数検2級 弧度法と三角関数のグラフ—単位円から周期と値域を読み取る｜武蔵野個別指導塾

度とラジアンを換算し、単位円の座標から周期と値域を読み、平行移動後の山と谷を探します。

よくあるのは、受検者が度とラジアンを混ぜて位置を決める場面です。たとえば角の大きさを換算せずに単位円へ点を置くと、その後の正弦や余弦も別の角の値になってしまいます。回転の向きと1周分の大きさをそろえてから点を置けば、グラフの高さまで同じ意味で追えます。ここでは単位円から基本の曲線とその平行移動を読みます。

角の位置から曲線へ

角を度からラジアンへ直し、単位円上の点の座標を求める問題があります。また、三角関数のグラフを描き、周期や値域を答える問題も考えられます。さらに、曲線を左右や上下に移した式から、山や谷の位置を読み取る型があります。どれも角と点、点と高さを結びつける作業です。

単位円では同じ点に戻っても、回った角の表し方は1つとは限りません。一方、グラフの横軸には回転の途中を含む角の値を並べます。同じ位置に戻ることと、横軸の数が同じであることを区別しましょう。方程式を解いて指定区間の解を列挙することよりも、ここでは位置、周期、値域と移動に焦点を当てます。

弧度法と単位円の座標

弧度法では、半径と等しい長さの弧に対する中心角を1ラジアンとします。半径 r の円で弧の長さが l のとき、正の中心角は l/r ラジアンです。円周は 2πr なので、1周は 2π ラジアン、半周は π ラジアンです。したがって 180° = π ラジアンを使い、度からは π/180 を掛け、ラジアンから度へは 180/π を掛けます。

図1のように、半径1の円では角のラジアンの数と、その角に対応する弧の長さが一致します。正の角は右向きの半直線から反時計回り、負の角は時計回りに測ります。1周以上回ってもよく、同じ終わりの位置を表す角は 2π の整数倍だけ違います。これが一般角の考え方です。

図1の点 P の座標を (cos θ, sin θ) と定めます。横の座標が余弦、縦の座標が正弦です。半径が1なので両方とも -1 以上1 以下です。tan θ は cos θ が0でないとき sin θ/cos θ で定義します。縦軸上では分母が0になるため、正接の値はありません。

角 θ を横軸に、sin θ を縦軸に取ると正弦のグラフになります。0、π/2、π、3π/2、2π での高さは順に 0、1、0、-1、0 です。余弦では同じ角に対して 1、0、-1、0、1 です。点を順に置き、滑らかな曲線で結びます。点の間を直線で結んだ折れ線とは区別します。

周期は、横に一定の正の長さだけずらすとグラフが重なる、その最小の長さです。正弦と余弦の周期は 2π、正接の周期は π です。正接は π/2 と 3π/2 などで定義されず、そこで曲線をつなぎません。値域は関数が実際に取る縦の値の範囲です。正弦と余弦の値域は -1 以上1 以下、正接の値域は実数全体です。

平行移動では、y = sin(x − a) は y = sin x を右へ a、y = sin x + b は上へ b 移したものです。a が負なら左へ、b が負なら下へ移ります。括弧の符号を見て方向を即断せず、元の x = 0 の点が新しい式では x − a = 0、つまり x = a に移ると確かめます。左右の移動は周期と値域を変えず、上下の移動は周期を変えずに値域の両端を同じ量だけ動かします。

グラフを描く前には、横軸が度かラジアンかを問題文で確認します。横軸の目盛りが π の分数なら、角の値を度に直して途中の位置を考えても構いませんが、記入するときは指定されたラジアンに戻します。目盛りの間隔は数値に比例させ、π/2 ごとの点を等間隔に置きます。山や谷の位置だけでなく、中心の高さを横切る向きも見ておくと、左右の移動を取り違えた曲線を発見できます。

例えば余弦の曲線を下へ移すと、山と谷の高さは両方とも同じ分だけ下がります。山の高さから谷の高さを引いた差は変わらず、横方向の山から次の山までの距離も変わりません。区間が制限される場合は、移動した曲線全体の山が区間内にあるか、端点も含めて調べます。全体の値域と指定区間の値の範囲を区別するためです。

