中1数学 反比例の式とグラフ—積が一定になる条件とゼロを除く理由をつなぐ｜武蔵野個別指導塾

面積が一定の長方形から式を作り、負の値と原点付近のグラフまでたどります。0を除く理由も積から考える反比例です。

よくあるのは、反比例の表を埋める途中で、xが0の列にもyの値を書こうとする場面です。横に数字が並んでいると、空欄は計算すれば必ず埋まるように見えます。しかし、反比例では0で割ることはできません。それ以前に、0と何を掛けても、0でない一定の積にはならないという理由があります。

たとえば、面積を決めた長方形では、横を長くすると縦を短くして面積を保ちます。横の長さが0になったとき、縦をどれほど長くすれば元の面積になるでしょうか。長さ0の辺を持つ長方形では、縦の長さをどんな数にしても面積は0です。表の空欄を埋めることより、そこに対応する値があるかを先に考えます。

要点（結論から）

• 反比例は、0でない一定の数aについて y=a/x、つまり xy=a です。
• x=0やy=0では積が0になるため、0でないaに対応する点はありません。
• 積が正なら同符号、負なら異符号の点が双曲線を作ります。

どの問いで何を決めるか

反比例の問題には、主に3つの読み取りがあります。1つ目は、面積のように変わらない積を場面から見つけ、式にする問いです。2つの量が変わっても、何が一定なのかを言葉で押さえてから、文字を置きます。面積が一定という条件がなければ、横の長さだけで縦の長さは決まりません。

2つ目は、式や表から対応する値を求める問いです。積を一定にする数を探し、負の数も符号に注意して扱います。x=0を見たら、式にそのまま代入して計算を続けるのではなく、対応するyが存在するかを積に戻って調べます。

3つ目は、式の表す点をグラフに描き、場面に合う部分を選ぶ問いです。数としてのxとyには負の値も使えますが、長方形の辺の長さには負の値を使えません。式のグラフ全体と、実際に辺の長さとして読める部分を区別することが必要です。

積が変わらないとは

xとyの関係が、0でない一定の数aを使って y=a/x と表されるとき、yはxに反比例するといいます。aを比例定数と呼びます。ここではxは0ではありません。分母が0でないので、両辺にxを掛けると xy=a となります。逆に、xy=aでxが0でなければ、両辺をxで割って y=a/x に戻せます。

図1のように、面積が24 cm²の長方形では、横x cmと縦y cmの積が24です。横が2倍になれば、面積を変えないため縦は1/2倍になります。横が3倍なら縦は1/3倍です。元の横の長さをx、縦をyとすると、(2x)・(y/2)=xy となるので、積が変わらないことを式でも確かめられます。

図1の2つの長方形は、どちらも横と縦を掛けると24 cm²です。辺の長さは正なので、この場面では x>0、y>0 です。横を0 cmにすると積が0になり、面積24 cm²という条件に合いません。0の列を空欄にするのは、計算を忘れたためではなく、条件を満たす値がないためです。

積が負の場合も、数の関係としては反比例になります。たとえばxy=-24では、xが正ならyは負、xが負ならyは正です。積を負にするには符号が異なる必要があるからです。ただし、負の辺の長さを実際の長方形に当てはめることはできません。式で許される値と、場面が許す値を別々に調べます。

表の何組かの積が等しいことは、それらの組が同じ反比例の式に合う証拠です。しかし表にない組まで同じ関係だと、数組の一致だけから断定はできません。面積を常に24 cm²に保つという条件のように、表にない値についても成り立つ理由を確認します。

基本例題：面積から式と点を作る

面積が24 cm²の長方形があります。横の長さをx cm、縦の長さをy cmとします。yをxの式で表し、横が2 cm、4 cm、8 cmのときの縦をそれぞれ求めます。また、横が0 cmのとき縦を求められるか、理由を述べます。長さはcmで答えます。

横と縦の積が面積なので、次の式ができます。

x・y = 24
xy = 24
y = 24/x

最後の割り算は、長方形の横の長さが正で、0でないことを使っています。面積を横で割れば縦になるので、掛け算と割り算の向きも場面に合います。横の値をそれぞれ入れます。

x = 2 のとき y = 24/2 = 12
x = 4 のとき y = 24/4 = 6
x = 8 のとき y = 24/8 = 3

縦は順に12 cm、6 cm、3 cmです。図2のように、点は横の値を先に、縦の値を後にして (2, 12)、(4, 6)、(8, 3) と表します。点を打つ前に軸の1目盛りを確かめます。xとyの値を入れ替えたり、横が2増えるたびに縦も同じ数だけ減ったりすると決めつけないようにします。

求めた長さを面積に戻すと、2・12=24、4・6=24、8・3=24です。3組とも正の長さであり、与えられた面積に戻ります。横が0 cmなら、0・y=24となるyはありません。0で割る式を計算しようとする手前で、積の条件から不可能と判断できます。

