高校数学III 三角関数の極限—弧度法と基本の極限を使って式を整える｜武蔵野個別指導塾

度数法から弧度法への換算、角の定数倍、加法定理による差の変形を使い、三角関数の基本の極限へ式をつなげます。

よくあるのは、定期テスト前の演習で、度数法の数値をそのまま基本の極限へ入れる場面です。角の単位を見落とすと、式の形が似ていても答えに π が欠けます。角を弧度法で表し、分子の角と分母の因子を対応させるところから始めましょう。

数学IIIの極限のうち、ここでは三角関数の基本の極限と加法定理を使う計算を扱います。微分の公式を使わず、0に近づく部分を見つけて式を整えます。

どの形に持ち込むか

出方の1つは、sin の角が x の定数倍になっている形です。分母の x を、その角と同じ文字式に直し、変えた分の係数を外に残します。分子と分母を同じ数で割ったときに値が変わらないかを、各行で確かめます。

2つ目は、0以外の角に近づくときの差を扱う形です。近づく値を代入すると分子と分母がともに0になる場合、角の差を新しい文字で表し、加法定理で0に近づく角を取り出します。定数項が消える理由を書けば、符号も追いやすくなります。

3つ目は、度数法で与えられた角を含む形です。角度を表す数値と、弧度法の角は同じ数ではありません。180度が π に対応することから変換し、その係数を極限まで保ちます。まず代入した結果、分母が0かどうかを調べ、基本の極限を使う必要があるか判断します。

基本式の角は弧度法で読む

弧度法では、半径1の円の中心角を対応する弧の長さで表します。180度は π、したがって θ 度は (πθ)/(180) です。度数法の数値 θ が0に近づくと、弧度法の角も0に近づきますが、両者の比は π/180 のままです。

図1のように、同じ角でも数値には換算係数がつきます。基本式の分母に入れるのは、sin の中の角を弧度法で表した数です。

図1の対応から、θ 度の正弦を sin((πθ)/(180)) と書けます。ここで θ は度数法の数値です。基本の極限は、t を弧度法の角として

lim t→0 (sin t)/(t) = 1

です。t = 0では分母が0なので式は定義されませんが、極限では0以外の値から近づけます。右側と左側のどちらから近づいても1になるため、両側の極限が存在します。

この基本式の根拠は、0 < t < π/2 のとき、単位円の三角形と扇形の面積を比べて sin t < t < tan t と評価できることです。正の量で割ると cos t < (sin t)/(t) < 1 となり、t→0 で cos t→1 なので、はさみうちにより右側の極限は1です。sin は奇関数なので (sin t)/(t) は偶関数です。負の側も同じ値へ近づき、両側で1となります。

もう1つ使う形は (1 − cos t)/(t) です。分子に共役な 1 + cos t を掛けると、t が0に十分近く、t ≠ 0 の範囲で

(1 − cos t)/(t) = (sin t)/(t) × (sin t)/(1 + cos t)

となります。sin t→0、cos t→1 なので右辺は0に近づきます。ここでも分母 1 + cos t は0の近くで0になりません。基本式をそのまま暗記するだけでなく、必要な形を導けると差の計算につながります。

定数倍を残す基本例題

例題1：角を弧度法で表すとき、lim x→0 (sin 3x)/(2x) を求め、正確な分数で答えてください。

図2のように、sin の中の 3x と同じ因子を分母に作ります。3x→0 なので基本式に移れますが、分母を 2x から 3x に変えた分の係数を忘れないことが必要です。

x ≠ 0 のとき、3x も0ではありません。元の式を次のように書き換えます。

(sin 3x)/(2x) = (sin 3x)/(3x) × (3x)/(2x)

= (sin 3x)/(3x) × (3/2)

x→0 なら 3x→0 です。したがって基本式の t に 3x を対応させると、最初の因子は1に近づきます。もう一方は x によらず 3/2 なので、求める値は

1 × (3/2) = 3/2

です。図2にある 3/2 は、分母を合わせる操作で外に残る係数です。もとの式に戻して、(sin 3x)/(3x) × (3/2) の分母と係数を約分すれば (sin 3x)/(2x) になります。この確認で、係数を逆にした誤りも見つかります。

