中2定期テスト 平行と合同—証明の穴埋めで角の根拠と対応する頂点をそろえる｜武蔵野個別指導塾

証明の空欄に角の根拠を添え、等しい辺の端点から合同な三角形の対応順をそろえていきます。

よくあるのは、小テストの証明で角の名前は合っているのに、理由の欄が空くという場面です。図を見て等しい角を見つけても、どの条件から言えるのかを文章にするところで手が止まります。まず範囲表と授業プリントを並べ、その角を使う問題が今回の範囲にあるか確かめましょう。未習の内容は今回の準備から外します。

空欄の種類を仕分ける

範囲表に平行線の角と三角形の合同が載っているときは、授業ノートの図とワークの証明欄を開きます。提出物に指定された範囲も確認し、解き終えたページに印を付けます。そのうえで、小テストやワークの誤答を「角の関係」「対応する頂点」「合同条件」の3つに分けます。多角形の角の計算が範囲にあれば、その欄も別に作ります。範囲表にない問題まで急いで広げる必要はありません。

例えば、証明欄に角の名前は書けたが理由が空いていたら「角の関係」に印を付けます。2つの三角形の名前を並べたとき、等しい辺の端点が同じ順番になっていなければ「対応する頂点」です。条件が3組そろっているのに合同条件の名前を書けなかった場合は「合同条件」に入れます。1問に複数の印が付いてもかまいません。直す場所が具体的になるからです。

提出欄を埋め終えたことと、自分で理由を再現できることは別です。答えを見て写した問題には印を残し、後で図と問題文だけを見て、どの条件をどこに使うかを言い直します。保護者が確認するときも、正解の数だけで判断せず、空欄の横に根拠を添えられたかを見ると、次に戻る場所が見つかります。

角と対応を言葉にする

図1のように、2本の直線が交わると、向かい合う角は対頂角で等しくなります。平行な2直線に別の直線が交わるときは、同じ位置にある同位角や、平行線の間で交わる直線の反対側にある錯角が等しくなります。平行の印がない図では、見た目が平行らしくても、この性質を根拠にできません。問題文や既に証明された事実を先に確かめます。

図1の左の2つの「あ」は対頂角です。右側では、平行線の間にある角を、横切る直線の反対側から1つずつ選ぶと錯角になります。どちらも角の位置を指でたどり、なぜ等しいかを声に出してから、角の名前を書きます。角の名前は真ん中の文字が頂点です。例えば∠ABCはBを頂点とし、辺BAと辺BCでできる角を表します。

三角形の合同条件として覚えるのは、3組の辺がそれぞれ等しいこと、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいこと、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいことです。辺と角の位置関係まで含めて覚えます。2組の辺と間にない角が等しいという情報だけでは、ここに挙げた条件にはなりません。条件名を書く前に、図の中で必要な組を指さして確かめます。

合同な三角形は、対応する頂点を同じ順に並べます。△ABCと△DEFならAとD、BとE、CとFが対応します。したがって辺ABと辺DE、角Bと角Eが対応します。合同条件は覚えて使いますが、どの辺や角が等しいかは仮定、対頂角、平行線の性質などを根拠に説明します。見た目が似ていることは証明の根拠になりません。

多角形の角では、三角形に分けて内角の和を考えます。四角形は対角線で2つの三角形に分けられるので、内角の和は180度の2倍、360度です。外角は隣り合う内角との和が180度であることから求めます。角の位置を取り違えたときは、求める角を図に塗ってから、足す角と引く角を区別しましょう。

基本例題：証明欄の3組を埋める

図2のように、直線ADと直線BCが点Oで交わっています。AとDはOをはさんで反対側、BとCもOをはさんで反対側にあり、ABとDCは平行です。さらにAO = DOとします。△AOBと△DOCが合同であることを証明します。証明欄の空欄に入る角や理由を考えてから、下の説明と照合してください。