図2で示した3点の間にも、横が正の数なら対応する縦があります。たとえば横が5 cmのとき、縦は24/5 cmです。整数の点だけがあるのではなく、正の長さを連続して変えられるため、対応する点は滑らかな曲線になります。ただし、図に描いた範囲はその一部分です。

標準例題：負の数を含む表とグラフ

yがxに反比例し、x=3のときy=-4です。式を求め、x=-6、-2、2、6のときのyをそれぞれ求めます。さらに、点がどの領域に現れるかを説明します。値は整数で答えます。

まず、与えられた組から比例定数aを求めます。

xy = a
3・(-4) = a
-12 = a
y = -12/x

ここでaは0ではありません。xも0を除きます。対応する値は次のようになります。

x = -6 のとき y = -12/(-6) = 2
x = -2 のとき y = -12/(-2) = 6
x = 2 のとき y = -12/2 = -6
x = 6 のとき y = -12/6 = -2

答えは順に2、6、-6、-2です。掛け戻すと、(-6)・2=-12、(-2)・6=-12、2・(-6)=-12、6・(-2)=-12です。最初に与えられた組も3・(-4)=-12なので、同じ式に戻ります。

積が負なので、xとyの符号は異なります。xが負のときは左上、xが正のときは右下に点があります。0を含む軸上には点がありません。x=0では積が-12にならず、y=0でも積が-12にならないからです。点を原点を通る直線で結ぶと、たとえば原点の積が0となり、条件から外れます。

一方、比例定数が正なら、xとyは同符号です。正の組は右上、負の組は左下に現れます。符号による位置の違いは、点を打つ前にも、描き終わった後の点検にも使えます。長方形の面積の例では正の組だけを辺として読みますが、この例は数の関係なので負のxも使えます。

発展例題：長方形に条件を加える

面積が30 cm²の長方形があります。横をx cm、縦をy cmとし、どちらの長さも正とします。横は2 cm以上10 cm以下とします。式を作り、縦が取り得る範囲を求めます。また、横と縦の両方が整数となる組を、指定された横の範囲で全て挙げます。長さの単位はcmで答えます。

面積から式を作ります。

xy = 30
y = 30/x

横が正なので割る操作ができます。横が2 cmから10 cmへ大きくなる間、30を割る正の数が大きくなるため、縦は小さくなります。端の値を計算します。

x = 2 のとき y = 30/2 = 15
x = 10 のとき y = 30/10 = 3

横が2 cm以上10 cm以下なら、縦は3 cm以上15 cm以下です。両端は「以上」「以下」なので含みます。横と縦の範囲を同じ順序で並べず、横の最大に縦の最小が対応する点に注意します。端の長方形を元に戻すと、2・15=30、10・3=30です。

整数の組は、横に2から10までの整数を順に当てはめ、30を割り切れるか調べます。2、3、5、6、10では縦が整数になります。4、7、8、9では30を割り切れないので、縦が整数という条件を満たしません。

横2、縦15：2・15 = 30
横3、縦10：3・10 = 30
横5、縦6：5・6 = 30
横6、縦5：6・5 = 30
横10、縦3：10・3 = 30

以上の5組が答えです。横と縦を入れ替えた組も、指定範囲に入るなら別の組として数えます。横1と縦30は積が30でも、横の範囲を外れるため答えには入りません。横4と縦15/2は面積の条件には合いますが、縦が整数ではないため、整数の組には入りません。

範囲を調べる問いと整数の組を挙げる問いでは、使う値が違います。前者には2と10の間の分数なども含まれます。後者では整数という追加条件で候補が限られます。面積の式を作れた後も、問題ごとの条件に戻って答えを選びます。

誤答を積と軸に戻して直す

図3には、y=24/xでx=0を扱うときの2つの考え方を並べました。誤ってy=0とすると、積は0・0=0です。必要な積24に戻らないので、表のその欄には値を書けません。0と掛けて24になる数はほかにもないため、別の数に書き換えても解決しません。

図3のように「0を入れたら0」と考えた原因は、掛け算の結果と割り算の結果を取り違えたことにあります。正しくは、求めるyを残して 0・y=24 と調べます。成立しないことを示せば、値が存在しない理由になります。y=0の場合もxyは0なので、グラフ上にy=0の点はありません。

別の誤りは、正の点と負の点を原点でつなぐことです。y=24/xでは、xが正で小さくなるほどyは大きくなり、原点に近づくわけではありません。反対にxの絶対値が大きくなるとyの絶対値は小さくなりますが、有限のxに対してyは0になりません。曲線が軸に近づくことと、軸に触れることは違います。

