直角三角形と断定できず、この特別な条件は使えません。逆に垂直だけではCA = CBが出てこないので、斜辺の等しさも別に必要です。使う条件を1つずつ仮定に戻して確認します。

間違いを図に戻して直す

図3のように、直角をはさむ辺を斜辺として選んでしまう誤りがあります。△ABCで∠Bが直角のとき、ABは直角に接しています。斜辺は反対側のACです。赤い印があるから斜辺なのではなく、直角との位置関係で決まります。

誤答の原因は、長そうに見える辺や、与えられた辺をそのまま斜辺と決めることです。修正するときは、三角形の3頂点を囲み、直角の頂点を指し、そこに接していない辺を探します。図3のABを指した場合は、Bに接していることを確かめてからACに直します。

もう1つの誤りは、対応順を無視して△ABC ≡ △FEDと書くことです。例題1では直角のBにE、ABにDEを対応させたので、AはD、CはFです。FEDという順ではAがFに対応してしまいます。合同そのものを思いついていても、書いた順番では根拠が対応しません。直角の頂点を真ん中にそろえ、与えられた等しい辺の端点を照合してからABCとDEFを並べ直します。

条件不足を条件の読み違いと区別することも必要です。例えば、2つの直角三角形にそれぞれ30°の鋭角があるだけでは合同とは限りません。同じ形の三角形を拡大すれば、直角と30°は変わらなくても斜辺の長さは変わります。角の一致は形についての情報で、斜辺の一致は大きさを定める情報です。両方を確認して初めて、斜辺と鋭角の条件を使えます。

条件を取り出す順序

垂線の図で迷ったら、先に結論に使いたい2つの三角形の名前を紙に書きます。次にそれぞれの直角を探し、その向かいを斜辺として印します。仮定に斜辺の等しさがなければ、この特別な条件を使う準備はまだ整っていません。図の左右が対称に見えても、斜辺が等しいという事実を見た目から補ってはいけません。

また、斜辺が等しいだけでも十分とは限りません。例えば同じ長さの斜辺を持つ直角三角形でも、鋭角を変えると直角をはさむ辺の長さが変わります。残る1辺か鋭角の等しさを別に探す必要があります。証明の最後には、採用した合同条件に必要な情報が、前の行までに揃っているかを読み返します。条件の名前だけ書いても、どの辺や角が等しいかが示されていなければ、読み手はその条件が使えるか確かめられません。

練習：まず5問を続けて考える

1. △JKLで∠K = 90°です。斜辺を線分の記号で答えましょう。
2. △MNOと△XYZで∠N = ∠Y = 90°、MO = XZ、MN = XYです。合同を頂点の対応順に記し、使う合同条件を答えましょう。
3. △GHIと△RSTで∠H = ∠S = 90°、GI = RT、∠G = ∠R = 27°です。合同を対応順に記し、∠Iと∠Tをそれぞれ度で答えましょう。
4. 線分DEの内部に点Fがあり、直線DE上にない点PからPFを引きます。PFはDEに垂直で、PD = PEです。△PFDと△PFEが合同であることを証明し、DFとEFの関係を答えましょう。
5. 2つの直角三角形は、どちらも直角をはさむ2辺の長さが4 cmと7 cmです。この2つが合同といえるか、用いる合同条件と辺の対応を示して答えましょう。

練習の答えと考え方

1. JLです。直角の頂点Kに接するのはJKとKLで、その向かいにあるのがJLです。JLがKを端点に持たないことでも確認できます。

2. △MNO ≡ △XYZです。NとYが直角なので、MOとXZが斜辺です。仮定のMO = XZとMN = XYにより、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しくなります。MとX、NとY、OとZの対応は、与えられた2組の辺の両端と一致します。

3. △GHI ≡ △RST、∠I = 63°、∠T = 63°です。GIとRTはそれぞれ直角の向かいの斜辺です。斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので合同です。残りの角は180° − 90° − 27° = 63°です。90°、27°、63°の和をそれぞれ元の三角形に戻すと180°になります。

4. PFがDEに垂直なので、∠PFD = ∠PFE = 90°です。斜辺PD = PEは仮定、PF = PFは共通です。直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、△PFD ≡ △PFEです。対応する辺よりDF = EFです。Fが線分の内部にあるという条件によって、FDとFEの両方が三角形の辺として存在します。

5. 合同といえます。両方の直角をはさむ2辺を、4 cm同士、7 cm同士に対応させます。その間の角はどちらも90°なので、2辺とその間の角がそれぞれ等しいという三角形の合同条件を使えます。4 cmや7 cmを斜辺として扱う必要はありません。元の条件に戻すと、対応させた辺はいずれも直角をはさみ、長さもそれぞれ一致しています。

要点

• 斜辺は、直角の向かいにある辺です。
• 直角三角形どうしなら、斜辺と他の1辺、または斜辺と1つの鋭角で合同を示せます。
• 垂線の足で直角を確認し、共通な辺も根拠に使います。
• 合同の頂点は対応順に並べ、結論を前提に混ぜません。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが斜辺を選べないときは、まず図の直角に印を付け、その頂点に接しない辺を指せるか確かめます。斜辺は選べても証明が進まないときは、2つの三角形を別々に描き、対応する頂点と等しい辺を同じ印で結びます。共通な辺に気づかない場合は、その辺が両方の三角形の名前に現れるかをたどります。

個別指導で確認する箇所は、直角を言える根拠、斜辺の選択、合同条件に使う等しさ、結論として取り出す辺や角です。答えが合っていても、直角を仮定から言えない場合と、対応順だけを書き間違えた場合では、戻る場所が異なります。図と証明文を行き来し、1行ごとに何を根拠としているかを説明できれば、別向きの図でも判断できます。