この計算では x = 0 を式に代入していません。0で割ることを避けたまま、0に近い x で等しい式に直し、その極限を求めています。角の係数が負の場合も、0以外の定数なら同じ操作ができます。角が反対側から0に近づいても、基本式の左右の極限はともに1だからです。

加法定理で差をほどく

例題2：角を弧度法で表すとき、lim x→π/3 (sin x − √3/2)/(x − π/3) を求め、正確な分数で答えてください。

直接代入すると分子と分母がともに0です。この形は値を決める答えではなく、変形が必要だという印です。h = x − π/3 とおくと、x = π/3 + h であり、x→π/3 のとき h→0 です。元の分母が0でない範囲では h ≠ 0 です。

加法定理と sin(π/3) = √3/2、cos(π/3) = 1/2 より、分子は

sin(π/3 + h) − √3/2

= (√3/2)cos h + (1/2)sin h − √3/2

= (√3/2)(cos h − 1) + (1/2)sin h

です。これを h で割ると、求める極限は

lim h→0 {(√3/2)(cos h − 1)/(h) + (1/2)(sin h)/(h)}

となります。前に導いた (1 − cos h)/(h)→0 は、符号を逆にした (cos h − 1)/(h) についても極限が0であることを示します。また (sin h)/(h)→1 です。よって値は (√3/2) × 0 + (1/2) × 1 = 1/2 です。

分かれ目は、代入して分母が0になるか、さらに分子も0になるかです。分母が0でなければ三角関数の連続性により直接代入できます。分母が0で分子が0でない場合は、今回のように差を0同士にそろえる操作では有限の値を求められません。左右の符号を別に調べる必要があります。分子も0なら、すぐに約分できるとは限らず、加法定理などで共通する小さな量を探します。

置き換えを戻すと h は x と π/3 の差です。したがって h の正負は x が π/3 の右と左のどちらにあるかに対応します。使用した2つの基本的な極限は両側で成立するので、右からも左からも 1/2 となり、答えは両側の極限として成立します。

誤答の係数をたどる

度数法の数値 θ について、lim θ→0 sin(θ度)/(θ) = 1 とする誤答を考えます。原因は、sin の角が θ 度なのに、分母の θ を弧度法の角と同じ数として扱ったことです。図3のように換算を挟むと、基本式に使う角と元の分母の違いが見えます。

θ ≠ 0 で t = (πθ)/(180) とおけば、θ→0 で t→0 です。したがって

sin(θ度)/(θ) = (sin t)/(t) × (t)/(θ)

= (sin t)/(t) × (π/180)

となり、極限は π/180 です。図3の係数は、角を弧度法に換算した後も残ります。θ をそのまま分母にした基本式は使えない、と式の単位を見て判断してください。

別の誤りは、(sin 3x)/(3x)→1 から sin 3x→1 と読むことです。比が1に近づくのであって、分子は0に近づきます。比を分解するときは、0に近づく因子と1に近づく因子を区別します。また、分母が0になる点で元の式の値がないことと、極限がないことも別です。

分母が0に近づくときの判定

式の見た目が分数でも、分子と分母の極限をそれぞれ求めて割れるのは、分母の極限が0でない場合です。分母が0に近づくとき、分子も0なら、どちらがどの割合で0に近づくかを調べなければなりません。基本式は、sin t と t の比が1に近づくという形で、その割合を教えます。

一方、分子が0でない値に近づくときには、分母の符号が左右で変わる場合があります。例えば (cos x)/(x) を x→0 で考えると、分子は1に近づき、十分0に近いところで正です。分母は右側で正、左側で負なので、右側では正の方向に、左側では負の方向に限りなく大きくなります。左右の様子が異なるため、有限の両側極限はありません。分母が0になるという情報だけで結論を出さず、分子と左右の符号を調べます。