図2の証明欄は、次の順に埋められます。

1. △AOBと△DOCにおいて、仮定から AO = DO。
2. 対頂角は等しいので、∠AOB = ∠DOC。
3. ABとDCは平行なので、錯角が等しく、∠BAO = ∠CDO。
4. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△AOBと△DOCは合同です。

最初の行は、問題文に与えられた長さの等しさをそのまま使います。次の行では交点Oを頂点とする向かい合う角を選びます。3行目では、平行なABとDCを直線ADが横切っています。∠BAOと∠CDOが錯角の位置にあることを、図2の線に沿って確かめてください。

ここで選んだ辺はAOとDOです。その両端はそれぞれAとO、DとOですから、角の組はAにある角とDにある角、Oにある角とOにある角になっています。AとD、OとOが対応し、残るBとCも対応します。この順に合わせて△AOBと△DOCと書くと、辺AOと辺DOも同じ位置になります。

仮に結論を△AOBと△DCOと書くと、OがCに対応する並びになります。証明中に使った角と合わないので、図の形が似ていても正しい書き方にはなりません。空欄を埋めた後、三角形の名前の上から順に線を引くつもりで対応を確認します。条件に戻して、平行を使う行と対頂角を使う行が入れ替わっていないことも点検します。

少し難しい例題：何を先に求めるか

四角形PQRSの内角は、∠Pが80度、∠Qが110度、∠Rが95度です。∠Sの大きさを度で求め、その頂点で辺RSをSの先へ延長してできる、∠PSRに隣り合う外角も度で求めます。角の値はこの問題のために与えた条件です。

四角形の内角の和は360度です。まず、わかっている3つの内角の和は80 + 110 + 95 = 285度です。残りの∠Sは360 − 285 = 75度です。次に外角と∠Sは一直線の上に隣り合うため、和が180度です。外角は180 − 75 = 105度です。

元の条件へ戻して、80 + 110 + 95 + 75 = 360度、75 + 105 = 180度となることを確かめます。ここで外角を360度から直接引くと、何と何の和を使っているかが混ざります。まず内角の和で∠Sを決め、次に一直線上の角の和を使うという2段階に分けます。

合同の証明でも同じように、必要な角が初めから与えられていないことがあります。その場合は、平行線や対頂角から角の等しさを先に導き、その結果を合同条件に渡します。ただし、示したい結論を途中の根拠として使ってはいけません。結論をまだ使わずに3組がそろうか、各行の左側に根拠を書いて確かめます。

理由欄の誤りを直す

図2の証明で「∠BAO = ∠CDO、対頂角だから」と書いた答案を考えます。2つの角は等しいものの、頂点はAとDで異なります。対頂角は交点を同じ頂点とする向かい合う角です。この答案では、等しいという結果だけを見て理由を選んだことが原因です。

図3のように、まず2つの角の真ん中の文字を囲みます。頂点が異なるので対頂角ではありません。次にABとDCの平行を確認し、直線ADを横切る線としてたどると、2つの角は錯角です。「ABとDCは平行だから、錯角は等しい」と書き直します。理由の名前だけでなく、どの直線が平行かまで添えると根拠が明確になります。

もう1つの誤りは、辺AOとDOを使いながら、対応の順を崩して合同な三角形を書くことです。正答を写す前に、AとD、OとO、BとCを縦に並べ、辺の端点が対応しているかを確かめます。解き直しでは、訂正した理由を隠して図から言えるかも試します。説明が止まったら、角の頂点、平行の条件、対応順のどこで止まったかを記録します。

確かめの問題

次の問題は、それぞれ図や条件を紙に書いて考えてください。角の大きさは度で、証明は根拠と合同条件を言葉で答えます。

1. 直線EFとGHが点Tで交わり、EとF、GとHはそれぞれTをはさんで反対側です。∠ETGが68度のとき、∠FTHと∠GTFを求め、それぞれ理由を書いてください。
2. 五角形の5つの内角のうち4つが100度、110度、120度、95度です。残りの内角を求め、内角の和をどう求めたかも書いてください。
3. △JKLと△MNPで、JK = MN、KL = NP、JL = MPです。合同かどうかを判断し、合同なら対応順をそろえた式と条件を書いてください。
4. 直線UVとWXが点Yで交わり、UとV、WとXはそれぞれYをはさんで反対側です。UWとVXは平行で、UY = VYです。△UYWと△VYXが合同であることを、3組の根拠と合同条件を挙げて証明してください。