基本例題：正弦の曲線を右と上に移す

例題：y = sin(x − π/2) + 1 のグラフを、0 ≦ x ≦ 2π で描きなさい。また、この関数を実数全体で考えたときの周期と値域を、π と整数を使って答えなさい。

まず元の y = sin t の1周期の点を考えます。t が -π/2、0、π/2、π、3π/2 の順なら、sin t は -1、0、1、0、-1 の順です。ここで t = x − π/2 と置きます。指定区間の左端 x = 0 は t = -π/2、右端 x = 2π は t = 3π/2 に当たります。

次に各 t に π/2 を足して x に戻します。x は順に 0、π/2、π、3π/2、2π です。正弦の値に1を足すので、対応する y は順に 0、1、2、1、0 です。表にすると、横軸と高さの対応を読み違えにくくなります。

図2のように、5点を通る滑らかな曲線を描きます。x = π で山、両端で谷になり、中心の高さは y = 1 です。各点は元の曲線を右に π/2、上に1移した位置です。区間の外でも同じ波が続くことと、図に描く範囲が指定されていることを区別します。

周期は移動後も 2π です。元の値域 -1 ≦ sin t ≦ 1 の各辺に1を足して、値域は 0 ≦ y ≦ 2 です。実際に x = 0 と x = π を元の式へ戻すと、それぞれ0と2となり、両端の値を取ることも確認できます。図2の山と谷の高さもこの結果に一致します。

式を見て左へ移したくなったら、元の原点の高さに注目します。sin t = 0 の t = 0 は新しい式で x = π/2 です。そこでは y = 1 になり、原点の点を右へ π/2、上へ1移した結果と合います。符号を暗記するより、対応する点を1つ戻して確認する方法が使えます。

少し難しい例題：区間に入る山と谷

例題：y = cos(x + π/3) − 1 を 0 ≦ x ≦ π で考えます。この区間での最大値と最小値、それぞれを取る x を、π と分数を使って答えなさい。あわせて実数全体での周期と値域を答えなさい。

ここでは全体の値域をそのまま区間内の答えにできるかが分かれ目です。t = x + π/3 と置くと、x の範囲は π/3 ≦ t ≦ 4π/3 に移ります。余弦が1になる t = 0 はこの範囲にありません。一方、余弦が -1 になる t = π は範囲内です。したがって全体の山と谷の両方が指定区間に入るわけではありません。

t が π/3 から π まで増える間、単位円の横座標 cos t は 1/2 から -1 まで減ります。π から 4π/3 では -1 から -1/2 まで増えます。端の値も比べると 1/2 の方が -1/2 より大きいので、この区間の cos t の最大値は 1/2、最小値は -1 です。いずれも実際に取ります。

最後に縦の移動 -1 を反映します。最大値は -1/2 で、t = π/3 に対応する x = 0 のときです。最小値は -2 で、t = π に対応する x = 2π/3 のときです。元の式に戻すと cos(π/3) − 1 = -1/2、cos π − 1 = -2 です。どちらの x も指定区間にあり、端点と途中の点という位置も一致します。

実数全体では左右への移動と上下への移動で周期は変わらず 2π です。余弦の値域 -1 以上1 以下を1下げ、-2 ≦ y ≦ 0 となります。全体の最大値0は x = -π/3 などで取れますが、今回の区間にはその点がありません。区間の最大値 -1/2 と全体の最大値0を別々に書くことが重要です。

度とラジアンの混同を直す

45° の位置を考えるとき、誤って「45° = 45 ラジアン」とすると、45をそのままラジアンの横軸に置いてしまいます。単位が違うため、この2つの角は同じ大きさではありません。まず 45° に π/180 を掛け、45π/180 = π/4 ラジアンと直します。図3のように、1周が360° と 2π ラジアンで対応していることを基準にすれば換算の向きも確かめられます。

π/4 は半周 π の4分の1ですから、第1象限の対角線上に終わりの位置があります。図3の点の座標は (√2/2, √2/2) です。両座標の平方の和が1で、角の位置にも合います。45という数だけを残すと、単位円上の方向とグラフの横軸の位置を照合できません。