反比例のグラフは双曲線と呼ばれ、2つの部分に分かれます。点をいくつか取って符号と積を確かめ、軸に交わらない滑らかな曲線として描きます。2点間を直線でつないでよいとは限りません。たとえば基本例題の (2, 12) と (4, 6) の中間にある直線上の点 (3, 9) は、積が27なので曲線上にはありません。x=3に対応する正しい値は8です。

練習：条件を変えて読み直す

次の5問は、それぞれ別の条件です。式と理由を先に書き、最後に答えを場面や積に戻してください。問題を一通り考えてから、下の解答と比べます。

1. 面積が40 cm²の長方形で、横をx cm、縦をy cmとします。yをxの式で表し、横が5 cm、10 cmのときの縦をcmで求めてください。横が0 cmの場合についても理由を述べてください。
2. yがxに反比例し、x=-4のときy=3です。式と、x=-3、4のときのyを整数で求めてください。点がある2つの領域も答えてください。
3. y=18/xについて、x=-3、-1、1、3のときのyを整数で求めてください。x=0、y=0に対応する点があるか、積を使って説明してください。
4. 面積が48 cm²の長方形で、横が3 cm以上12 cm以下です。横と縦を正の長さとするとき、縦の範囲をcmで求めてください。横が2 cmの長方形は条件に合うかも答えてください。
5. ある表には (x, y)=(2, 9)、(3, 6)、(6, 3) が載っています。3組が共通して満たす反比例の式を求めてください。さらに、別の組 (9, 3) が同じ式に合うか、また最初の3組だけで表にない全ての組も同じ式に従うと断定できるか、理由を述べてください。

練習の答えと解き方

1. 横と縦の積が40なので、x>0を使って次のようにします。

xy = 40
y = 40/x
x = 5 のとき y = 40/5 = 8
x = 10 のとき y = 40/10 = 4

縦は8 cm、4 cmです。5・8=40、10・4=40となり、どちらも正の長さで元の面積に戻ります。横が0 cmなら0・yは必ず0で、40 cm²にはならないので、条件に合う縦はありません。

2. 与えられた組の積から式を決めます。

a = (-4)・3
  = -12
y = -12/x
x = -3 のとき y = -12/(-3) = 4
x = 4 のとき y = -12/4 = -3

答えは4、-3です。(-3)・4=-12、4・(-3)=-12であり、与えられた組の積にも戻ります。積が負なので符号は異なり、点は左上と右下にあります。x=0は積を-12にできないので除きます。

3. それぞれを代入します。

x = -3 のとき y = 18/(-3) = -6
x = -1 のとき y = 18/(-1) = -18
x = 1 のとき y = 18/1 = 18
x = 3 のとき y = 18/3 = 6

答えは順に-6、-18、18、6です。積は順に (-3)・(-6)=18、(-1)・(-18)=18、1・18=18、3・6=18です。x=0またはy=0なら積は0となり、18になりません。したがって、どちらの軸にも対応する点はありません。

4. 横をx、縦をyとすると、xy=48、y=48/xです。横の端の値に対応する縦を求めます。

x = 3 のとき y = 48/3 = 16
x = 12 のとき y = 48/12 = 4

横が大きくなると縦は小さくなるので、縦は4 cm以上16 cm以下です。端も含みます。3・16=48、12・4=48と元の面積に戻ります。横が2 cmなら縦は24 cmで面積自体は48 cm²ですが、横が3 cm以上という条件に合いません。

5. 3組の積を調べます。

2・9 = 18
3・6 = 18
6・3 = 18

共通して満たす式は y=18/x です。各組のxは0でなく、式に戻してもそれぞれ9、6、3になります。別の組では9・3=27なので、積が18という条件に合いません。最初の3組が一致しても、表にない組の値は与えられていないため、全てが同じ式に従うとは断定できません。たとえば別の組が今調べた (9, 3) なら、最初の3組は合っていてもその組は外れます。

要点と、見直す場所

• 反比例は、0でない一定の数aについて y=a/x、つまり xy=a です。
• x=0やy=0では積が0になるため、0でないaに対応する点はありません。
• 積が正なら同符号、負なら異符号の点が双曲線を作ります。
• 長方形では辺は正です。式の全体と場面で使う範囲を分けます。
• 出した組を元の積と、長さや範囲の条件へ戻して確かめます。

表の0の欄に数字を書いた場合は、「何を掛けると一定の積になるか」と問い直すと、割り算の規則と積の条件を結べます。負の値をすべて除いた場合は、数としての関係なのか、長方形の長さなのかを問題文で指さして確認します。

個別指導で確かめるなら、式を暗記しているかだけでなく、xを2倍にしたときyをどう変えるか、0の欄を空ける理由を本人の言葉で説明できるかを見ると、次に戻る場所がはっきりします。お子さまが描いた曲線についても、軸との位置と点の積を一緒に調べれば、符号の誤りと点の打ち間違いを分けられます。積と範囲の両方が、反比例の図を読む手掛かりです。