また、分母に sin があるときは、分母が0となる点を避けられるか確認します。0の十分近くでは、0以外の角について sin の値は0ではありません。その範囲で比を変形し、割る側の比の極限が1であることを確認すれば、極限の商を使えます。変形が成立する範囲と、極限の計算に使う条件は別々に書けます。

計算の順序を選ぶ

角が定数倍なら、先に角と分母をそろえると係数が見えます。角が定数に近づく差なら、先にその定数からのずれを置くと、加法定理の中に0へ近づく角が現れます。いずれも、元の式と変形後の式が、近づく点を除いた範囲で等しいことが出発点です。

途中で現れる cos の差は、分子を単独で見れば0に近づきますが、分母も0に近づくので、それだけでは商の値を決められません。共役を掛けて sin の積に直すと、一方の比は1、他方は0に近づきます。どの因子に何を適用したかを明示すれば、0同士の商を0と決める失敗を防げます。

手を動かす問題

次の角は、度数法と記したものを除き弧度法です。各極限を、πや根号を含む場合も近似せず正確な式で答えてください。

1. lim x→0 (sin 5x)/(4x) を求めてください。
2. lim x→0 (sin 2x)/(sin 7x) を求めてください。
3. lim x→π/6 (cos x − √3/2)/(x − π/6) を求めてください。
4. θ を度数法の数値として、lim θ→0 sin(2θ度)/(θ) を求めてください。

答えと式の照合

1. x ≠ 0 で (sin 5x)/(4x) = (sin 5x)/(5x) × (5/4) です。5x→0 より答えは 5/4 です。右辺の係数を分母に戻すと元の 4x となり、式が一致します。

2. x が0に十分近く、かつ x ≠ 0 なら sin 7x ≠ 0 です。実際、7x を0に十分近づけると sin 7x の0は原点に限られます。そこで

(sin 2x)/(sin 7x) = {(sin 2x)/(2x)} / {(sin 7x)/(7x)} × (2/7)

と直します。2つの比はいずれも1に近づき、割る側の極限は0ではないので答えは 2/7 です。右辺を整理すれば元の比に戻ります。分母の sin 7x を単に 7x と置き換えて等号で結ぶのではなく、極限が1となる比を残すことが根拠です。

3. h = x − π/6 とおくと h→0 で、加法定理から

cos(π/6 + h) − √3/2 = (√3/2)(cos h − 1) − (1/2)sin h

です。両辺を h で割り、2つの基本的な極限を使えば答えは -1/2 です。h = 0 に戻すと右辺は0となり、元の分子 cos(π/6) − √3/2 と一致します。負号は cos の加法定理にある引き算から生じます。

4. 2θ 度の弧度法の角を t = (πθ)/(90) とすると、t→0 です。θ ≠ 0 で

sin(2θ度)/(θ) = (sin t)/(t) × (π/90)

なので答えは π/90 です。t を度数法に戻すと 2θ 度になり、元の角と一致します。角の2倍と度から弧度法への換算の両方を係数に含めています。

要点

弧度法で表した角 t に対して (sin t)/(t)→1 です。
分母を角に合わせたら、元の式に戻る係数を残します。
差の極限では、ずれを置いて加法定理を使います。
0で割らない範囲で変形し、左右からの極限を確かめます。

式のどこで止まったかを見つける

計算が進まないときは、最初に角の単位、次に分母、最後に外へ出した係数を順に見直します。たとえば角と分母をそろえられていても、係数を逆にすると元の式に戻りません。書いた式を一度掛け合わせ、変形前と一致するかを調べてください。

個別指導で確かめるなら、答えの数だけでなく、置いた文字がどちらから0に近づくかを本人の言葉で説明できるかを見ます。加法定理で定数項が消える行や、分母が0でない範囲を指さして追うと、公式の選択と符号のどちらにつまずいたかを区別できます。角をそろえる一行が、三角関数の極限の根拠を支えます。解答を読み返すときも、どの角が0へ近づくのかを最初に確認しましょう。