別の誤りは y = sin(x − π/2) を左に π/2 動かすことです。x − π/2 = 0 となるのは x = π/2 なので、元の x = 0 の点は右へ動きます。また、上への移動を忘れると基本例題の値域を -1 以上1 以下と書いてしまいます。式への代入で x = π のとき y = 2 と確かめれば、その範囲に収まらないことに気づけます。

正接にも注意が必要です。分母の cos θ が0の場所で値を計算しようとしても、0による割り算は定義されません。単位円の左右の座標が0になる位置に戻り、グラフではその縦線を越えて曲線をつながないようにします。値がない位置と、値が0になる位置は別です。

練習問題

次の問題はそれぞれ独立しています。角度の答えは指定の単位で書き、曲線の値は整数または分数、必要なら根号を使って答えてください。

1. -150° をラジアンに直し、同じ終わりの位置を表す角のうち 0 以上 2π 未満のものを1つ求めなさい。その位置の単位円上の座標も求めなさい。
2. y = cos x + 2 について、0 ≦ x ≦ 2π で x = 0、π/2、π、3π/2、2π のときの値を順に求めなさい。実数全体での周期と値域も答えなさい。
3. y = sin(x + π/6) を 0 ≦ x ≦ π/2 で考え、最大値とそれを取る x、および両端での値を求めなさい。x はラジアンで答えなさい。
4. y = tan x について、-π ≦ x ≦ π で定義されない x をラジアンで挙げなさい。また周期と値域を答えなさい。

練習の答えと考え方

1. -150 に π/180 を掛けると -5π/6 ラジアンです。これに1周の 2π を足すと 7π/6 となり、指定の範囲に入ります。終わりの位置は第3象限で、基準となる角は π/6 です。よって座標は (-√3/2, -1/2) です。2つの角の差は 2π なので同じ点に戻り、座標の平方の和も1です。時計回りに150°進んだ方向と、第3象限の位置も一致します。

2. 余弦の値 1、0、-1、0、1 にそれぞれ2を足し、3、2、1、2、3 です。実数全体の周期は 2π、値域は 1 ≦ y ≦ 3 です。x = 0 と x = π を元の式に入れると3と1になり、範囲の両端を取ります。上下への移動は横の繰り返しの長さを変えません。

3. t = x + π/6 とすると π/6 ≦ t ≦ 2π/3 です。この範囲には sin t が1となる π/2 が含まれます。x = π/2 − π/6 = π/3 のとき最大値1です。両端の値は x = 0 で 1/2、x = π/2 で √3/2 です。π/3 は指定区間にあり、元の式に入れると sin(π/2) = 1 です。端の値も1を超えないため、図の山の位置と合います。

4. cos x = 0 となる x = -π/2、π/2 では分母が0なので定義されません。端の -π、π では cos x = -1 であり、tan x = 0 です。周期は π、値域は実数全体です。正接の曲線は定義されない位置を境に枝が分かれます。端点まで含めて調べると、値のない点と値が0の点を取り違えずに済みます。

覚えておくこと

• 180° = π ラジアンを基準に単位を換算します。
• 単位円の点は (cos θ, sin θ) で、1周は 2π です。
• 正弦と余弦の周期は 2π、値域は -1 以上1 以下です。
• 横の移動は対応する角を代入して向きを確かめます。
• 区間がある最大最小は、端点と区間内の山や谷を比べます。

どこに戻って確かめるか

お子さまがグラフを描けても値域を取り違える場合は、まず5つの代表点の高さを式に代入してもらいます。値は合うのに曲線がずれるなら、元の点をどの方向に移したかを確認します。値自体が違うなら、角の単位をそろえ、単位円の横座標と縦座標に戻ります。

個別指導では、例えば x − a = 0 を自力で x = a と直せるか、区間の両端と山の位置を比較できるかを見ます。正接で途切れを忘れる場合は cos x = 0 の位置を円に置き、分母を指して説明してもらいます。角の単位と点の高さを結び直すと、曲線の形にも理由が見えてきます。