答えと解き方

1. ∠FTHは68度です。∠ETGと対頂角だからです。∠GTFは112度です。∠ETGと一直線上に隣り合い、和が180度だからです。68 + 112 = 180度で、元の図の関係に戻ります。交わる直線が平行である必要はありません。
2. 答えは115度です。五角形の1つの頂点から対角線を引くと3つの三角形に分けられるので、内角の和は180 × 3 = 540度です。与えられた4つの和は100 + 110 + 120 + 95 = 425度なので、540 − 425 = 115度です。5つを足すと540度に戻ります。
3. △JKLと△MNPは合同です。3組の辺がそれぞれ等しいことが合同条件です。JKとMN、KLとNP、JLとMPを比べると、JとM、KとN、LとPが対応します。各辺の端点を元の条件に戻しても、この順番が一致します。
4. △UYWと△VYXにおいて、仮定からUY = VYです。対頂角は等しいので∠UYW = ∠VYXです。またUWとVXは平行なので、錯角が等しく∠WUY = ∠XVYです。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△UYWと△VYXは合同です。UとV、YとY、WとXの対応に戻して、使った辺と2つの角が同じ位置にあることを確かめます。

1で角の和を引く相手を間違えたときは、隣り合う2つの角を直線の上に描き直します。2で四角形の和をそのまま使ったときは、五角形を実際に三角形へ分けます。3と4では、合同条件の名前だけでなく、どの組がその条件を満たすかまで言えるようにします。

解き直しの際、答えが違った問題だけでなく、答えは合ったのに理由を言えなかった問題にも印を付けます。例えば1では、向かい合う角と隣り合う角の区別を、交点を中心にたどります。2では分けた三角形が重ならず五角形を埋めることを確認します。3では対応する頂点から辺を作り直し、与えられた3組と照合します。4では平行の条件がなければ錯角の等しさをそのまま使えないと確認します。

自分で図を描くときは、点の位置と直線上の順序を問題文に合わせます。図がうまく描けなくても、等しいと与えられた辺や平行な直線を記号で記せば、根拠を探す手掛かりになります。図の印を問題文と照らし、書き足した印が仮定なのか、途中で導いた結果なのかも区別しましょう。

理由を探す途中で時間が足りなくなった場合は、残りを正答で埋める前に、わかっている仮定だけでも書き出します。後から解き直すとき、その先に必要だった角や辺を追加できます。図の条件が読み取れない場合は、授業プリントの元の図を見て点の順序と平行の印を確認します。印のない線を勝手に平行と決めず、条件を取り直してから証明を続けます。

次の1問で覚えること

角の頂点と平行の条件を確かめて、等しい理由を書く。 合同条件に必要な辺と角を図で指し、対応する頂点を同じ順に並べる。 多角形は三角形に分け、内角と外角を別の段階で求める。

解き直しが止まった場所を見る

範囲表と解き直したワークを並べ、証明のどの行まで自分で書けたかを確認します。角の名前が書けないなら頂点と辺を指す練習に戻り、名前は書けるのに理由が空くなら、交点と平行の印を問題文から探します。3組は見つかるのに結論が書けないなら、対応する頂点を縦に並べてから三角形の名前を作ります。

個別指導で確かめる際は、最初の答案と書き直した答案を両方持っていくと、どの判断が変わったかを説明できます。お子さまが口頭では理由を言えるのに欄へ書けない場合は、根拠と角の等式を1行ずつつなぐ練習が有効です。証明欄の空白は、次に確かめる根拠の場所を教えてくれます。